2023—2024学年度第二学期期末学业水平诊断
高二数学
注意事项：
1.本试题满分 150分，考试时间为 120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用 0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出
答题区书写的答案无效：在草稿纸 试题卷上答题无效.
一 选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求.
1.从 6名大学毕业生中任选 3名去某中学支教，不同选派方法的总数为（ ）
A.12 B.18 C.20 D.120
2.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A.36 B.45 C.72 D.90
3.已知曲线 在点 处的切线与 轴相交于点 ，则实数 （ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.已知等比数列 的前 项和 ，则 （ ）
A.-1 B.1 C.-2 D.2
5.中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理，若随机变量 ，当 充分大时， 可以
由服从正态分布的随机变量 近似替代，且 的均值 方差分别与随机变量 的均值 方差近似相等.
某射手对目标进行 400次射击，且每次射击命中目标的概率为 ，则估计射击命中次数小于 336的
概率为（ ）
附：若 ，则 ，
.
A.0.9987 B.0.9773 C.0.8414 D.0.5
6.已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.某产品只有一等品 二等品，现随机装箱销售，每箱 15件.假定任意一箱含二等品件数为 的概
率分别为 .一顾客欲购一箱该产品，开箱随机查看其中 1件，若该件产品为一等品，则买
下这箱产品，否则退回，则该顾客买下这箱产品的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知 ，且 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.某弹簧振子在振动过程中的位移 （单位： ）与时间 （单位： ）之间的函数关系为
，则（ ）
A. 时，弹簧振子的位移为
B. 时，弹簧振子的瞬时速度为
C. 时，弹簧振子的瞬时加速度为
D. 时，弹簧振子的瞬时速度为
10.已知某两个变量 具有线性相关关系，由样本数据 确定的样本经验回归
方程为 ，且 .若剔除一个明显偏离直线的异常点 后，利用剩余 9组数据
得到修正后的经验回归方程为 ，由修正后的方程可推断出（ ）
A.变量 的样本相关系数为正数
B.经验回归直线恒过
C. 每增加 1个单位， 平均减少 1.6个单位
D.样本数据 对应的残差的绝对值为 0.2
11.设数列 满足下列条件： ，且当 时， .记项数为 的数
列 的个数为 ，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 展开式中含 项的系数为__________.
13.若曲线 与 总存在关于原点対称的点，则 的取值范围为__________.
14.南京大学 2023年的本科生录取通知书用科赫曲线的数学规律鼓励新生成为独一无二的自己，还
附赠“科赫雪花”微章，意在有限的生命中，创造无限可能.科赫曲线的作法是：从一个正三角形开始，
把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行
这一过程.下图展示的分别是 1阶 2阶 3阶 4阶科赫曲线，设 1阶科赫曲线的周长为 ，则 阶科
赫曲线的周长为__________；若 阶科赫曲线围成的平面图形的面积为 ，且满足 ，
则 的最小值为__________.（本小题第一空 2分，第二空 3分）
四 解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分 100分，得分 80及以上者获奖.为了解
学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了 50名学生作为样本，各分数段
学生人数及其选修阅读课程情况统计如下：
成绩
学生人数 6 10 24 7 3
选修读课程人数 0 3 9 5 3
（1）根据以上统计数据完成下面的 列联表，依据 的独立性检验，能否认为学生获
奖与选修阅读课程有关联；
获奖 没有获奖 合计
选修阅读课程
不选阅读课程
合计
（2）在上述样本的获奖学生中随机抽取 3名学生，设 3人中选修阅读课程人数为 ，求 的分布
列及数学期望.
参考公式： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.（15分）已知函数 .
（1）当 时，求过点 且与 图象相切的直线的方程；
（2）讨论函数 的单调性.
17.（1.5分）已知数列 是等差数列，且 ，数列 满足 ， ，
且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）将数列 的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列 ，求数列 的通
项公式；
（3）设数列 的前 项和为 ，证明： .
18.（17分）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的 6个小球，其中 3个黑球 3个白球.现从
袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至 3个白球全部取
出.
（1）求在第 2次取出的小球为黑球的条件下，第 1次取出的小球为白球的概率；
（2）记抽取 3次取出白球的数量为 ，求随机变量 的分布列；
（3）记恰好在第 次取出第二个白球的概率为 ，求 .
19.（17分）已知函数 存在两个不同的极值点.
（1）求 的取值范围；
（2）设函数 的极值点之和为 ，零点之和为 ，求证： .
