第3讲 一元二次方程、不等式
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．不等式≥0的解集为( )
A．[－2，1]
B．(－∞，－2)∪[1，＋∞)
C．(－2，1]
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
答案：C
解析：原不等式可化为，即，解得－2＜x≤1.
2．(2023·云南师大附属中学高三适应性测试)设全集U＝R，若集合A＝{x|y＝}，B＝{x|0≤x≤2}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x≤2}
C．{x|0＜x≤2} D．{x|x＞2}
答案：B
解析：不等式1－x2≥0，得－1≤x≤1，故集合A＝{x|－1≤x≤1}， UA＝{x|x＜－1或x＞1}，B＝{x|0≤x≤2}，所以阴影部分表示的集合为( UA)∩B＝{x|1＜x≤2}．
3．(2024·浙江高三月考)已知a＞2，则关于x 的不等式ax2－(2＋a)x＋2＞0 的解集为( )
A．{x或x＞1}
B．{x＜x＜1}
C．{x}
D．{x}
答案：A
解析：∵(ax－2)(x－1)＞0，由a＞2 可得＜1，
∴原不等式的解集为{x或x＞1}．
4．已知命题p：“ x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3＞0”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．－1＜a＜2 B．a≥1
C．a＜－1 D．－1≤a＜2
答案：D
解析：当a＝－1时，3＞0成立；
当a≠－1时，需满足，解得－1＜a＜2.综上所述，－1≤a＜2.
5．(2023·大连市高三模拟)命题“ x＞0，ax2＋x＋1＜0”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是( )
A．a≥－ B．a≥0
C．a≥1 D．a＜1
答案：C
解析：因为命题“ x＞0，ax2＋x＋1＜0”为假命题，
所以对 x＞0，ax2＋x＋1≥0恒成立．
当a＝0时，ax2＋x＋1＝x＋1＞0在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以a＝0满足条件，当a＞0时，令h(x)＝ax2＋x＋1，对称轴x＝－＜0，且h(0)＝1＞0，所以当x∈(0，＋∞)时，ax2＋x＋1＞0恒成立，
当a＜0时，显然有ax2＋x＋1≥0不恒成立，
故对 x＞0，ax2＋x＋1≥0恒成立时，a≥0，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C.
(多选题)(2024·临沂市高三月考)已知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜
－1或x＞3}，则下列结论正确的是( )
A．a＜0
B．a＋b＋c＞0
C．c＞0
D．cx2－bx＋a＜0的解集为{x或x＞1}
答案：ABC
解析：由不等式和解集的形式可知，a＜0，
且方程ax2＋bx＋c＝0的实数根为x＝－1或x＝3，
那么，所以，
所以a＋b＋c＝－4a＞0，且c＝－3a＞0，故ABC项正确；
不等式cx2－bx＋a＜0 －3ax2＋2ax＋a＜0，
即3x2－2x－1＜0，解得－＜x＜1，
所以不等式的解集为{x＜x＜1}，故D项错误．
7．(2023·武汉市高三期末联考)函数f(x)＝的定义域为________．
答案：[∪
解析：，解得≤x≤1，且x≠，故定义域为[∪.
8．(2024·青岛市高三月考)若关于x的不等式ax2－3bx＋2a－1＞0的解集为{x|x＜－1或x＞3}，则a＋6b＝________．
答案：1
解析：由题知不等式ax2－3bx＋2a－1＞0的解集为{x|x＜－1或x＞3}，∴a＞0，且ax2－3bx＋2a－1＝0的两根分别为－1，3，
由韦达定理可知，∴a＝，∴a＋6b＝1.
9．(2023·北京名校模考)已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为________．
答案：[－7，2]
解析：f(x)＝x2＋ax＋3－a开口向上，对称轴为x＝，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，则有
当－≤－2，即a≥4时，则f(x)≥f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤＜4，不合题意；当－2＜－＜2，即－4＜a＜4时，则f(x)≥＝≥0，解得－4＜a≤2，符合题意；
当－≥2，即a≤－4时，则f(x)≥f(2)＝7＋a≥0，解得－7≤a≤－4.综上可知，a的取值范围为[－7，2].
B级(综合创新练)
10．若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为( )
A．(6，7] B．[－3，－2)
C．[－3，－2)∪(6，7] D．[－3，7]
答案：C
解析：不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0，即(x－2)(x－m)＜0，
当m＞2时，不等式解集为(2，m)，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7，
当m＝2时，不等式解集为 ，此时不符合题意；
当m＜2 时，不等式解集为(m，2)，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2，
故实数m的取值范围为[－3，－2)∪(6，7].
11．[原创题]已知对任意x∈R，不等式ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0(a≠0)恒成立，则的最大值为( )
A． B．
C． D．1
答案：C
解析：由题意知
∴∴.
