田韩勒奋求史创斯
长春市实验中学
2023-2024学年下学期期宋考试
高二数学试卷
试时间，120分钟
分值：150分
一、选择题：本题共8小题，小题5分，共40分，在：小题给出的四个地坝中，贝有
一项是符合题目要求的
1、已知A={刘x=2k,keZ,B-{x2-2x-350},则A∩B=（)
A、{-1,0,1,2,3}B.{0,2
C.(-2,0}
1D.{-2,0,2)
2、若命题"3x∈R,x2-ax-a≤0”为假命题，则实数a的叹值范倒是(、
A.（0,4]U[0,+o∞)B.（-0,4)U(0,+o)
c.[-4,0]
D.J(-4,0)
3、两个线性相关变量x与y的统计数据如袋：
9
9.5
10
10.5
11
11
10
8
5
其回归直线方程是y=bx+40,则相对应于点(11,5)的吸差e4y一y为（）
A.0.1
B.0.2
C.-0.1
D.·0.2
(4.·下列说法锚误的是()
A.对两个变盘x,y进行线性相关检验，得戗性相关系数片一0.8995，对两个变趾，
1
v进行线性相关枪验，得线性相关系数？=0.9568，/则变量x句y正相关，变w与
y负相关，变耻w与v的线性相关性较题
B,若随机变最Y服从两点分布，且E(Y)=行，则D(2Y)=1
C.以换型y=co“去拟合一组数据时，为了求出回归方租影设z口my,将其变换后
得到线性方程z=0.5x+1,则c,k的值分别是o,0.5
D.回归直线夕=6x+a植过样本点的中心（不，），且至少过一个彬本点：
5,甲、乙、丙三人相约-一炮去做核酸检测，到达检测点，发现有A,B两文在等秋检激
的队伍，则甲，乙、闪三人不同的排队方案共有（)
A.12种
B,18种
C.24种
D.36
第】页共6页
田姑勘奋求实创斯
6.己知随机变的分布列为门表)：则下列说法正确的是、)
A.存在x,y∈(0，)，B(5)>1
B.对任 x,ye(0,1),E(5)s月
C.容在xy0,),D(5)>月
D.对任意x,y∈(0,1)，D(5)sE(5)
7.随脊我国铁路的发展，列车的正点率有了显蒋的提高.据统计，途经某车站的只有和
谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为：兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点
率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号
的概率为()
A.0.2
B.0:5
C.0.6
D.0.8
8.已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数为∫'(x),且满足(1-)f(x)+x'(x)>0,
则关于x不等式2xf(2x-1)-ef(x+2)<0的解染为〈)
+2
A(侵）B.6+o）c.D.(月
、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.八在年小题给出的四个选项中，有多
符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分，
9.已知(2+x(1一2x)=ao十ax十a2x2+ax3+aa十ar+aa6,则↓)
A.ao的值为2
B.a5的信为16
C.au十a2+a3+a4+as十a6的值为-5
D.a1+a3+a5的怕为120
10.已知函数f(x)=x2-x+1,则(
A。,(x)有两个极值点
B.直线，y=2x是出线y=f(x)的切线
C.(x)有一个妥点
D.过点(1,0)与曲线y=f(x相切的且银有且只有1条
11.随着社会经济的不断发展，电子商务平台使人们购物加方便快楚，假设某电商平
台的市场占有率和产品优质率的信息如丧：
电商平台
甲
乙
其他市场
占有率
50%
40%
10%
优质产品率
90%
90%
80%
第2页共6页长春市实验中学
2023-2024 学年下学期期末考试
高二数学 参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1.B 2.D 3.B 4.D 5. C 6.D 7.D 8.A
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．
9. ABC 10.AC 11.AD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
1
12. 2 3 13. 3 ln2 14. ①②3 3
详细解答
1．【答案】B
2
【详解】 B x∣x 2x 3 0 x∣ 1 x 3 ，
且A集合为偶数集. 则 A B {0,2} 故选:B.
2．【答案】D
【详解】因为命题“ x R， x2 ax a 0 ”为假命题，
所以它的否定“ x R ， x2 ax a 0 ”为真命题，则 a2 4a 0，解得 -4 < a < 0．
故选：D
3．【答案】B
x 9 9.5 10 10.5 11【详解】 10 y
11 10 8 6 5
， 8，
5 5
所以8 b 10 40，所以b 3.2，故 y 3.2x 40 .
当 x 11时， y 3.2 11 40 4.8，故 ei＝5－4.8=0.2，故选：B.
