2023-2024学年安徽省合肥168中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设平面向量，点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则( )
A. B. C. D.
4.现有甲、乙两组数据甲组数据有个数，其平均数为，方差为；乙组数据有个数，其平均数为，方差为若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为( )
A. B. C. D.
5.如图，三棱柱中，，分别为，中点，过，，作三棱柱的截面交于，且，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是( )
A. 设，若，则
B. 设，则
C. ，若，则
D. 设，若与的夹角为，则
7.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论错误的是( )
A.
B. 若，则为直角三角形
C. 若为锐角三角形，则的取值范围为
D. 若为锐角三角形，的最小值为
8.如图，在矩形中，，，为的中点，将沿翻折在翻折过程中，当二面角的平面角最大时，其正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 的最大值为 D.
10.在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有( )
A. 已知且 B. 已知且
C. 已知且 D. 已知且
11.已知正方体的棱长为，棱，的中点分别为，，点在底面上，且平面平面，则下列说法正确的是( )
A. 若存在，使得，则 B. 若，则平面
C. 三棱锥体积的最大值为 D. 二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.定义： ，其中为向量与的夹角，若，，，则等于______．
13.已知为锐角三角形，角，，的对边分别为，，，若，则面积的取值范围为______．
14.将，，，，，共个正整数排成六行，按照第一行个数，第二行个数，第六行个数的顺序排列，则每一行中最大的数都小于其后一行中最大的数的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示是在圆锥内部挖去一正四棱柱所形成的几何体，该正四棱柱上底面的四顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，已知圆锥侧面积为，底面半径为．
Ⅰ若正四棱柱的底面边长为，求该几何体的体积；
Ⅱ求该几何体内正四棱柱侧面积的最大值．
16.本小题分
航天员安全返回，中国航天再创辉煌去年月日，当地时间时分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功某学校高一年级利用高考放假期间开展组织名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
若从成绩不高于分的同学中按分层抽样方法抽取人成绩，求人中成绩不高于分的人数；
求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
17.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，，．
求角的大小；
为外心，的延长线交于点，且，求的面积．
18.本小题分
如图，在四棱台中，底面为菱形，且，，侧棱与底面所成角的正弦值为若球与三棱台内切即球与棱台各面均相切．
求证：平面；
求二面角的正切值；
求四棱台的体积和球的表面积．
19.本小题分
给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目现有个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为号，第二值钱的古董记为号，以此类推，则古董价值的真实排序为现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，，，，其中为该专家给真实价值排第位古董的位次编号，记，那么与的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强．
当时，求的所有可能取值；
当时，求满足的的个数；
现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值的差异量为，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为，那么专家乙的鉴定结果与真实价值的差异量是否可能为？请说明理由．
注：实数，满足：，当且仅当时取“”号
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：Ⅰ由，可得，
，
圆锥的高，
圆锥的体积，
，正四棱柱的底面对角线长为，
设正四棱柱的高为，如图所示，
，
，
正四棱柱的体积，
该几何体的体积．
Ⅱ由图可知，，即，即，
由，当且仅当时，等号成立，
，，当且仅当，时，等号成立，
正四棱柱侧面积，当且仅当，时，等号成立，
该几何体内正四棱柱侧面积的最大值为．
16.解：成绩不高于分的同学为频率分布直方图中的前组，
又前两组的比例为：：，
从成绩不高于分的同学中按分层抽样方法抽取人成绩，
人中成绩不高于分的人数为；
根据题意可得，；
估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数为：
；
估计该校学生首轮竞赛成绩的中位数为：
；
设“甲，乙，丙复赛获优秀等级“分别为事件，，，
则，，，
设“三人中至少有两位同学复赛获优秀等级“为事件，
．
17.解：由正弦定理及，得，
因为，
所以，即，
因为，所以，
又，所以．
由得，
设的外接圆的半径为，
在中，由正弦定理得，，解得，
所以，
在中，，，，
在中，由正弦定理得，，
所以，
所以，即，
所以是边长为的等边三角形，
故的面积为．
18.解：证明：设与、与分别交点，，连接，
因为底面为菱形，所以，
在等腰梯形中，因为，为底边中点，
所以，又与相交，
平面；
由可知平面平面，又平面平面，
过点作于，则平面，再作于，
则由三垂线定理得，则是二面角的平面角，
因为平面，故是侧棱与底面所成角，
所以，
在中，，，
在，，
在中，，
因此二面角的正切值为；
由题意可知三棱台为正三棱台，设，是和的中心，
，分别是和的中点，故为内切球的球心的直径，
不妨设和的边长分别是，，球的半径为，
则，
所以球的表面积为，
在中，，
由为内切球可知，解得，
在直角梯形中，，
解得，
因此，，
因此四棱台的体积．
19.解：若时，则，，，，，，且，
，，，，，，
的所有可能取值为，，．
设“”为事件，样本空间为，
，共有个，即样本容量为，
若对调两个位置的序号之差大于，则，
可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，
若调整两次两个连续序号，则有，，，，，，共有种可能，
若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：
，，，共组，
由可知每组均有种可能满足，
可得共有种可能，
综上所述：．
不可能，理由如下：
设专家甲的排序为，，，，记，
专家乙的排序为，，，，记，
由题意可得：，，
，
结合的任意性可得．
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