2023-2024学年哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
3.曲线在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.若实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.函数的极小值点为( )
A. B. C. D.
6.今年两会期间，“新质生产力”被列为了年政府工作十大任务之首．某中学为了让高三同学对“新质生产力”有更多的了解，利用周五下午课外活动时间同时开设了四场有关“新质生产力”方面的公益讲座．已知甲、乙、丙、丁四位同学从中一共选择两场去学习，则甲、乙两人不参加同一个讲座的不同方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.下列说法中正确的是( )
A. 一组数据，，，，，，，，，，的第百分位数为
B. 将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大
C. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则甲组数据的线性相关程度更强
D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越接近，判断两个变量有关的把握越大
8.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检验者是否患病已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 二项式系数最大项为第五项 B. 各项系数和为
C. 含项的系数为 D. 所有项二项式系数和为
10.若随机变量，下列说法中正确的是( )
A. B. 期望
C. 期望 D. 方差
11.信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵( )
A. 若，则
B. 若，则随着的增大而增大
C. 若，则随着的增大而增大
D. 若，随机变量所有可能的取值为，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量的所有可能取值为，，，其分布列为
若，则 ．
13.已知随机变量，则 ．
14.从，，，，这个数中随机抽一个数记为，再从，，，中随机抽一个数记为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在点处的切线方程为；
求实数，的值；
求函数的极值．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
近几年，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，我国的新能源汽车产业，经过多年的持续努力，技术水平显著提升、产业体系日趋完善、企业竞争力大幅增强，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面某汽车厂为把好质量关，对送来的某个汽车零部件进行检测．
若每个汽车零部件的合格率为，从中任取个零部件进行检测，求至少有个零部件是合格的概率；
若该批零部件共有个，其中有个零部件不合格，现从中任取个零部件，求不合格零部件的产品数的分布列及其期望值．
18.本小题分
如图是我国年至年岁及以上老人人口数单位：亿的折线图，
注：年份代码分别对应年份．
由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数结果精确到加以说明；
建立关于的回归方程系数精确到，并预测年我国岁及以上老人人口数单位：亿．
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数，若，则与有较强的线性相关性．
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
19.本小题分
对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．
当时，求证；
当时，求函数的不动点的个数；
设，证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：的定义域是，
，
，，
将代入，解得：；
由得：，
，
令，解得：，
令，解得：，
在递减，在递增，
．
16.解：由题意，设等差数列的公差为，
则
化简整理，得
解得
．
由可得，，
则，
数列的前项和为：
．
17.解：记“检测出至少有个零部件是合格品”为事件，
则；
由题意可知，随机变量的可能取值为，
；；．
所以随机变量的分布列为
．
18.解：由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下：
因为，，，，
所以，，
，
所以，
所以，
，故与之间存在较强的正相关关系．
由，结合题中数据可得，
，，
，
关于的回归方程为，
年对应的值为，故，
预测年我国岁及以上老人人口数为亿
19.解：当时，有，
所以，
所以
当且仅当，，即时，等号成立，
所以当时，，单调递增，
所以，所以得证．
当时，，
根据题意可知：方程解的个数即为函数的不动点的个数，
化为，令，
所以函数的零点个数，即为函数的不动点的个数，
，令，即，解得，
单调递减 单调递增
因为，，
所以在上有唯一一个零点，
又，
所以在上有唯一一个零点，
综上所述，函数有两个不动点．
由知，，
令，则，即，
设，则满足，
所以，即，
所以，
所以，即．
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