4．【答案】D
【详解】A： r1 0， r2 0， | r1 | | r2 |，因此 A正确．
p 1 D(Y ) p(1 p) 1B：由题可知： ， ，D(2Y ) 4D(Y ) 1．因此 B正确．
2 4
C：对 y ce k x两边同时取对数，得到 ln y ln ce kx ln c kx ，
设 z ln y，则 z lnc kx 0.5x 1，即 k 0.5， c e，因此 C正确．
D： 回归直线方程恒过样本中心点，但不一定过样本点．因此 D错误．
故选：D
5．【答案】C
3
【详解】先进行分类：①3人到A队伍检测，考虑三人在A队的排队顺序，此时有A3 6
种方案；
参考答案 第 1 页 共 7 页
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②2人到A队伍检测，同样要考虑两人在A队的排队顺序，此时有 A2 6种方案；
3
③1人到A队伍检测，要考虑两人在 B队的排队顺序，此时有 A2 6种方案；
3
④0人到A队伍检测，要考虑两人在 B队的排队顺序，此时有A33 6种方案；
所以，甲 乙 丙三人不同的排队方案共有 24种. 故选：C
6．【答案】D
【详解】由随机变量 的分布列，可得 x y 1，其中0 x 1,0 y 1，
2
因为期望 E 2xy x y2xy ，则 1 ，
2 2
当且仅当 x y
1
时等号成立，即 E 1 ，故 A，B错误；
2 2
又由方差D x 2xy 2 y y 2xy 2 x 1 2y 2 x2 y 1 2x 2 y2x
1 2y
2 x 1 2x 2 y yx 2x 1
2 x 1 2x 2 y yx
1 2x 2 x y yx 1 2x 2 yx，
因为 0 x 1，可得 1 2x 1 1，所以0 2x 1 2 1，
1
所以D yx，即D E ，所以 D成立；
2
x y 2
又因为D 1 2x 2 yx xy 1 ，所以 C错误． 故选：D.
4 4
7．【答案】D
【详解】令事件 A：经过的列车为和谐号；事件 B，经过的列车为复兴号；事件 C，列车
未正点到达，
则 P(A)
2 ,P(B) 1 ,P(C | A) 0.02,P(C | B) 0.01，
3 3
于是 P(C) P(A)P(C | A) P(B)P(C | B)
2
0.02 1 0.01 0.05 ，
3 3 3
2
P AC P A P (C |A ) 0.023
所以该列车为和谐号的概率为 P A |C
P C P C 0.05
0.8 .故选：D
3
8．【答案】A
【详解】涉及函数定义域为 (0, )，
g(x) xf (x) [ f (x) xf g (x) (x)]e
x xf (x)ex f (x) xf (x) xf (x)
设 x ，则 ，e e2x ex
∵ 1 x f x xf x 0，∴ g (x) 0，∴ g(x)在 (0, )上单调递增，
2x 1 f 2x 1 ex 3 f x 2 0 (2x 1) f (2x 1) (x 2) f (x 2)不等式 可化为 2x 1 ，即x 2 e ex 2
2x 1 0
g(2x 1) g(x 2) 1，所以2x 1 x 2， x 3，又 x
x 2 0
，得 ，
2
1
∴原不等式的解为 x 32 ．故选：A．
参考答案 第 2 页 共 7 页
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9．【答案】ABC
【详解】对于 A，令 x＝0，得 a0＝2×1＝2，故 A正确；
对于 B，(1－2x)5 r r的展开式的通项为T rr 1 C5 2x Cr5 2 xr，所以
a5 2 2
5 C55 1 2
4 C45 64 80 16，故 B正确；
对于 C，令 x＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6 ①，即 a1＋a2＋a3＋
a4＋a5＋a6＝－3－a0＝－3－2＝－5，故 C正确；
对于 D，令 x＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6 ②，由①②解
得 a1＋a3＋a5＝－123，故 D不正确.
故选：ABC
10．【答案】AC
3 3
【详解】 f (x) 3x 2 1 , 令 f (x) 0 , 解得 x 或 x , 令 f (x) 0 ,
3 3
3 3 3 3 3 3
解得 x ； f (x) 在 , , , 上单调递增, 在 ,3 3 3 3
上
3 3
3 2 3 9 3
单调递减, 且 f 3
0 , f
9 2 3
0 .
9 3 9
f (x) 有两个极值点, 有且仅有一个零点, 故选项 A，C正确，
假设 y 2x 是曲线 y f (x) 的切线, 设切点为 (a ,b) ,
3a2 1 2 a 1 a 1
则 ，解得 或 ，
2a b b 2
b 2
显然 (1, 2) 和 ( 1, 2) 均不在曲线 y f (x)上, 故选项 B错误.
对于选项 D，过点 1,0 与曲线 y f x 相切的直线有 2条.故选项 D错误；
故选：AC.
