第17讲 速算与巧算
专题概述
速算与巧算是指运用一定的运算定理，如交换律、结合律以及数的分解与组合，将复杂的运算进行简便快速地运算。主要题型有：
(1)根据凑整法对同加或同减的算式进行速算；
(2)掌握“数字带着符号搬家”的方法，对加减混合运算进行巧算；
(3)运用等差公式：和=(首数+末数)×个数的一半，进行巧算；
(4)对因数拆分进行巧算。
典型例题1
计算:10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20
分析 解题时我们可以从左往右逐步相加，这种逐步相加非常麻烦，且容易出错，因此可以利用“凑十法”，但这里每个数都大于等于10，因此可以根据数字特征凑成30，这样计算就简便得多。
解
思维训练1
计算:675-66-34-28-27-22-21-14-13-9-6
2.计算下列各题。
(1)33+55+67 (2)26+34+74
典型例题2
计算 1—91+99—9+199—54+201—46的值。
分析 带符号搬家，达到凑整的效果。
解 原式= 1+99+199+201—91—9—54—46
=(1+99)+(199+201)-(91+9)-(54+46)
=100+400-100-100
=300
思维训练2
计算下列式子的值。
1. 185+27-85+173-150+350
2. 12-14+16-18+20-22+24-26+28-30+32
典型例题3
计算下列各题。
(1)2+5+8+11+14 (2)1+2+3+4+4+6+7+8+9+10
分析 两个算式都是等差数列，第一个等差连续数的个数是奇数，和=中间数×个数，因为2+14=2×8,5+11=2×8,相当于5个8相加,第二个等差连续数的个数是偶数,和=(首数+末数)×个数的一半,因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,总共是5对,是个数的一半。
解 (1)2+5+8+11+14=5×8=40
(2)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)×5=11×5=55
思维训练3
1.计算下列算式。
(1) 3+5+7+9+11+13+15+17 (2)1+5+9+13+17
2. 计算:96+98+100+102+104(两种方法)
典型例题4
计算下列各题。
(1) 1×2×3×4×5 (2)24×25
分析 仔细观察:(1)可以先算2×5=10或者4×5=20,再进行计算。(2)分别将24和25拆成24=4×6,25=5×5,再进行简便运算。
解 (1)1×2×3×4×5=1×(2×5)×(3×4)=10×12=120
(2)24×25=4×6×5×5=(4×5)×(6×5)=20×30=600
思维训练4
1. 计算:36×25
2. 计算:4×8×25
竞赛强化
1.计算下列各题。
(1)78+45 (2)67+29+4 (3)53+18+19 (4)39+39+39
2. 计算:139+362+283+119
3. 计算:2012—2017+2004—2000+2008—1999+2020
4. 计算:19+199+1999+19999+199999
5. 计算:48×25
6. 计算:2×3×4×5×6×7×8×9×0
7. 计算:150—32—21—18—9
8. 计算:97×98×99×100÷99÷98
9. 计算:1+2+3+…+9+10+9+8+…+3+2+1
计算:135+357+579+791+913
第 17 讲 速算与巧算
思维训练1
1. 675—66—34—28—27—22—21—14—13-9-6=675--(34+66)-(28+22)-(27+13)-(21+9)--(14+6)=675-100—50—40—30—20 —675—100—40一(50+30+20) =435
2. (1)33+55+67=55+(33+67)=55+100=155
(2)26+34+74=34+(26+74)=34+100=134
思维训练2
185+27—85+173—150+350=185—85+27+173+350-150=(185-85)+(27+173)+(350—150)=100+200+200=500
2. 12—14+16—18+20—22+24—26+28—30+32=32-30+28-26+24-22+20-18+16—14+12=(32—30)+(28—26)+(24—22)+(20-18)+(16-14)+12=2+2+2+2+2+12=2×5+12=10+12=22
思维训练3
1.(1)3+5+7+9+11+13+15+17=(3+
17)×4=20×4=80
(2)1+5+9+13+17=9×5=45
2. 方法一:96+98+100+102+104=100×5=500;
方法二:96+104+98+102+100=100—4+100-2+100+4+100+2+100=200+200+100=500。
思维训练4
1. 36×25=6×6×5×5=(6×5)×(6×5)=30×30=900
2. 4×8×25=4×8×(5×5)=(4×5)×(8×5)=20×40=800
竞赛强化
1. (1)78+45=78+(22+23)=(78+22)+23=100+23=123
(2)67+29+4=67+29+3+1=(67+3)+(29+1)=70+30=100
(3)53+18+19=50+2+1+18+19=50+(2+18)+(1+19)=50+20+20=90
(4)39+39+39=(39+1)+(39+1)+(39+1)-3=40+40+40-3=120-3=117
2. 139+362+283+119=140+360+280+120-1+2+3-1=(140+360)+(280+120)+3=500+400+3=903
3. 原式=2000—2000—2000—2000+2000—2000+2000+12—17+4—0+8+1+20=2000+(12+4+8+1+20)--17=2000+(45-17)=2000+28=2028
4. 19+199+1999+19999+199999=20+200+2000+20000+200000-5=222220一5=222215
5. 48×25=6×8×5×5=(6×5)×(8×5)=30×40=1200
6. 2×3×4×5×6×7×8×9×0=0
7. 150—32—21—18—9 =150—(32+18)—(21+9)=150—50—30 =100—30=70
8. 97×98×99×100÷99÷98=98÷98×99÷99×97×100=(98÷98)×(99÷99)×97×100=1×1×97×100=9700
9. 1+2+3+…+9+10+9+8+…+3+2+1=(1+2+3+…+9)×2+10 =5×9×2+10=5×2×9+10 =10×9+10=100
10.观察可知，这 5 个数的个位、十位、百位上1、3、5、7、9各出现1次,因此得到如下规律：百位上各数相加得1+3+5+7+9=25,即25 个百为2500;十位上各数相加也为 25,即25 个十为 250;个位上各数相加也为25，即25个一为25。
原式=2500+250+25=2000+500+200+50+25=2000+(500+200)+(50+25)=2775
