第7讲 函数的图象
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．(2023·海淀模拟)函数f (x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y＝ex关于x轴对称，则f (x)＝( )
A．－ex-1 B．－ex+1
C．－e－x-1 D．－e－x+1
答案：B
解析：由y＝ex关于x轴对称得出y＝－ex，
把y＝－ex的图象向左平移1个单位长度得出y＝－ex+1，∴f (x)＝－ex+1，故选B.
2．(2023·西安期末)函数f (x)＝(2－x－2x)cos x在[－2，2]上的图象大致为( )
答案：A
解析：因为f (x)＋f (－x)＝(2－x－2x)cos x＋(2x－2－x)·cos (－x)＝(2－x－2x)cos x－
(2－x－2x)cos x＝0，
所以函数f (x)为奇函数，故B，D错误；
又因为1∈，则f (1)＝(2-1－2)cos 1＝－cos 1＜0，故C错误．故选A.
3．(2023·盐城模拟)已知函数f (x)的图象如图所示，则函数f (x)的解析式可能是( )
A．f (x)＝(4x－4－x)|x|
B．f (x)＝(4x－4－x)log2|x|
C．f (x)＝
D．f (x)＝(4x＋4－x)log2|x|
答案：D
解析：由图知，f (x)为偶函数，故排除A，B；
对于C，f (x)＞0不符合图象，故排除C；故选D.
4．(2023·沈阳质检)若函数f (x)＝的图象如图所示，
则f (－3)等于( )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
答案：C
解析：∵f (－1)＝0，∴ln (－1＋a)＝0，∴－1＋a＝1，∴a＝2，
又y＝ax＋b过点(－1，3)，∴2×(－1)＋b＝3，∴b＝5，
∴f (－3)＝－3a＋b＝－6＋5＝－1.
5．(2022·广西模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝3－2x，则不等式f (x)＞0的解集为( )
A．
B．∪
C．∪
D．∪
答案：C
解析：根据题意，f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝3－2x，可得其图象如图所示，且f (0)＝0，＝＝0，则不等式f (x)＞0的解集为
∪.
6．(多选题)(2023·济南模拟)对于函数f (x)＝lg (|x－2|＋1)，下列说法正确的是( )
A．f (x＋2)是偶函数
B．f (x＋2)是奇函数
C．f (x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f (x)没有最小值
答案：AC
解析：f (x＋2)＝lg (|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误．作出f (x)的图象如图所示，可知f (x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误．
7．已知函数y＝f (－x)的图象过点(4，2)，则函数y＝f (x)的图象一定过点________．
答案：(－4，2)
解析：y＝f (－x)与y＝f (x)的图象关于y轴对称，
故y＝f (x)的图象一定过点(－4，2)．
8．[原创题]定义在R上的偶函数f (x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式xf (x)＜0的解集是________．
答案：(－2，0)∪(2，＋∞)
解析：由函数f (x)为偶函数，则其函数f (x)的图象关于y轴对称，如下图所示：
当x≥0时，由xf (x)＜0，则f (x)＜0，根据图象可得x＞2；
当x＜0时，由xf (x)＜0，则f (x)＞0，根据图象可得－2＜x＜0.
综上所述，不等式xf (x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．
9．(2023·合肥市模拟)已知函数f (x)＝，若 x0∈(－∞，0)，使得f (x0)＋f (－x0)＝0成立，请写出一个符合条件的函数g(x)的表达式：__________．
答案：g(x)＝(答案不唯一)
解析：由 x0∈(－∞，0)，使得f (x0)＋f (－x0)＝0可得g(x0)＝－f (－x0)，
由y＝f (x)与y＝－f (－x)图象关于原点对称可得y＝ln x与y＝－ln (－x)图象关于原点对称，如图所示．
取y＝时，在第三象限显然有一交点x0，故取g(x)＝时符合.
B级(综合创新练)
10．(2022·赤峰三模)若直角坐标平面内的A，B两点满足①点A，B都在函数f (x)的图象上，②点A，B关于原点对称，则点对(A，B)是函数f (x)的一个“姊妹点对”．点对(A，B)与(B，A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f (x)＝的“姊妹点对”有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
答案：C
解析：根据题意可知“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．
可作出与函数y＝x2＋2x(x＜0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可．如图所示，当x＝1时，0＜＜1，观察图象可得它们有2个交点．故选C.
11．(多选题)f (x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示．令g(x)＝af (x)＋b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是( )
A．若a＜0，则函数g(x)的图象关于原点对称
B．若a＝－1，－2＜b＜0，则方程g(x)＝0有大于2的实根
C．若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0必有两个实根
D．若a≥1，－2＜b＜2，则方程g(x)＝0有三个实根
答案：BD
解析：当a＜0时，f (x)关于原点对称，根据图象平移知g(x)＝af (x)＋b关于点(0，b)对称，A错误；
当a＝－1时，方程g(x)＝0 f (x)＝b，－2＜b＜0，由f (x)的图象知f (x)＝b在x∈(2，c)上有一个解，故B正确；
当a≠0，b＝2时，g(x)＝0 f (x)＝－，若使方程g(x)＝0有两个根，由题图知，必有－＝±2 a＝±1，其他的非零a值均不满足，故C错误；
当a≥1，－2＜b＜2时，g(x)＝0 f (x)＝－∈(－2，2)，由题图知有三个解，故D正确．故选BD.
