2023-2024学年新疆维吾尔自治区部分名校高二下学期期末联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数为，若，则( )
A. B. C. D.
3.一场文艺汇演中共有个小品节目个歌唱类节目和个舞蹈类节目，若要求个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知两个变量与的对应关系如下表：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则( )
A. B. C. D.
5.向如图放置的空容器中注水，直至注满为止下列图象中可以大致刻画容器中水的
体积与水的高度的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
6.不透明的袋子中有个除颜色外其余完全相同的小球，其中个红色小球，个蓝色小球，从袋子中随机摸出个小球，在摸出红色小球的条件下，摸出的红色小球个数大于蓝色小球个数的概率为( )
A. B. C. D.
7.九章算术是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿斗粟羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 有最小值但没有最大值
B. 对于任意的，恒有
C. 仅有一个零点
D. 有两个极值点
10.若数列满足对任意的正整数，都有，则称为“凸数列”下列结论正确的是( )
A. 若，则数列为“凸数列”
B. 若，则数列为“凸数列”
C. 若单调递减数列的前项和为，则数列为“凸数列”
D. 若数列的前项和为，数列为“凸数列”，则为单调递减数列
11.袋中共有个除颜色外完全相同的球，其中有个红球和个白球，每次随机取个，有放回地取球，则下列说法正确的是( )
A. 若规定摸到次红球即停止取球，则恰好取次停止取球的概率为
B. 若进行了次取球，记为取到红球的次数，则
C. 若规定摸到次红球即停止取球，则在恰好取次停止取球的条件下，第次摸到红球的概率为
D. 若进行了次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的公比为，且，则 ．
13.已知随机变是，则 ．
14.已知，若不等式恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象在点处的切线与直线垂直．
求的值；
求在上的最值．
16.本小题分
某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男
女
合计
根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取人，收集对该产品的改进建议若从这人中随机抽取人，求所抽取的人中女性人数大于男性人数的概率．
附：．
17.本小题分
已知数列满足，其中表示从个元素中任选个元素的组合数．
求的通项公式；
求的前项和．
18.本小题分
点球大战是指在足球比赛中，双方球队在经过分钟常规赛和分钟加时赛后仍然无法分出胜负的条件下，采取以互罚点球决胜负的方法在点球大战中，双方球队确定各自罚球队员的顺序，通过抽签的方式决定哪一方先罚，双方球队各出人进行次罚球作为轮罚球，点球大战期间队员不可重复罚球，除非一方球队的全部球员已依次全部罚球点球大战主要分为两个阶段：第一阶段，以双方球员交替各踢次点球作为轮罚球，前轮罚球以累计进球数多的一队获胜，当双方未交替踢满轮，就已能分出胜负时，裁判会宣布进球多的一队获胜，当双方交替踢满轮，双方进球数还是相等时，则进入第二阶段：第二阶段，双方球队继续罚球，直到出现某轮结束时，一方罚进而另一方未罚进的局面，则由罚进的方取得胜利现有甲乙两队每支队伍各名球员已经进入了点球大战，甲队先罚球，各队已经确定好罚球队员的顺序，甲队的球员第轮上场，球员在点球时罚进球的概率为，其余的名球员在点球时罚进球的概率均为．
求第轮罚球结束时甲队获胜的概率；
已知甲乙两队的点球大战已经进入第二阶段，在第二阶段的第轮罚球结束时甲队获胜的条件下，甲乙两队第二阶段的进球数之和为，求的分布列及数学期望．
19.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
当恒成立时，判断的零点个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
由，得．
因为的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，即，解得；
由可知，
当时，单调递减，
当时，单调递增．
因为，
所以，
所以在上的最大值为，最小值为．
16.解：
零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关．
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为客户对该产品的评价结果与性别有关．
由题意得抽取的人中，男性人数为，
女性人数为．
当人中有名女性和名男性时，，
当人全部为女性时，，
则所抽取的人中女性人数大于男性人数的概率．
17.解：
因为，
所以，
则，
所以，
则．
因为，
所以，
则，
所以，
则，
所以．
18.解：
第轮罚球结束时甲队获胜，则甲队前轮进球，乙队前轮未进球，
所以第轮罚球结束时甲队获胜的概率为．
甲乙两队的点球大战已经进入第二阶段，每一轮罚球甲队进球乙队未进球的概率为，甲乙两队均进球的概率为，甲乙两队均未进球的概率为．
设事件为“第二阶段的第轮罚球结束时甲队获胜”，则第二阶段的前轮罚球甲乙两队的进球数相等，第轮罚球为甲队进球乙队未进球，
所以．
由题意得的可能取值为，
，
，
，
，
的分布列为
所以．
19.解：
由知．
当时，对有，所以在上递增；
当时，对有，对有，
所以在上递增，在上递减．
综上，当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减．
当恒成立时，
假设，则．
从而，这与矛盾，所以一定有．
当时，据的单调性有．
故对，有，代入表达式知，即．
所以对都有，
这就得到
．
故恒成立．
综上，的取值范围是．
下面来讨论的零点个数：
当时，根据的单调性，有，所以没有零点；
当时，首先有．
而根据的单调性，对有，所以有唯一的零点即．
综上，当时，的零点个数为；当时，的零点个数为．
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