第16讲 数数与计数
专题概述
常见的数数与计数方法有：画“正”法、分类加法计数法与分步乘法计数法等。在数数时应注意按照一定的顺序，当数量庞大时可以进行分组或分类，数一类，记一类，不遗漏也不重复。主要题型有：
(1)数出图中列出的所有点。
(2)准确数出线段、角与堆叠的小正方体。
(3)数出堆叠的小正方体表面的喷漆情况。
(4)对生活中比赛、排队等问题进行计数。
典型例题1
数一数，图中有多少个点
分析 方法一:从内到外数,可得算式1+10+7×5=46(个)。如图(1)所示。
方法二：作出五角星线条，再减去重复的交点，每条线上有11个点，重复的交点有10个，1+11×5-10=46(个)。如图(2)所示。
解 1+10+7×5=46(个)或 1+11×5-10=46(个)
思维训练1
1.数一数，下图中有多少个点。
2.以下图形是轴对称图形，请你还原下图，并且数出原来的图形由多少个点构成。
典型例题2
数一数，图有多少条线段。
分析 两个端点构成一条线段，具体线段如下：计算得出线段总数为5+4+3+2+1=15(条)。
解 5+4+3+2+1=15(条)
思维训练2
1.数一数，图中共有多少个角
2.数一数，图形由多少个小正方体组成
典型例题3
如图，有一堆小立方体放在地面上，现在要给这堆立方体喷上油漆，请你回答以下问题：
(1)图中共有多少个小立方体
(2)有多少个小立方体没有喷到油漆
(3)有多少个小立方体喷到 2面油漆，有多少个小立方体喷到3面油漆，有多少个小立方体喷到4面油漆
分析 (1)底下一层有4+4+4=12(个),上一层有2个,因此共有14个小立方体。(2)与地面接触的面喷不到油漆，下一层中被上一层挡住的2个小立方体没有喷到油漆，有12个立方体喷到了油漆。(3)上层的2个小立方体，分别是底面和彼此连接的两个面没有喷到油漆，因此上层的2个小立方体分别有4面喷上油漆。从上往下看，每个小立方体喷上油漆的面数如图所示：
3 2 2 3
2 4 4 2
3 2 2 3
解 (1)2+4+4+4=14(个)
图中有2个小立方体没有喷到油漆。
(3)有6个小立方体喷到2面油漆，有4个小立方体喷到3面油漆，有2个小立方体喷到4 面油漆。
思维训练3
1.如图有一堆小立方体放在地面上，现在要给这堆小立方体喷上油漆，请你回答以下问题：
(1)这里共有多少个小立方体
(2)有多少个小立方体没有喷到油漆
(3)有多少个小立方体喷到 1 面油漆，有几个小立方体喷到2面油漆，有多少个小立方体喷到3面油漆
2.如图，地面上堆放着小立方体，现在要给这堆小立方体喷上油漆，请你回答以下问题：
(1)有多少个小立方体被喷到4个面的油漆
(2)有多少个小立方体被喷到3个面的油漆
典型例题4
学校开设了舞蹈和合唱两个社团，二年级(3)班共有 45 个学生，已知33人参加了舞蹈社团，36人参加了合唱社团，两个社团都参加的有多少人
分析 如图所示：舞蹈社团+合唱社团—既参加舞蹈又参加合唱=二年级(3)班总人数。
解 33+36-45=24(人)
答：两个社团都参加的有24人。
思维训练4
1.学校要进行足球队选拔赛，共有5个足球队，两两之间进行比赛，总共要比赛多少场
2.李老师要进行班队活动，他让全班15个男同学围成一个圈，然后每2 个男同学之间插一名女同学，刚好插满，全班共有多少名学生
竞赛强化
1.下面是一块地板，它由不同形状的小瓷砖拼成，如图所示的两种小瓷砖各用了多少块
2.学校要进行广播操比赛，王老师将全班平均排成4列，从前往后数，丁丁排在第3列的第 6位，从后往前数丁丁排在第3列的第2位，全班共有多少人
环保局在解放路上种植了一段香樟树的绿化带，每隔2米种一棵香樟树，一共种了10棵树，这段绿化带长多少米