11．【答案】AD
1 2 1
【详解】依题意 P A1 ， P A2 ， P A3 ；2 5 10
P B | A1 0.9， P B | A2 0.9，P B | A3 0.8，所以P B | A1 0.1，
所以 P B P A1 P B | A1 P A2 P B | A2 P A3 P B | A3
1 2 1
0.9 0.9 0.8 0.89 所以 P BA3 P B | A3 P A2 5 10 3 0.1 0.8 0.08，
P AP A 3B 0.08 8所以 3 B P B 0.89 89
故选：AD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
1
12 2 3．【答案】
3 3
【详解】1 x2 y2 2 xy 1 xy x y 3xy 3xy，所以 ，当且仅当 x y时等号成立；
3
1 x2 y2 xy x y 2 xy 2因为 ，所以 xy x y 1，
参考答案 第 3 页 共 7 页
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2
xy x y
2
又因为 ，所以 x y
2 1 x y 2 3 ，解得 x y
2 3
，
2 2 3 3
所以 x y 2 3 3的最小值为 ，当且仅当 x y 时等号成立.
3 3
1 2 3
故答案为： ； .3 3
13．【答案】3 ln2
【详解】设曲线 y ln 1 x 1上切点 A x1, ln 1 x1 ， y ，1 x
切线斜率 k
1
，切线方程 y ln 1
1 1 x
x1 x x1 ，即 y x 1 ln 1 x1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 1 1
同理，设曲线 y 2 lnx上切点 B x 12 , 2 lnx2 ， y ，x
1
切线斜率 k ，切线方程 y 2 lnx
1 1
2 x x2 ，即 y x 1 lnxx x x 2，2 2 2
1 1 x 1 1 x 1 1 x2 2
所以 ，解得x 1 ln(1 x ) 1 ln x x 1
，
1 x 1
2
2
1 2
所以 k 2，b 1 ln 2， k b 3 ln 2 . 故答案为：3 ln 2 .
14．【答案】①②
【详解】对于①，因为 P(B 45)
1
[1 P(21 Z 45)] 1 (1 0.9973) 0.00135，
2 2
即乘坐线路18 : 02能到家的概率为0.00135，
所以乘坐线路 B，18 : 00前不一定能到家，所以①错误；
对于②，乘坐线路 A在17 :58前到家的概率为
P(A 1 48) [1 P(40 Z 48)] P(40 Z 48) 1 (1 0.9545) 0.9545 0.9772 5，
2 2
乘坐线路 B在17 :58前到家的概率为
P(B 41) 1 1 [1 P(25 Z 41)] P(25 Z 41) (1 0.9545) 0.9545 0.97725，
2 2
所以乘坐线路 A和乘坐线路 B在17 :58前到家的可能性一样，所以②错误；
1
对于③，乘坐线路 A在17 :54前到家的概率为 P(A 44) ，
2
乘坐线路 B在17 :54前到家的概率为
P(B 37) 1 [1 P(29 Z 37)] P(29 Z 1 37) (1 0.6827) 0.6827 0.84135 1 ，
2 2 2
所以乘坐线路 B比乘坐线路 A在17 :54前到家的可能性更大，故③正确；
对于④，乘坐线路 A，则在17 : 48前到家的概率为
P(A 38) 1 [1 P(38 Z 50)] 1 (1 0.9973) 0.00135 0.01，所以④正确.
2 2
故答案为：①②
参考答案 第 4 页 共 7 页
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四、解答题：本题共 5 小题，满分 77 分．
15．（本题满分 13分）
【详解】（1）由 2 f x f x 2x 3可得 2 f x f x 2x 3，
2 f x f x 2x 3
联立 ，解得 f x 2x 12 f x f x 2x 3 .----------------------------------------4 分
2 1 2x 1 x 2x 1 x（ ）由（ ）可得 g x 3 t 2 3 1 t 3 2t 3 ，
x 1 令3 u 2，则当 x 1,1 时，u ,3 ，所以 g u 3u 2tu，-----------------------6 分 3
所以 g u 在 ,
t t 上单调递减，在 , 上单调递增，
3 3
t 1 2
当 g u g 1 3 1 1，即t 1时， 2t 3 ，解得 t 5，与t 13 3 min 3 3 3
矛盾，-----------------------8分
t
当 3，即 t 9 2时， g u g 3 3 3 2t 3 3
3 min
，解得 t 5，与 t 9矛盾，
-----------------------10 分
1 t 2
当 3，即 9 t 1时，g
3 3 u g
t 3 t 2t
t 3，解得 t 3，min 3 3 3
由 9 t 1可得 t 3，-----------------------12分
综上存在实数 t 3使得 g x 的最小值为 3 .-----------------------13分
16．（本题满分 15分）
【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动”为事件 B．
8
C1C1 8 C1C1 C2 3 P AB 8
则 P AB 4 22 , P A 4 2 22 ，所以PC 15 C 5 B A
15 ；
6 6 P A 3 9
5
---------------------6 分
CkC2 k
（2）依题意知 X 服从超几何分布，且P X k 2 42 k 0,1,2 ，C6
C2P X 0 4 2 C
1
4 C
1 8 C2 1
2 2
C2
,P X 1 2 ,P X 2 2 , -----------------------10分
6 5 C6 15 C6 15
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
2 8 1
P
5 15 15
---------------------------------------11分
2 2 2
E X 0 2 1 8 2 1 2 ,D X 2 0 2 8 1 2 1 2 16 2 .