2023～2024 学年度第二学期期末学业水平诊断
高二数学参考答案及评分标准
一、选择题
C C A D B D C A
二、选择题
9. ABD 10.BCD 11.AC
三、填空题
1 4 2 3 2
12. 80 13. ( ∞, ] 14. ( )n 1 L， L
e 3 45
四、解答题
15.解：（1）根据已知条件，可得：
获奖 没有获奖 合计
选修阅读课程 8 12 20
不选阅读课程 2 28 30
合计 10 40 50
······················································ 3分
零假设为 H0 ：创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联，
根据列联表中数据计算得到，
χ 2 = 50× (8×28 2×12)
2
= 25 ≈ 8.333 > 7.879 . ······························· 6分
20×30×10×40 3
根据小概率值α = 0.005的独立性检验，推断 H0 不成立，即认为创新作文比赛获奖与
选修阅读课程有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. ···························· 7分
（2）由题意可知 X 的可能取值为1,2,3,则 ··································· 8分
1 2 2 1
P(X 1) C8C2 1 C C 7= = 3 = ， P(X = 2) =
8 2 = ，
C10 15 C
3
10 15
3
P(X C 7= 3) = 83 = ， ········································ 11分 C10 15
所以,随机变量 X 的分布列为:
X 1 2 3
1 7P
7
1 5 1 5 1 5
E(X ) 1 1 7 7 12所以 = × + 2× + 3× = . ·························· 13分
15 15 15 5
16.解：（1）当a = 2 时， f (x) = (x2 2x +1)ex f ′(x) = (x2 1)ex，所以 . ········· 1分
设切点为 (x0, y0 )，则 y0 = (x
2
0 2x +1)e
x0 k = (x2 1)ex， 00 0 ，
高二数学答案（第 1 页，共 4 页）
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y (x2 x 2 x所以，切线方程为 0 00 2x0 +1)e = (x0 1)e (x x0 ) . ························ 3分
将 (1,0) 代入得 (x 20 1) x0 = 0 ，解得 x0 = 0或 x0 =1. ····························· 5分
故过 (1,0)的切线方程为 y = 0或 x + y 1= 0 . ················································ 7分
（2） f ′(x) = (2x + a)ex + (x2 + ax +1)ex = (x + a +1)(x +1)ex . ····················· 8分
当 a = 0 时， f ′(x) = (x +1)2 ex ，恒有 f ′(x) ≥ 0，函数 f (x) 单调递增. ········· 10分
当 a > 0 时， a 1< 1，当 x∈ ( ∞, a 1)，或 x∈ ( 1,+∞) 时， f ′(x) > 0，函
数 f (x) 单调递增，当 x∈ ( a 1, 1) 时， f ′(x) < 0，函数 f (x) 单调递减. ···· 12分
当 a < 0时， a 1 > 1，当 x∈ ( ∞, 1) ，或 x∈ ( a 1,+∞) 时， f ′(x) > 0，函数
f (x) 单调递增，当 x∈ ( 1, a 1) 时， f ′(x) < 0，函数 f (x) 单调递减. ······· 14分
综上，当a = 0 时，f (x) 在R 上单调递增，当a > 0 时，f (x) 在 ( ∞, a 1)，( 1,+∞)
上单调递增，在 ( a 1, 1)上单调递减，当a < 0时， f (x) 在 ( ∞, 1)，( a 1,+∞)
上单调递增，在 ( 1, a 1)上单调递减. ······························ 15分
17.解：（1）由题意可知，b2 b1 = a2 ，即b2 1= 1，故b2 = 0. ························ 1分
由b3 b2 = a3 ，可得a3 =1. ······················································ 2分
所以数列{an}的公差d = 2，所以an = 1+ 2(n 2) = 2n 5 . ······················ 3分
由bn bn 1 = an ，bn 1 bn 2 = an 1， ，b2 b1 = a2 ，
b b a a a (n 1)( 1+ 2n 5)叠加可得 n 1 = 2 + 3 + + n = ， 2
2
整理可得 bn = n 4n + 4(n ≥ 2)；当n =1时，满足上式，
2
所以bn = n 4n + 4 ················································································ 5分
2
a b (m, n N ) 2m 5 (n 2)2 m (n 2) + 5（2）不妨设 m = n ∈ ，即 = ，可得 = ， ········ 6分 2
当 n = 2k m 2k 2 4k 9时， = + ，不合题意，
2
当 n = 2k 1时，m = 2k 2 6k + 7 = 2k(k 3) + 7∈N ， ································ 7分
所以b2k 1在数列{an}中均存在公共项，
又因为b1 = b
2
3 < b5 < b7 < ，所以cn = b2n+1 = (2n 1) . ································· 9分
5
（3）当n =1时，T1 =1< ，结论成立， ············································ 10分 4
n 2 1 1 1 1 1 1当 ≥ 时， = 2 < = ( )， ····················· 12分 cn (2n 1) (2n 2)×2n 4 n 1 n
高二数学答案（第 2 页，共 4 页）
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所以Tn <1
1 (1 1 1 1 1 1+ + + + )
4 3 3 5 n 1 n
1 1 5 1 5
=1+ (1 ) = < ，
4 n 4 4n 4
5
