第1讲 集合
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则( )
A．2∈M B．3∈M
C．4 M D．5 M
2．(2024·石家庄检测) 设集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x2－2x≤0}，则A∪B＝( )
A．(－1，2] B．(－1，2)
C．[0，1) D．(0，1]
3．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝( )
A．{x|0≤x＜2} B．{x≤x＜2}
C．{x|3≤x＜16} D．{x≤x＜16}
4．(2023·金溪一中模拟)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a∈A，b∈A}，则集合B的真子集个数是( )
A．3 B．4
C．7 D．8
5．(2023·惠州一模)设集合A＝{y|y＝2x}，B＝{y|y＝}，则( )
A．A＝B B．A B
C．A B D．A∩B＝
6．(多选题)(2023·葫芦岛二模)已知全集U＝Z，集合A＝{x|2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，则( )
A．A∩B＝{0，1，2}
B．A∪B＝{x|x≥0}
C．( UA)∩B＝{－1}
D．A∩B的非空真子集的个数是6
7．(2023·厦门市高三毕业班适应性模拟)设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝}，若A?C?B，则写出一个符合条件的集合C＝________．
8.（2024·高考适应性测试）已知集合，若，则的最小值为__________．
9．(2023·石家庄二中模拟)已知集合A＝{x|x2＝x}，集合B＝{x|1＜2x＜4}，则集合A的子集的个数为________；A∩B＝__________．
B级(综合创新练)
10．(2023·华侨中学第三次考试)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．若A∩B＝ ，则实数m的取值范围是( )
A．［ B．[0，＋∞)
C．［ D．
11．(2024·福建适应性考试)已知集合A＝{x||x－1|＞2}，B＝{x|y＝ln (3－x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|－1≤x≤3} B．{x|x＞3}
C．{x|－1≤x＜3} D．{x|x≤3}
12．(多选题)(2023·安庆市第二中学二模)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是( )
A．M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}是一个戴德金分割
B．M中没有最大元素，N中有一个最小元素
C．M中有一个最大元素，N中有一个最小元素
D．M中没有最大元素，N中也没有最小元素
13．[原创题]课外阅读能够拓宽学生的视野、丰富学生的知识，使学生具备较广阔的知识背景和认知本事．某校高三(1)班共50名学生，关于必读书目中的M，N，P三本书的阅读情况如下：
读完图书M的人数为23，读完图书N的人数为26，读完图书P的人数为27，读完图书M和N的人数为10，读完图书M和P的人数为12，读完图书N和P的人数为11，一本书都没读完的人数为4.
则该班三本书都读完的人数为________．
14．(2023·衡水中学高三模拟)若集合Un＝{1，2，3，…，n}，n≥2，n∈N*，非空集合A，B满足A，B Un，且满足集合A中最大的数大于集合B中最大的数，则称有序集合对(A，B)为“兄弟集合对”．当n＝3时，这样的“兄弟集合对”有________对．第1讲 集合
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则( )
A．2∈M B．3∈M
C．4 M D．5 M
答案：A
解析：由题意知M＝{2，4，5}，故只有A项正确．
2．(2024·石家庄检测) 设集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x2－2x≤0}，则A∪B＝( )
A．(－1，2] B．(－1，2)
C．[0，1) D．(0，1]
答案：A
解析：由题可知B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝{x|－1＜x≤2}，故选A.
3．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝( )
A．{x|0≤x＜2} B．{x≤x＜2}
C．{x|3≤x＜16} D．{x≤x＜16}
答案：D
解析：M＝{x|0≤x＜16}，N＝{x|x≥}，
故M∩N＝{x|≤x＜16}，故选D.
4．(2023·金溪一中模拟)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a∈A，b∈A}，则集合B的真子集个数是( )
A．3 B．4
C．7 D．8
答案：A
解析：由题意得B＝{－1，0，1}，所以集合B的真子集个数为23－1＝7，故选C.
5．(2023·惠州一模)设集合A＝{y|y＝2x}，B＝{y|y＝}，则( )
A．A＝B B．A B
C．A B D．A∩B＝
答案：C
解析：∵A＝{y|y＝2x}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，∴A B，故选C.
6．(多选题)(2023·葫芦岛二模)已知全集U＝Z，集合A＝{x|2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，则( )
A．A∩B＝{0，1，2}
B．A∪B＝{x|x≥0}
C．( UA)∩B＝{－1}
D．A∩B的非空真子集的个数是6
答案：ACD
解析：A＝{x|2x＋1≥0，x∈Z}＝{x|x≥－，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，A∩B＝{0，1，2}，故A正确；
A∪B＝{x|x≥－1，x∈Z}，故B错误；
UA＝{x，x∈Z}，所以( UA)∩B＝{－1}，故C正确；
由A∩B＝{0，1，2}，得A∩B的非空真子集的个数是23－2＝6，故D正确．故选ACD.
