第2讲 常用逻辑用语
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．(2024·辽宁月考)命题“ x∈R，2x＜x2”的否定是( )
A． x∈R，2x≥x2
B． x∈R，2x＞x2
C． x∈R，2x＜x2
D． x∈R，2x≥x2
2．“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列命题中，真命题的个数为( )
① x∈R，x2≥0；② x∈R，2x-1＞0；③ x∈R，lg x＜1；④ x∈(0，＋∞)，x＞x.
A．4 B．3
C．2 D．1
4．(2024·云南双基检测)已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＝－2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(多选题)(2023·南京二模)下列说法正确的是( )
A．“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件
B．“M＞N”是“lg M＞lg N”的必要不充分条件
C．命题“ x∈R，x2＋1＜0”的否定是“ x∈R，x2＋1＜0”
D．设函数f(x)的导数为f′(x)，则“f′(x0)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的充要条件
7．已知p：－1＜x＜3，q：log3x＜1，则p是q成立的________条件．(从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个填)
8．(2023·芜湖模拟)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
9．[原创题]已知p： x＞0，x2－ax＋4＜0，q：函数y＝x2＋(4a－2)x＋1在(－1，＋∞)上单调递增．若p是假命题，q是真命题，则实数a的取值范围为________．
B级(综合创新练)
10．(2023·泰安模拟)设计如下图的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是( )
11．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则( )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
12．(多选题)(2023·临沂模拟)下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是( )
A．xc2＞yc2 B．＜0
C．|x|＞|y| D．ln x＞ln y
13．(2023·山东模拟)已知p：实数m满足3a＜m＜4a(a＞0)，q：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是__________.
14．能说明“若f(x)＞f (0)对任意的x∈(0，2]都成立，则函数f(x)在[0，2]上单调递增”为假命题的一个函数是f(x)＝________．第2讲 常用逻辑用语
【课时训练】
A级(基础应用练)
1．(2024·辽宁月考)命题“ x∈R，2x＜x2”的否定是( )
A． x∈R，2x≥x2
B． x∈R，2x＞x2
C． x∈R，2x＜x2
D． x∈R，2x≥x2
答案：D
解析：命题“ x∈R，2x＜x2”的否定是“ x∈R，2x≥x2”，故选D.
2．“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：若xy＝0，如x＝0，y＝1，则x2＋y2≠0，故充分性不成立；若x2＋y2＝0，则x＝y＝0，则xy＝0，故必要性成立．
所以“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的必要不充分条件．故选B.
3．下列命题中，真命题的个数为( )
① x∈R，x2≥0；② x∈R，2x-1＞0；③ x∈R，lg x＜1；④ x∈(0，＋∞)，x＞x.
A．4 B．3
C．2 D．1
答案：A
解析：对于①，y＝x2≥0恒成立， x∈R，x2≥0，所以①正确；
对于②，y＝2x＞0，所以 x∈R，2x-1＞0，所以②正确；
对于③，当x＝1时，lg x＝0＜1，所以 x∈R，lg x＜1，所以③正确；对于④，因为 x∈(0，＋∞)，x＞x，所以④正确．故选A.
4．(2024·云南双基检测)已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若m＝－3，则a＝(9，－9)＝9b，所以a∥b；
若a∥b，则m2×(－1)－(－9)×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝
－3”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.
5．(2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＝－2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：(方法一)因为xy≠0，且＝－2，
所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＝－2”的充要条件．
(方法二)因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＝－1－1＝
－2，充分性成立；
因为xy≠0，且＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，必要性成立．
所以“x＋y＝0”是“＝－2”的充要条件．
6．(多选题)(2023·南京二模)下列说法正确的是( )
A．“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件
B．“M＞N”是“lg M＞lg N”的必要不充分条件
C．命题“ x∈R，x2＋1＜0”的否定是“ x∈R，x2＋1＜0”
D．设函数f(x)的导数为f′(x)，则“f′(x0)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的充要条件
答案：AB
解析：A选项中，a＞1 a2＞1，a2＞1 a＞1或a＜－1，故A正确；B选项中，当M＞N＞0时，有lg M＞lg N，而lg M＞lg N必有M＞N＞0，故B正确；C选项中，命题“ x∈R，x2＋1＜0”的否定为“ x∈R，x2＋1≥0”，故C错误；D选项中，f′(x0)＝0不一定有f(x)在x＝x0处取得极值，而f(x)在x＝x0处取得极值，则f′(x0)＝0，故D错误．故选AB.
7．已知p：－1＜x＜3，q：log3x＜1，则p是q成立的________条件．(从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个填)
答案：必要不充分
解析：由log3x＜1，得0＜x＜3.
因为(0，3)?(－1，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．
8．(2023·芜湖模拟)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
答案：－1＜k＜3
解析：直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点等价于，解得－1＜k＜3.
9．[原创题]已知p： x＞0，x2－ax＋4＜0，q：函数y＝x2＋(4a－2)x＋1在(－1，＋∞)上单调递增．若p是假命题，q是真命题，则实数a的取值范围为________．
答案：[1，4]
解析：由p是假命题，得 x＞0，x2－ax＋4≥0，a≤x＋.当x＞0时，x＋≥4，则a≤4.由q是真命题，得－≤－1，即a≥1，所以1≤a≤4.
B级(综合创新练)
10．(2023·泰安模拟)设计如下图的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是( )
答案：C
解析：选项A，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；
选项C，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；
选项D，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件．
11．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则( )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
答案：B
解析：若a1＝－1，q＝1，则Sn＝na1＝－n，则{Sn}是递减数列，充分性不成立；∵Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn，若{Sn}是递增数列，∴Sn＋1－Sn＝a1qn＞0，则a1＞0，q＞0，∴必要性成立．
故甲是乙的必要不充分条件，故选B.
12．(多选题)(2023·临沂模拟)下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是( )
A．xc2＞yc2 B．＜0
C．|x|＞|y| D．ln x＞ln y
答案：ABD
解析：对于A，若xc2＞yc2，则c2≠0，则x＞y，反之，x＞y，当c＝0时，得不出xc2＞yc2，所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，由＜0，可得y＜x＜0，即能推出x＞y，因为x，y的正负不确定，所以x＞y不能推出＜0，所以“＜0”是“x＞y”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，由|x|＞|y|，可得x2＞y2，则(x＋y)(x－y)＞0，不能推出x＞y，由x＞y也不能推出|x|＞|y|(如x＝1，y＝－2)，所以“|x|＞|y|”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，若ln x＞ln y，则x＞y，反之，x＞y得不出ln x＞ln y，所以“ln x＞ln y”是“x＞y”的充分不必要条件，故D正确．
13．(2023·山东模拟)已知p：实数m满足3a＜m＜4a(a＞0)，q：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是__________.
答案：
解析：由2－m＞m－1＞0，得1＜m＜，即q：1＜m＜.因为p是q的充分条件，所以解得.
14．能说明“若f(x)＞f (0)对任意的x∈(0，2]都成立，则函数f(x)在[0，2]上单调递增”为假命题的一个函数是f(x)＝________．
答案：sin x(答案不唯一)
解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在上单调递增，在上单调递减．由正弦函数的图象知，当x∈(0，2]时，f (x)＞f (0)＝sin 0＝0，故f (x)＝sin x满足条件f (x)＞f (0)对任意的x∈(0，2]都成立，但f (x)在[0，2]上不是单调递增的．