综上，Tn < . ·················································· 15分 4
18.解：（1）记事件 A =“第 2 次取出的小球为黑球”；事件 B =“第 1 次取出的小球为白球”，
3 3 3 3 11
则 P(A) = × + × = ， ············································ 2分
6 6 6 5 20
3 3 3 P(B | A) P(AB) 6P(AB) = × = ，所以 = = ； ·································· 4分
6 5 10 P(A) 11
（2）由题意， X 的可能取值为0,1,2,3，则 ·············································· 5分
P(X = 0) 3 3 3 1= × × = ，
6 6 6 8
P(X 1) 3 3 3 + 3 3 3 + 3 3 3 91= = × × × × × × = ,
6 5 5 6 6 5 6 6 6 200
P(X 2) 3 2 3 + 3 3 2 3 3 2 37= = × × × × + × × = ,
6 5 4 6 5 5 6 6 5 100
P(X = 3) 3 2 1 1= × × = ，
6 5 4 20
所以，随机变量 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
1 91 37 1
P
8 200 100 20
··········································· 10分
（3）由题意可知，前n 1次取了一个白球，第n 次取了第二个白球，则：
P 3 3n = [ × ( )
n 2 3 3 3+ × × ( )n 3 + + (3)n 2 3 2× ]× ··························· 12分
6 5 6 6 5 6 6 5
= 3 2 3× ×[( )n 2 3 3 3+ × ( )n 3 + ( )n 3 3 (3× + )n 2 ]
6 5 5 6 5 6 5 6
1 (3= × )n 2[1 5 (5+ + )2 + (5)n 2 ]
5 5 6 6 6
1 3 1 (
5
)n 1
= × ( )n 2 65 = 2×[(
3)n 1 1 ( )n 1] (n ≥ 2,n∈N*) . ···················· 16分
5 5 1 5 2
6
P 2 [(3所以 n = × )
n 1 1 ( )n 1] (n ≥ 2,n∈N*) . ·································· 17分
5 2
19.解：（1）函数 f (x) 定义域为 (0,+∞)，
f ′(x) a ln x a(x 1) 1 1 x +1= + + + = a(ln x + ) +1， ···································· 1分
x x
高二数学答案（第 3 页，共 4 页）
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显然a ≠ 0 x +1 1，令 f ′(x) = 0，可得 ln x + = ，
x a
t(x) ln x x +1令 = + ，由 f (x) 有两个不同极值点得 t(x) 1= 有两个不同的正根. ·· 3分
x a
t ′(x) 1 1 x 1因为 = ′2 = 2 . 当 x∈ (0,1)时， t (x) < 0， t(x) 单减， x∈ (1,+∞) 时，x x x
t ′(x) > 0 ， t(x)单增. ················································································ 5分
所以 t(x)的极小值即最小值 t(1) = 2，又当 x → 0 时， t(x) →+∞，且 x →+∞时，
t(x) 1 1→+∞，所以 > 2，即 < a < 0. ··········································· 6分
a 2
（2）设 x1 , x2 为函数 f (x) 的极值点，由（1），不妨设 x1 < 1< x2 ，下证 x1 + x2 > 2 .
要证： x2 > 2 x1 >1，只要证 t(x2 ) > t(2 x1) .
令 g(x) = t(x) t(2 x)(0 < x <1) . ···························· 8分
2
因为 g′(x) t′(x) x 1 1 x 4(x 1)= + t′(2 x) = 2 + 2 = 2 2 < 0. ··········· 10分 x (2 x) x (2 x)
所以 g(x) 在 (0,1) 上单调递减，所以 g(x) > g(1) = 0，
故 t(x2 ) > t(2 x1)，即 x1 + x2 > 2 . ························· 11分
由（1）可知，在 (0, x1 ) 上， f ′(x) = a(t(x)
1
+ ) < 0， f (x) 单调递减，在 (x1 , x2 ) a
上， f ′(x) > 0， f (x) 单调递增，在 (x2 ,+∞) 上， f ′(x) < 0， f (x) 单调递减，
又因为 f (1) = 0，所以 f (x1 ) < f (1) = 0，
1 1 1
因为 < a < 0，所以 < 2，所以ea < e 2 < 1，
2 a
1 1 1 1 1
而 f (ea ) = a(ea +1) ln ea + ea 1 = 2ea > 0，
1
所以 f (x) 在 (ea , x1 ) 上存在点 x3 ，使得 f (x3 ) = 0 ， ····························· 13分
1 1
同理 f (x2 ) > f (1) = 0 ，又 > 2， e a > e
2 > 1，
a
1 1 1 1
f (e a ) = a(e a +1) ln e a + e a 1 = 2 < 0，
1
所以 f (x) 在 (x2 , e a )上存在点 x4 ，使得 f (x4 ) = 0， ····························· 14分
故 f (x) 存在 3 个零点 x3 ,1, x4 ，
1 1 1 1 1 1
注意到 f ( ) = a( +1) ln + 1 = (a(x +1) ln x + x 1) = f (x) ， · 15分
x x x x x x
1 1
所以 x3 = ，所以 x3 + xx 4
= x3 + > 2 . ··································· 16分
4 x3
所以 x1 + x2 + x3 + x4 +1 > 5 ，即m + n > 5 . ···································· 17分
高二数学答案（第 4 页，共 4 页）
{#{QQABRYYQoggoAIBAAAhCAQXKCkOQkACACQgOBEAIMAAAARNABAA=}#}
