银川一中2023/2024学年度(下)高二暑假自主复习练习卷（二）
数 学 试 卷
单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知甲、乙、丙三人的年龄均为正整数，且甲的年龄大于乙的年龄，则“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于2”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数与的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．已知函数满足：，，则下列说法正确的有（ ）
A．是周期函数 B．
C． D．图象的一个对称中心为
5．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．16 B．72 C．74 D．90
7．世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．已知关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ）
A． B．不等式的解集是
C． D．不等式的解集为
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在上单调递减
C．直线是图象的一条对称轴
D．在上的取值范围为
11．已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有． 当时，恒成立，则（ ）
A．
B．在上是单调函数
C．有三个零点
D．当时，
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．已知正实数a，b满足，则的最大值为 .
13．已知，则 .
14．若存在实数，对任意的，不等式恒成立.则正数的取值范围是 .
四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）设，函数.
(1)求的值，使得为奇函数；
(2)若，求满足的实数的取值范围.
16．（15分）已知二次函数（，为实数）
(1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
17．（15分）已知函数.
(1)若，，求的值；
(2)设，求在区间上的最大值和最小值.
18．（17分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.水城春茶因富含有机茶硒和十余种人体必需的微量元素而享誉贵州省内外.经验表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是，室温是，则经过时间t（单位：分钟）后物体的温度（单位：）满足，其中k为正常数.该研究小组在的室温下，通过多次测量取平均值的方法，测得200mL初始温度为的水的温度降至相应温度所需时间如下表所示：
从降至所需时间 3.4分钟
从降至所需时间 5.0分钟
(1)从上表中选取一组数据求出k的值（精确到0.01），并根据上述冷却模型写出冷却时间t关于冷却后水温的函数解析式；
(2)在（1）的条件下，现用200mL水在的室温下泡制水城春茶，从泡制到获得最佳饮用口感约需要多少分钟？（精确到0.1分钟）
（参考数据：，，，）
19．（17分）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”．
(1)若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由；
(2)若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：；
(3)已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值．
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数 学 试 卷（参考答案）
命题教师：
单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【答案】A
【详解】当时，，
当时，，
所以，所以，故A正确.
2．【答案】C
【详解】若乙的年龄大于丙的年龄，则乙与丙的年龄之差不小于1．因为甲的年龄大于乙的年龄，
所以甲与乙的年龄之差不小于1，所以甲与丙的年龄之差不小于2，反之不成立．
故“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于”的充分不必要条件．
3.【答案】D
【详解】函数与都是偶函数，其中，，
在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.
4．【答案】A
【详解】对于A，由于，故.
从而，这就得到，所以，即.
所以是周期函数，故A正确；
对于B，C，D，取，则满足条件，但，，同时由于，，从而关于的对称点并不在函数图象上，故B，C，D错误；
5．【答案】A
【详解】的定义域为R，，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除B选项；
又，
所以，函数图象在处的切线斜率大于0，所以排除C、D选项；
6．【答案】C
【详解】由题意知，只要解不等式，化简得．因为，所以，所以．
7．【答案】C
【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号），
在上的最大值为，与图象不符，A错误；
对于B，当时，，与图象不符，B错误；
对于C，，当时，；
又过点；
由得：，解得：，即函数定义域为；
又，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：与图象相符，C正确；
对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误.
8．【答案】C
【详解】∵，∴，∴是偶函数，
，当时，，故函数在上单调递增，
令，则，
即函数在上单调递减，故，
即可，而，
所以，∴．
二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．【答案】ABD
【详解】由题意可知和3是方程的两根,且 ，, ,
, , ，即选项正确； 不等式等价于,
，即选项正确； 不等式的解集为 ,
当时，有，即选项错误；
∵不等式等价于，即 , 或,即选项正确.
10．【答案】BCD
【详解】对于A，由图可得的最小正周期为，则，解得，
将代人中，得，
则，解得．
因为，所以，则，故A错误．
对于B，由，得，
因为，所以在上单调递减，故B正确．
对于C，因为，
所以直线是图象的一条对称轴，故C正确．
对于D,由，得，所以，，所以的取值范围为，故D正确．
11．【答案】ACD
【详解】由题，对于A：令，，所以A正确；
对于B：令， ，得；令，，得，
令，，得，所以B不正确；
对于C：当时， ，得，
故，即
又即，
所以，设，
则，
因为，所以， ，因为当时，恒成立，
所以，即，故在上单调递增，
又，，且函数是上的奇函数，
所以，故有三个零点． 所以C正确；
对于D：当时，因为在上单调递增，，，所以 ；
当时，因为，， ，
， ，由奇函数在上单调递增，所以；所以当时，.所以D正确.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．【答案】
【详解】，,，，
令，，
当且仅当，即时取等号，此时，的最大值为.
13．【答案】
【详解】由，得，
则，即．
14.【答案】
【详解】存在实数，对任意的，不等式恒成立，
等价于或，整理得①或②，
令，，，
则不等式①②等价于的图象夹在和之间，
令，解得，即，，
的对称轴为，设点关于直线的对称点为点，则，
对任意的，函数的图象必须夹在和图象之间，
所以，即，故.
四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．【答案】(1)(2)
【详解】（1）由为奇函数，可知，即，解得，
当时，对一切非零实数恒成立，
故时，为奇函数.
（2）由，可得，解得，所以
解得：，所以满足的实数的取值范围是.
16．【答案】(1)(2)
【详解】（1）依题意，，即，
由，恒成立，得，即，整理得，
解得.所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，，由，得，即，
依题意，对恒成立，
令，则对，恒成立，于是，
解得，所以实数的取值范围是．
17．【答案】(1)或(2)最大值为，最小值为
【详解】（1）因为，由，得到，
解得或，
即或，又，所以或.
（2）因为，令，因为，得到，
由的图象与性质知，，所以，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
18． 【答案】(1)(2)分钟
【详解】（1）由题可知，有，
若取第一组数据，则有，得，
此时解析式为；
若取第二组数据，则有，解得，
此时解析式为.综上，所求解析式为
（2）由（1）知，，
令，则，解得.
所以，从泡制到获得最佳饮用口感约需要分钟.
19． 【答案】(1)不是，理由见解析(2)证明见解析(3)的所有可能值为或
【详解】（1）不是关于的“函数”．
解法一：当时，，所以不存在，使得
解法二：因为函数()的值域为，比如取，则，
不存在，使得；
（2）设．
由题意，存在，使得．
因为函数是关于的“函数”，
所以存在，满足，
从而．
同理，由是关于的“函数”，
可得，
综上，；
（3）记集合，．
由是关于的“函数”，得，
①当时， ，，
从而，解得，
因唯一，令，解得(舍)或(舍)；
②当时，，，
从而，解得，
因唯一，令，解得，符合题意；
③当时，，，
从而，解得，
因唯一，令，解得，符合题意；
综上，的所有可能值为或．