7．(2023·厦门市高三毕业班适应性模拟)设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝}，若A?C?B，则写出一个符合条件的集合C＝________．
答案：[1，4](答案不唯一)
解析：A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，故若A?C?B，则符合条件的集合C可以是[1，4].
8.（2024·高考适应性测试）已知集合，若，则的最小值为__________．
答案：
解析：由，得，由，得，
故有解得，即，故的最小值为.
9．(2023·石家庄二中模拟)已知集合A＝{x|x2＝x}，集合B＝{x|1＜2x＜4}，则集合A的子集的个数为________；A∩B＝__________．
答案：4 {1}
解析：因为A＝{x|x2＝x}＝{0，1}，B＝{x|1＜2x＜4}＝{x|0＜x＜2}，所以集合A的子集的个数为N＝22＝4，A∩B＝{1}.
B级(综合创新练)
10．(2023·华侨中学第三次考试)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．若A∩B＝ ，则实数m的取值范围是( )
A．［ B．[0，＋∞)
C．［ D．
答案：B
解析：当2m≥1－m，即m≥时，B＝ ，符合题意；
当2m＜1－m，即m＜时，因为A∩B＝ ，所以或，解得0≤m＜.
综上所述，m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞)．
11．(2024·福建适应性考试)已知集合A＝{x||x－1|＞2}，B＝{x|y＝ln (3－x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|－1≤x≤3} B．{x|x＞3}
C．{x|－1≤x＜3} D．{x|x≤3}
答案：C
解析：由|x－1|＞2，得x－1＞2或x－1＜－2，解得x＞3或x＜－1，所以A＝{x||x－1|＞2}＝{x|x＜－1或x＞3}．
又B＝{x|y＝ln (3－x)}＝{x|x＜3}，所以A∩B＝{x|x＜－1}，
图中阴影部分表示 B(A∩B)＝{x|－1≤x＜3}．故选C.
12．(多选题)(2023·安庆市第二中学二模)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是( )
A．M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}是一个戴德金分割
B．M中没有最大元素，N中有一个最小元素
C．M中有一个最大元素，N中有一个最小元素
D．M中没有最大元素，N中也没有最小元素
答案：BD
解析：对于A，因为M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；
对于B，设M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N中有一个最小元素0，故B正确；
对于C，若M中有一个最大元素，N中有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，故C错误；
对于D，设M＝{x∈Q}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M中没有最大元素，N中也没有最小元素，故D正确．
13．[原创题]课外阅读能够拓宽学生的视野、丰富学生的知识，使学生具备较广阔的知识背景和认知本事．某校高三(1)班共50名学生，关于必读书目中的M，N，P三本书的阅读情况如下：
读完图书M的人数为23，读完图书N的人数为26，读完图书P的人数为27，读完图书M和N的人数为10，读完图书M和P的人数为12，读完图书N和P的人数为11，一本书都没读完的人数为4.
则该班三本书都读完的人数为________．
答案：3
解析：设集合A＝{高三(1)班读完图书M的学生}，B＝{高三(1)班读完图书N的学生}，C＝{高三(1)班读完图书P的学生}，用card(A)表示集合A中元素的个数，则
card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∪B)－card(A∪C)－card(B∪C)＋card(A∩B∩C)＝50－4＝46，代入数据可得23＋26＋27－10－12－11＋card(A∩B∩C)＝46，解得card(A∩B∩C)＝3，故该班三本书都读完的人数为3.
14．(2023·衡水中学高三模拟)若集合Un＝{1，2，3，…，n}，n≥2，n∈N*，非空集合A，B满足A，B Un，且满足集合A中最大的数大于集合B中最大的数，则称有序集合对(A，B)为“兄弟集合对”．当n＝3时，这样的“兄弟集合对”有________对．
答案：14
解析：由题意可知，当n＝3时，Un＝{1，2，3}．
当集合A中最大数为1，即A＝{1}时，无满足题意的集合B；
当集合A中最大数为2，即A＝{2}或A＝{1，2}时，只有一种满足题意的集合B＝{1}，此时“兄弟集合对”有2×1＝2(对)；
当集合A中最大数为3，即A＝{3}，A＝{1，3}，A＝{2，3}或A＝{1，2，3}时，满足题意的集合B有{1}，{2}和{1，2}三种可能，此时“兄弟集合对”有4×3＝12(对)．
故当n＝3时，这样的“兄弟集合对”有2＋12＝14(对)．
