2023-2024学年内蒙古自治区通辽市第一中学高二下学期期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. 或 D.
2.设甲：，乙：，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若函数的定义域是，则函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
5.设函数则不等式的解集是．
A. B.
C. D.
6.随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的倍，和谐号列车的正点率为，复兴号列车的正点率为则一列车能正点到达该车站的概率为( )
A. B. C. D.
7.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：；，当时，都有；则下列选项不成立的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. ，使得
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知均为非零实数，则下列一定正确的有( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
10.现有个编号为，，，的盒子和个编号为，，，的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有( )
A. 没有空盒子的方法共有种
B. 可以有空盒子的方法共有种
C. 恰有个盒子不放球的方法共有种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种
11.牛顿在流数法一书中，给出了高次代数方程根的一种数值解法牛顿法，用“作切线”的方法求函数零点如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列是递减数列
C. 数列是等比数列 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本某白酒酿造企业市场部对该企业月份的产品销量单位：千箱与单位成本单位：元的资料进行线性回归分析，结果如下：，，，则销量每增加箱，单位成本下降 元结果保留位有效数字．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，．
14.若函数，则关于的不等式的解集是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
求函数的单调区间和极值．
16.本小题分
在中国的传统医学中，食物和药物一直被认为是相辅相成的中医食疗是一门利用食物来调理身体和治疗疾病的科学，它将中草药的药效引入食物中，达到治病的目的为了研究姜汤对治疗感冒是否更有效，进行了临床试验，得到如下数据：抽到服用姜汤的患者名，其中名痊愈，名未痊愈抽到服用白开水的患者名，其中名痊愈，名未痊愈．
根据上述信息完成下列列联表
疗法 疗效 合计
痊愈 未痊愈
服用姜汤
服用白开水
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为姜汤对治疗感冒更有效果并解释得到的结论．
附：参考公式：，．
17.本小题分
“摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则是：第一次在装有红色、白色球各两个共个球的袋中随机取出个球；第二次在装有红色、白色、黑色球各一个共个球的袋中随机取出个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的个球的颜色与获得的积分对应如下表：
所取球的情况 三球均为红色 三球均不同色 恰有两球为红色 其他情况
所获得的积分
求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
设一次摸奖中所获得的积分为，求的数学期望；
某人摸奖三次，求至少有两次获得积分为的概率．
18.本小题分
对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列．
若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；
设数列是首项为公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；
19.本小题分
曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知．
时，求在极值点处的曲率；
时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；
，，当，曲率均为时，自变量最小值分别为，，求证：．
参考答案
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15.解：函数，导函数，
所以在处的切线的斜率为，
切点的纵坐标为，所以切点为，
所以切线方程为，即；
函数，导函数，
由得，得或，
所以单调递增区间为，单调递减区间为．
所以极大值为，极小值为．
16.解：根据题意得列联表
疗法 疗效 合计
痊愈 未痊愈
服用姜汤
服用白开水
合计
零假设为疗法和疗效独立，即两种疗法效果没有差异根据列联表中的数据，
经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，
我们推断不成立，即认为姜汤对治疗感冒更有效果，此推断犯错误的概率不大于．
17.解：一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率：．
由题意得，的可能取值为，，，．
，，
，．
所以的分布列为：
则的数学期望为：．
由二项分布的定义知，三次摸奖中获得积分为的次数，则，
故所求概率为．
18.解：因为
当时，，故，
那么当时，符合题意，故数列是数列；
由题意知，该数列的前项和为，，
由数列是数列，可知，故公差，
对满足任意都成立，
则时，，明显成立；时，令，解得，
故的取值范围为
19.解：当时，，可得，
令，可得，当时，，当时，，
所以当为在极小值点，又，所以，
所以；
由，可得，
令，则，
令时，可得，令，可得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，则，
所以时，有解，且有两解且，
为的极小值点，为的极大值点，
当时，有解，且有唯一解，但此解不是极值点，
当时，无解，所以无极值点，
所以当时，存在极值点，
所以；
由题意可得，可得，
要，曲率为，则，即，
可得，，
所以时，有两解，，可证，
由可得，，
可得，．
要证明，即证明，也就是．
因为，所以即证明，
即，令，则，于是，
令，则，
故函数在上是增函数，
所以，即成立．所以成立．
又因为，则，
由可得在上单调递减，
因为，，所以，
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