4.张老师给班里学生分发学校的新校服，林林数了数发现和自己一样穿裙子的有17 人，穿裤子的有21人，班里总共多少人
5.数一数，图形中有多少个三角形
6.数一数，图中共有多少个长方形
7.林林和几个小伙伴一起分享一块小蛋糕(如图所示)，林林切了4 刀，请你数一数，图中共有多少个三角形
8.如图，1个小正方形、5个等腰直角三角形和1个直角梯形恰好拼成了一个大正方形，如果只用阴影三角形来拼这个大正方形，那么至少需要多少个阴影三角形
9.如图，地面上堆放着小立方体，现在要给这堆小立方体喷上油漆，请你回答以下问题：
(1)这里有多少个小立方体
(2)有多少个小立方体喷到3面油漆 有多少个小立方体喷到4 面油漆
10.请你数一数，图中有多少条线段。
第 16 讲 数数与计数
思维训练1
1. 按如下方式数:9+10+11+12+13+14+15=84(个)
2.还原如图所示，通过数数，可以得出一半有8×3=24(个)点,原图形共有 24+24=48(个)点
思维训练2
1.数的具体过程如图所示，则角的个数共有4+3+2+1=10(个)
2.方法一：如图所示从下往上一层一层地数,第一层 3×2=6(个);第二层 3×2=6(个)；两层小正方体的总个数3×2×2=12(个)
方法二：如图所示，从右往左一排一排地数,第一排 2×2=4(个);第二排 2×2=4(个);第三排 2×2=4(个);三排小正方体的总个数2×2×3=12(个)
思维训练3
1. (1)4+9=13(个)
(2)只有1个小立方体没喷到。
(3)有2个小立方体喷到1面油漆，有 3个小立方体喷到2面油漆，有7个小立方体喷到3面油漆。
2.从上往下看，小立方体被喷到油漆的面数如图所示：
(1)有 2 个小立方体被喷到4 个面的油漆。
(2)有 3 个小立方体被喷到 3 个面的油漆。
思维训练4
1.将5个足球队看成5个点，根据题意得，两点画一条线段，如图所示。
答：总共要比赛10场。
2. 15+15=30(名)
答：全班共有30名学生。
竞赛强化
1.①所示的小瓷砖 4 个，②所示的小瓷砖8个。
2.如图所示，由题意得：第3列共有7人，总共有7×4=28(人)
答：全班共有28人。
3.(10——1)×2=18(米)
答：这段绿化带长18米。
4. 1+17+21=39(人)
答：班里总共39人。
5.观察图形得一个小三角形有 1+3+5+7=16(个)，4个小三角形能组成一个大三角形，这样的三角形有6个，倒立的大三角形有1个；9个小三角形能组成一个更大的三角形，这样的大三角形有 3个；最大的三角形有1个。总共：27个。
6.先给这个图形进行标号，含有1个长方形的是: ①、②、③、④、⑤、⑥、⑦;
含有2个长方形的是: ①②、①⑤、②③、③④、⑥⑦;
含有3个长方形的是: ①②③、②③④、⑤⑥⑦;
含有4 个长方形的是: ①②③④;
含有5个长方形的是:②③④⑥⑦;
含有7 个长方形的是:①②③④⑤⑥⑦。
共有:7+5+3+1+1+1=18
① ⑤
② ⑥ ⑦
③
④
7.只有1个三角形组成的有6个；由2 个三角形组成的有 4 个；由 3个三角形组成的有2个；由6个三角形组成的有1个；总共:6+4+2+1=13(个)
8. 将大正方形分割如下,共有8×4=32(个)所以至少需要32个阴影三角形。
9.(1)这里有7个小立方体。
(2)从上往下看，看到的图形如下(标注了喷上油漆的面数)。所以有 5个小立方体喷到3面油漆，有2个小立方体喷到了4 面油漆。
10.如图所示，按照不同的端点来数，两个端点构成一条线段。
由上图可知,共有7+4+3+3+2+2+1=22(条)线段。
