2023-2024学年广东省揭阳市高二下学期教学质量测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.为了得到函数的图象，只要将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
3.设，，是三个不同的平面，且，，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.若直线平分圆，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
6.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则小满日影长为( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
7.已知函数，其中且，且为常数若对任意且，在内均存在唯一零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，，，为球面上四点，，分别是，的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”若三棱锥的四个顶点均在表面积为的球面上，它的两条棱，的长度分别为和，则，的伴随球的体积的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则( )
A.
B. 与可作为一组基底向量
C. 与夹角的余弦值为
D. 在方向上的投影向量的坐标为
10.已知函数，则( )
A. 的值域为 B. 为偶函数
C. 在上单调递增 D. 在上有个零点
11.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 与的定义域不同
B. 的单调递减区间为
C. 若有三个不同的解，则
D. 对任意两个不相等正实数，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，内角，，的对边分别为，，，其中，，，则 ．
13.已知集合，，则 ．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线，的斜率分别为，，若，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求
若为边的中点，且，求面积的最大值．
16.本小题分
南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱某新闻媒体机构随机调查了男、女性游客各名，统计结果如下表所示：
对滑雪的喜爱情况 性别 合计
男性游客 女性游客
喜欢滑雪
不喜欢滑雪
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联
冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作起步、滑行、转弯、制动进行指导据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，，，，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率．
附：，．
17.本小题分
如图，在四棱台中，平面，，，，．
记平面与平面的交线为，证明：平面
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知抛物线的准线为，焦点为，，为上异于原点且不重合的三点．
求的方程
若为的重心，求的值
过，两点分别作的切线，，与相交于点，若，求面积的最大值．
19.本小题分
给定数列，若首项且，对任意的，，都有，则称数列为“指数型数列”．
已知数列为“指数型数列”，若，求，
已知数列满足，，判断数列是不是“指数型数列”若是，请给出证明若不是，请说明理由
若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列．
参考答案
1.
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8.
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13.
14.
15.解：因为，
所以由正弦定理可得，即，则，
由余弦定理得，又，所以；
因为是边的中点，即，所以，
在中，，，
由余弦定理得，即，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
即面积的最大值为．
16.解：零假设为游客是否喜欢滑雪与性别无关联．
由题可得．
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．
令事件分别表示滑雪初学者起步、滑行、转弯、制动达到优秀，
滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件，
则事件之间相互独立，事件包含四个滑雪基本动作均达到优秀和四个滑雪基本动作中有三个达到优秀，
则，
所以滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是．
17.证明：因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以，
因为平面，
所以．
在中，，，，由余弦定理得，
，
则，得．
又，，平面，
所以平面．
因为，
所以平面；
解：在中，，，．
由余弦定理得，，则，得．
又，则．
因为平面，，平面，
所以，．
又，，平面．
所以平面．
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，．
设平面的法向量为，
则
令，得，，
所以．
又是平面的一个法向量．
记平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：因为抛物线的准线为，
所以，所以，
所以的方程为．
依题意，
设，，，
由为的重心，即，
由抛物线定义得，．
显然，直线的斜率不为，
可设直线的方程为，，，
由得，
，所以，．
因为，则，所以，所以切线的方程为，同理，切线的方程为，
联立两直线方程
解得
即，
则点到直线的距离为，
由，
化简得，
所以，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为．
19.解：解：因为数列是“指数型数列”，
所以对于任意的，，都有．
因为，所以，
．
数列 是指数型数列；
证明：由 ，
且 ，所以数列 是等比数列，
，
所以数列 是指数型数列；
因为数列 是指数型数列，故对于任意的 ，
有 ， ，
适合该式；
假设数列 中存在三项 构成等差数列，不妨设 ，
则由 ，得 ，
所以 ，
当 为偶数时， 是偶数，而 是奇数， 是偶数，
故 不能成立；
当 为奇数时， 是偶数，而 是偶数， 是奇数，
故 也不能成立．
所以，对任意 不能成立，
即数列 的任意三项都不能构成等差数列．
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