2023-2024学年福建省漳州十校联盟高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.在中，是上的四等分点，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知圆柱的底面面积是，高是，那么圆柱的侧面积是( )
A. B. C. D.
4.在中，，，分别是角，，的对边，，，，则的外接圆半径是( )
A. B. C. D.
5.已知，与的夹角为，与同向的单位向量为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且侧面积为，则圆锥体积为( )
A. B. C. D.
7.如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
8.在中，角，，所对边分别为，，，若，则该三角形是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若与是单位向量，则 B. 若，则或
C. D. 若与共线，则，，，四点共线
10.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部是 B.
C. D. 当，的最大值为
11.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，下列结论正确的是( )
A. 一定是钝角三角形 B.
C. 角的最大值为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，满足，，与的夹角为，则的值______．
13.如图是我国古代米斗，米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成加上米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品已知一个斗型正四棱台工艺品上、下底面边长分别为和，侧棱长为其厚度忽略不计，则其外接球的表面积为______．
14.如图，在中，，延长到点，使，以为斜边向外作等腰直角，则四边形面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
若向量与垂直，求实数的值；
若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知复数，为虚数单位．
求；
若复数是关于的方程的一个根，求的值．
17.本小题分
如图，在平面四边形中，，，，．
求线段的长度；
求的值．
18.本小题分
已知中，，，是角，，所对的边，且．
求角；
若是的角平分线，的面积为，，求的长度；
若，在的边，上分别取，两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边设为点上，求的最小值．
19.本小题分
已知中，，，令，，且，过点边上一点异于端点引边的垂线，垂足为，再由引边的垂线，垂足为，又由引边的垂线，垂足为；依次操作连续进行，得到点集，，，设．
证明：；
如图，当，重合时，请用，表示；
设，求的值．
参考答案
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15.解：，，
则，，
向量与垂直，
则，解得；
与的夹角为锐角，
则且与不共线，
故，解得，且，
所以实数的取值范围为．
16.解：因为复数，
所以；
复数是关于的方程的一个根，
则是关于的方程的一个根，
故，解得，，
故．
17.解：在中，，，
所以，
所以，
由余弦定理知，，
所以．
在中，由正弦定理知，，
所以，
所以，
因为，
所以，
在中，由正弦定理知，，
所以，
所以．
18.解：由，得，
，即，
，，，；
由可得，又，，
由余弦定理可得，即，
为的角平线，，
；
若，则为等边三角形，设，则，，
在中，设，，
由余弦定理可得，
即，整理得，
即
令，，则，
当且仅，即时等号成立，有最小值，
故AF的最小值为．
19.证明：由题，
所以，即，
在中，由余弦定理知，
，
则，
在中，，
故；
解：由已知，，，
由余弦定理，
又，则，
所以
，
即，
也即，
所以，
因为，重合时，所以，即，解得，
此时，又，
所以，又，则，
所以，故，
所以；
由有，又，
故，
所以．
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