2023-2024学年吉林省普通高中G6教考联盟高一下学期7月期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若样本数据的方差为，则的方差为( )
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
A. 同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小
B. 若，则事件与是对立事件
C. 当不互斥时，可由公式计算的概率
D. 某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的
4.已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
5.已知圆锥的底面半径为，体积为，则该圆锥内切球的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.四名同学各投骰子次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是( )
A. 平均数为，极差为 B. 中位数为，众数为
C. 平均数为，方差为 D. 平均数为，中位数为
8.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为如图，已知和 都是正三角形，，，且三点共线，设点是内的任意一点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. 的虚部为 B. 的共轭复数为
C. D.
10.某学校为了解同学们某天上学的交通方式，在高一年级开展了随机调查，将学生某天上学的交通方式归为四类：为家人接送，为乘坐地铁，为乘坐公交，为其他方式，学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，根据图中信息，下列说法正确的是( )
A. 若该校高一年级有学生人，则高一年级约有人乘坐公共交通工具上学
B. 估计该校高一年级有的学生某天家人接送上学
C. 扇形图中的占比为
D. 估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半
11.在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 异面直线与所成角的取值范围为
C. 的最小值为
D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为 ．
13.已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．
14.某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取件做使用寿命的测试，则车间应抽取的件数为 ；若，，三个车间产品的平均寿命分别为，，小时，方差分别为，，，则总样本的方差为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数是一元二次方程的根．
求的值；
若复数其中为纯虚数，求复数的模．
16.本小题分
已知是夹角为的两个单位向量，，
若可以作为一组基底，求实数的取值范围；
若垂直，求实数的值；
求的最小值．
17.本小题分
年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”某市为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准单位：吨，月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，且该市政府希望有的居民月用水量不超过标准吨为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了户居民某年的月均用水量单位：吨，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．
求直方图中的值，并估计月用水量标准的值；
若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取户，再从这户中任意选取两户，求这两户来自不同组的概率．
18.本小题分
已知在中，满足其中分别是角的对边．
求角的大小；
若角的平分线长为，且，求外接圆的面积；
若为锐角三角形，，求的取值范围．
19.本小题分
在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
求证：平面；
求与平面所成角的大小；
在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：
因为是一元二次方程的根，
所以也是一元二次方程的根，
故，解得；
因为复数为纯虚数，
所以，且，
即，所以复数，
故．
16.解：
因为可以作为一组基底，所以不平行，
又不共线，所以，即，
所以，实数的取值范围为．
因为垂直，所以，
即，
又，，
所以，解得．
由知，，
因为，
所以，当时，取得最小值，
所以的最小值为．
17.解：
由
解得．
，
吨．
根据题意得，月平均用水量在第一组居民有户，
月平均用水量在第二组居民有户，
分层抽样随机抽取户，第一组抽取了户，第二组抽取了户．
记第一组抽取的两户分别为，，第二组抽取的四户分别为，，，，从这户中任意选取两户，
样本点有，
，共个．
记两户来自同一组为事件，事件包含的样本点为：
共个．
根据古典概型可得，，则．
即这两户来自不同组的概率为．
18.解：
因为，
由正弦定理得
，
所以，又，
即，且，即．
由等面积法：，
即，即，
由余弦定理得，
，则，
设外接圆半径为，则，，
则外接圆的面积为．
由为锐角三角形可得，得，
则，
由，得，
又，
所以，
则．
19.解：
因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
由，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系．
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即
不妨令，则，，．
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为．
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角余弦值为．
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为此时的长度为或．
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