12．(多选题)(2022·青岛一模)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f (x)＝ex(x＋1)，则下列命题正确的是( )
A．当x＞0时，f (x)＝－e－x(x－1)
B．函数f (x)有3个零点
C．f (x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)
D． x1，x2∈R，都有|f (x1)－f (x2)|＜2
答案：BCD
解析：函数f (x)是定义在R上的奇函数，
当x＜0时，f (x)＝ex(x＋1)．
设x＞0，则－x＜0，f (－x)＝e－x(－x＋1)，
∴f (x)＝－f (－x)＝e－x(x－1)，
又当x＝0时，f (0)＝0，因此函数f (x)有三个零点：0，±1.
当x＜0时，f (x)＝ex(x＋1)，f′(x)＝ex(x＋2)，
可得当x＝－2时，函数f (x)取得极小值，f (－2)＝，作出y＝f (x)的图象如图所示，
f (x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．
x1，x2∈R，都有|f (x1)－f (x2)|＜2.
综上，选BCD.
13．(2023·茂名一模)已知函数f (x)＝
＝f (x3)，则x1x2x3的取值范围是________.
答案：(2，3)
解析：不妨设x1＜x2＜x3，作出f (x)的大致图象，
由图可得，|log2x1|＝|log2x2|＝－x3＋3∈(0，1)，
所以log2x1＝－log2x2，即x1x2＝1.
由f (x1)＝f (x2)＝f (x3)，得x3∈(2，3)，
所以x1x2x3的取值范围是(2，3)．
14．(2023·新昌模拟)已知函数y＝f (x)和y＝g(x)在[－2，2]的图象如图所示，给出下列四个命题：
①方程f (g(x))＝0有且仅有6个根；
②方程g(f (x))＝0有且仅有3个根；
③方程f (f (x))＝0有且仅有5个根．
其中正确的命题是________．(写出全部正确的序号)
答案：①③
解析：对于①，令t＝g(x)，
结合图象可得f (t)＝0有三个不同的解－2＜t1＜－1，t2＝0，1＜t3＜2，从图象上看g(x)＝t1有两个不同的解，g(x)＝t2有两个不同的解，
g(x)＝t3有两个不同的解，故f (g(x))＝0有6个不同解，故①正确．
对于②，令t＝f (x)，
结合图象可得g(t)＝0有两个不同的解－2＜t1＜－1，0＜t2＜1，
从图象上看f (x)＝t1的有一个解，f (x)＝t2有三个不同的解，
故g(f (x))＝0有4个不同解，故②错误．
对于③，令t＝f (x)，
结合图象可得f (t)＝0有三个不同的解，－2＜t1＜－1，t2＝0，1＜t3＜2，从图象上看f (x)＝t1有一个解，f (x)＝t2有三个不同的解，
f (x)＝t3有一个解，故f (f (x))＝0有5个不同解，故③正确．
故答案为①③.第7讲 函数的图象
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．(2023·海淀模拟)函数f (x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y＝ex关于x轴对称，则f (x)＝( )
A．－ex-1 B．－ex+1
C．－e－x-1 D．－e－x+1
2．(2023·西安期末)函数f (x)＝(2－x－2x)cos x在[－2，2]上的图象大致为( )
3．(2023·盐城模拟)已知函数f (x)的图象如图所示，则函数f (x)的解析式可能是( )
A．f (x)＝(4x－4－x)|x|
B．f (x)＝(4x－4－x)log2|x|
C．f (x)＝
D．f (x)＝(4x＋4－x)log2|x|
4．(2023·沈阳质检)若函数f (x)＝的图象如图所示，
则f (－3)等于( )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
5．(2022·广西模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝3－2x，则不等式f (x)＞0的解集为( )
A．
B．∪
C．∪
D．∪
6．(多选题)(2023·济南模拟)对于函数f (x)＝lg (|x－2|＋1)，下列说法正确的是( )
A．f (x＋2)是偶函数
B．f (x＋2)是奇函数
C．f (x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f (x)没有最小值
7．已知函数y＝f (－x)的图象过点(4，2)，则函数y＝f (x)的图象一定过点________．
8．[原创题]定义在R上的偶函数f (x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式xf (x)＜0的解集是________．
9．(2023·合肥市模拟)已知函数f (x)＝，若 x0∈(－∞，0)，使得f (x0)＋f (－x0)＝0成立，请写出一个符合条件的函数g(x)的表达式：__________．
B级(综合创新练)
10．(2022·赤峰三模)若直角坐标平面内的A，B两点满足①点A，B都在函数f (x)的图象上，②点A，B关于原点对称，则点对(A，B)是函数f (x)的一个“姊妹点对”．点对(A，B)与(B，A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f (x)＝的“姊妹点对”有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
11．(多选题)f (x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示．令g(x)＝af (x)＋b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是( )
A．若a＜0，则函数g(x)的图象关于原点对称
B．若a＝－1，－2＜b＜0，则方程g(x)＝0有大于2的实根
C．若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0必有两个实根
D．若a≥1，－2＜b＜2，则方程g(x)＝0有三个实根
12．(多选题)(2022·青岛一模)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f (x)＝ex(x＋1)，则下列命题正确的是( )
A．当x＞0时，f (x)＝－e－x(x－1)
B．函数f (x)有3个零点
C．f (x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)
D． x1，x2∈R，都有|f (x1)－f (x2)|＜2
13．(2023·茂名一模)已知函数f (x)＝
＝f (x3)，则x1x2x3的取值范围是________.
14．(2023·新昌模拟)已知函数y＝f (x)和y＝g(x)在[－2，2]的图象如图所示，给出下列四个命题：
①方程f (g(x))＝0有且仅有6个根；
②方程g(f (x))＝0有且仅有3个根；
③方程f (f (x))＝0有且仅有5个根．
其中正确的命题是________．(写出全部正确的序号)