令t＝.
∵4ac－4a2≥b2≥0，∴c≥a，t≥1，
则.
当t＝1时，＝0；
当t＞1时，.当且仅当t－1＝，即t＝4，c＝4a时，等号成立．
综上所述，的最大值为.
12．(多选题)(2023·海南省高三诊断)已知实数x，y满足(x＋y)2＝3＋xy，则( )
A．xy≤1 B．x＋y≥2
C．2x＋y≤2 D．x2＋y2≥1＋xy
答案：ACD
解析：由(x＋y)2＝3＋xy，得x2＋y2＋xy＝3，
对于A，3＝x2＋y2＋xy≥3xy，所以xy≤1，当且仅当x＝y时等号成立，故A项正确；
对于B，(x＋y)2＝3＋xy≤3＋，得(x＋y)2≤4，所以－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y时等号成立，故B项错误；
对于C，x2＋y2＋xy＝(2x＋y)2＋y2＝3，得(2x＋y)2≤12，
所以－2，当且仅当y＝0时等号成立，故C项正确；对于D，x2＋y2－xy＝3－2xy≥1，当且仅当x＝y时等号成立，故D项正确．
13．(2024·武汉高三月考)已知关于x的不等式ax2＋4ax－3＜0，若不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－1}，则a的值为________；若此不等式在R上恒成立，则a的取值范围为________．
答案：－1
解析：因为不等式ax2＋4ax－3＜0的解集为{x|x＜－3或x＞－1}，所以－3和－1是方程ax2＋4ax－3＝0的两个根，且a＜0，
所以，解得a＝－1.
因为不等式ax2＋4ax－3＜0在R上恒成立，
所以当a＝0时，－3＜0符合题意，
当a≠0时，则，解得－＜a＜0.
综上可知，a的取值范围为.
14．不等式(m＋1)x2－mx＋m－1＜0的解集为 ，则实数m的取值范围是________．
答案：[
解析：∵不等式(m＋1)x2－mx＋m－1＜0的解集为 ，
∴(m＋1)x2－mx＋m－1≥0恒成立．
①当m＋1＝0，即m＝－1时，不等式化为x－2≥0，
解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立，舍去；
②当m＋1≠0，即m≠－1时，对任意x∈R，
要使(m＋1)x2－mx＋m－1≥0，
只需m＋1＞0且Δ＝(－m)2－4(m＋1)(m－1)≤0，解得m≥.综上可知，实数m的取值范围是[.第3讲 一元二次方程、不等式
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．不等式≥0的解集为( )
A．[－2，1]
B．(－∞，－2)∪[1，＋∞)
C．(－2，1]
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
2．(2023·云南师大附属中学高三适应性测试)设全集U＝R，若集合A＝{x|y＝}，B＝{x|0≤x≤2}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x≤2}
C．{x|0＜x≤2} D．{x|x＞2}
3．(2024·浙江高三月考)已知a＞2，则关于x 的不等式ax2－(2＋a)x＋2＞0 的解集为( )
A．{x或x＞1}
B．{x＜x＜1}
C．{x}
D．{x}
4．已知命题p：“ x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3＞0”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．－1＜a＜2 B．a≥1
C．a＜－1 D．－1≤a＜2
5．(2023·大连市高三模拟)命题“ x＞0，ax2＋x＋1＜0”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是( )
A．a≥－ B．a≥0
C．a≥1 D．a＜1
(多选题)(2024·临沂市高三月考)已知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜
－1或x＞3}，则下列结论正确的是( )
A．a＜0
B．a＋b＋c＞0
C．c＞0
D．cx2－bx＋a＜0的解集为{x或x＞1}
7．(2023·武汉市高三期末联考)函数f(x)＝的定义域为________．
8．(2024·青岛市高三月考)若关于x的不等式ax2－3bx＋2a－1＞0的解集为{x|x＜－1或x＞3}，则a＋6b＝________．
9．(2023·北京名校模考)已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为________．
B级(综合创新练)
10．若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为( )
A．(6，7] B．[－3，－2)
C．[－3，－2)∪(6，7] D．[－3，7]
11．[原创题]已知对任意x∈R，不等式ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0(a≠0)恒成立，则的最大值为( )
A． B．
C． D．1
12．(多选题)(2023·海南省高三诊断)已知实数x，y满足(x＋y)2＝3＋xy，则( )
A．xy≤1 B．x＋y≥2
C．2x＋y≤2 D．x2＋y2≥1＋xy
13．(2024·武汉高三月考)已知关于x的不等式ax2＋4ax－3＜0，若不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－1}，则a的值为________；若此不等式在R上恒成立，则a的取值范围为________．
14．不等式(m＋1)x2－mx＋m－1＜0的解集为 ，则实数m的取值范围是________．
