津衡中学2023-2024学年度数学学科7月调考
数学试卷
检测时间：120分钟 分值：150分
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页.其中第卷共60分，第Ⅱ卷共90分，满分共150分.
第I卷（客观题共60分）
注意事项：
1.答题前填写好自已的姓名 班级 考号等信息.
2.请将客观题答案填涂到答题卡相应位置.
3.清将主观题答案写在答题卡上.
一 单选题（每小题5分，共60分）
1.若复数满足，则复数的虚部为（ ）
A.1 B.-1 C. D.
2.已知空间向量，且共线，则（ ）
A.-2 B.2 C.-4 D.4
3.已知向量空间，若共面，则实数等于（ ）
A.2. B.-2 C.2或-2 D.2或0
4.数据的第60百分位数为（ ）
A.7 B.7.5 C.8 D.8.5
5.下列说法中正确的是（ ）
A.表示过点，且斜率为的直线方程
B.直线与轴交于一点，其中截距
C.在轴和轴上的截距分别为与的直线方程是
D.方程表示过点，的直线
6.已知过坐标原点的直线l的方向向量，则点到直线l的距离是（ ）
A.2 B. C. D.
7.己知，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8.在中，是中点，，则（ ）
A. B. C. D.
9.已知点，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A.或 B.或
C.或 D.
10.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体本块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A. B.事件与事件互斥
C.事件与事件相互独立 D.
11.正六边形中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
12.已知圆台的上 下底面半径分别为，侧面积等于，若存在一个在圆台内部可以任意转动的正方体，那么该正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为（ ）
A.16cm B. C. D.
第Ⅱ卷（（主观题共90分）
二 填空题（每小题5分，共30分）
13.已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则的取值范围是__________.
14.如果直线与直线垂直，则__________.
15.设且的夹角为钝角，实数的取值范围是__________.
16.一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是__________.
17.在中，角所对的边分别为，若的面积为，则该三角形的外接圆直径__________.
18.平行六面体中，，动点在直线上运动，则的最小值为__________.
三 解答题（19题每题10分，20-22题每题12分，23题14分，共60分）
19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求的周长.
20.当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活.一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响.长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题.更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感.某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：，，，，（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）；
（3）现在从和两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率.
21.如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，.
（1）求的长度；
（2）求点D到平面的距离.
22.已知直线l：.
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程.
23.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，点M在PD上.
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若平面与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值.
2023-2024学年度数学学科7月调考数学参考答案
一 单选题
1.A 2.B 3.A 4.B 5.D 6.D 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.D
二 填空题
13. 14.2 15. 16. 17. 18.
三 解答题
19.（1）（2）
（1）因为，
由正弦定理可得：，
且，可得，
且，可知，可得.
（2）由（1）可知：，，则，
因为的面积为，可得，
由余弦定理可得，
即，可得，
所以的周长为.
20.（1）0.1；（2）7.4小时；（3）.
（1）由频率分布直方图，得，所以.
（2）每天玩网络游戏的平均时间（小时）.
（3）每天玩网络游戏的时间在和内的人数比为，
则用分层抽样的方法抽取的5人中，在内的有1人，记为，在内的有4人，记为，
这5人中随机抽取2人的试验的样本空间，共10个样本点，
玩网络游戏的时间所在区间不同的事件，共4个样本点，
所以这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率.
21.（1）6（2）
（1）如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系，
设，由已知可得，
所以，
因为，所以，解得，
所以.即的长度为6.
（2）设平面的法向量为，且，
则有，即，令得，
又，
所以点D到平面的距离.
22.（1）证明见解析（2），
（1）直线l的方程可化为，
令，解得，
所以无论k取何值，直线总经过定点.
（2）由题意可知，再由l的方程，得，.
依题意得，解得.
因为，
“=”成立的条件是且，即，
所以，此时直线的方程为.
23.（1）证明见解析（2）（3）
（1）取中点为E，连接，由题意可知，
即四边形为平行四边形，故，而，
故；
又平面ABCD，故以A为坐标原点，以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，
则，
则，
故，
故，则；
（2）由（1）知，
设异面直线与所成角为，
则，
即异面直线与所成角的余弦值为；
（3）由题可设，则，
设平面的一个法向量为，
，
由，得，
取，则，
平面的法向量可取为，平面与平面所成角为45°，
则，解得，则，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，则，
设直线与平面所成角为，
则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
