福鼎第四中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学试题
（满分150分，120分钟完卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.已知向量，，若，则（
A． B． C．或1 D．或3
的三个内角，，的对边分别为，，，，则 （
A． B． C． D．
4．在中，为边上的中线，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
6．在复数范围内方程的根为（ ）
A．和1 B．和5 C． D．
7．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛，若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（ ）
A．北偏东 B．北偏东
C．北偏东 D．北偏东
8．在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A. B. 复数的虚部为1
C. D.
10．下列各组向量中，一定能推出的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．，，，则
C．若为的内心，，则
D．若为的重心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的内角，，的对边分别为，，．已知，，，
则 .
13．已知，，，则在方向上的投影向量是 .
14．已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）设复数．
（1）若是实数，求
（2）若是纯虚数，求．
16．（15分）.已知向量，.
（1）若//，求；
（2）若，，求与的夹角的余弦值.
17（15分）．已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(3)若的面积为，，求的周长
18（17分）．1．夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站位于点处（离地面高度忽略不计），观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友，正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距离为，假设三点在同一水平面上．
(1)求此时钓友与小孩之间的距离．
(2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因．
19．（17分）在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=
(1)试用，表示；
(2)若，求∠ARB的余弦值
(3)若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围.1.B 2. C 3.B 4. A 5. D 6.D 7.C 8.A 9.BCD 10.ABC 11.ACD