5 15 15 3 5 3 15 3 15 3 45
----------------------------15分
参考答案 第 5 页 共 7 页
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17．（本题满分 15分）
【详解】（1）零假设为 H0 :积极性与性别之间无关联．-----------------------1 分
2 200 (70 40 60 30)
2 200
由列联表可知 2.198，-----------------------4分
130 70 100 100 91
因为 2.198 2.706，根据小概率值 0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此认为H0成立，即不能在犯错误的概率不超过10%的情况下认为该校参加体育运动的
积极性与性别有关.-----------------------6 分
X B(3, 2（2）由题意可知 )， X 的所有可能取值为0,1,2,3，-----------------------7 分
5
P(X 0) C0 (3)3 27 3 ，P(X 1) C
1(2 3 )
3 54
( )2 ，
5 125 5 5 125
P(X 2) C 2 (2)2 3 36 P(X 3) C3(2 )3 83 ， 3 .5 5 125 5 125
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
27 54 36 8
P
125 125 125 125
-----------------------11分
E(X ) 3 2 6 ，D(X ) 3
2 (1 2) 18 .-----------------------15 分
5 5 5 5 25
18．（本题满分 17分）
【详解】（1）由题意，根据相关系数的公式，可得
10 xi yi 10x yr i 1 452.1 0.72
10 x2i 10x 2 10 y2 2i 1 i 1 i 10y 17 37.16
.-----------------------6 分
（2）由（1）可知，因为0.72 0.75，所以投资额 y关于满意度 x没有达到较强线性相关，
所以要“末位淘汰”掉 K敬老院.
x 21.9 10 13 206 22.89 y 72.1 10 52 669重新计算得 ， 74.33，---------9 分
9 9 9 9
9
x2 9x 2 288.9 10 21.92 132i 9 22.892 200.43，-----------------------11分
i 1
9
xi yi 9x y 452.1 10 21.9 72.1 13 52 9 22.89 74.33 253.28，-----------13分
i 1
9 x y 9x y
b i 1 i i 253.28所以 9 1.26 1.3，-----------------------15分 x2 9x 2 200.43i 1 i
a y b x 74.33 1.26 22.89 45.49 45.5 .
所以所求线性回归方程为 y 1.3x 45.5 .-----------------------17分
参考答案 第 6 页 共 7 页
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19．（本题满分 17分）
2
【详解】（1）解：因为 f x 1 x a ln x，则 f x
x
1 1 a x ax 1 2 2 ，x x x
-----------------------2 分
因为函数 f x 在 2, 上单调递减，则对任意的 x 2， f x 0，
a 1 1
即 1 0 ，可得 a x ，
x x 2 x
2
设 h x x 1 ，则 h x 1 1 x 1
x x2 ，x2
5 5
当 x 2时， h x 0，所以， h x 单调递增，则 h x h 2 ，故 a ，
2 2
5
即实数 a的取值范围是 , ．-----------------------6 分 2
（2）证明：由（1）知：x x1、 2满足 x2 ax 1 0，则 x1x2 1，
不妨设0 x1 x2 ，则 x2 1．
f x1 f x2 1 1 a ln x1 ln x2 2 a ln x1 ln x 2ln x 2 2 a 2
则 x1 x2 x1x2 x1 x 12 x1 x2 x ，
x 22
-----------------------10分
f x1 f x
2a ln x2
2 a
则要证 a 2，即证 1 ，
x x x1 2 x 22
即证 2 ln x
1 1
2 x2 x ，也即证
x
x 2
2 ln x2 0成立．
2 2
g x 1 x 2lnx 1 2 x 1
2
设函数 ，则
x g x
2 1 2 0 ，x x x
所以， g x 在 0, 单调递减，又 g 1 0．
故当 x 1, 时， g x g 1 0，
1 f x1 f x2
所以， x2 2 ln x2 0x ，即
a 2
x x .-----------------------17
分
2 1 2
参考答案 第 7 页 共 7 页
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