宝鸡市渭滨区2023-2024学年高一下学期期末质量监测
数学试题
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数（ ）
A.2 B.-2 C. D.
2.已知是边长为的正三角形，那么平面直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
3.八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中，其中为与同向的单位向量.下列结论正确的（ ）
A.与的夹角为；
B.；
C.；
D.在上的投影向量为
4.一组数据按从小到大的顺序排列为（其中），若该组数据的中位数是众数倍，则该组数据的方差和分位数分别是（ ）
A.， B.， C.5，5 D.5，6
5.已知各棱长都为1的平行六面体中，棱两两的夹角均为，则异面直线与所成角为（ ）
A. B. C. D.
6.已知满足则点依次是的（ ）
A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心
C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，内心
7.在中，角所对的边分别为，已知的面积为则的值为（ ）
A. B. C.2 D.4
8.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知一组样本数据的方差，则以下说法正确的是（ ）
A.这组样本数据的总和等于100
B.这组样本数据的中位数一定为2
C.数据的标准差为
D.现有一组新的样本数据，该组样本数据的极差比原样本数据的极差大
10.下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A.已知，且，则
B.若非零满足则与的夹角是
C.已知不能作为平面内所有向量的一组基底
D.已知且与夹角为锐角，则且
11.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A.2个球都是红球的概率为
B.至少有1个红球的概率为
C.2个球不都是红球的概率为
D.2个球中恰有1个红球的概率为
12.已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（ ）
A.棱台的高为
B.棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为
C.棱台的表面积为
D.棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，为单位向量，向量，的夹角为，则向量在向量上的投影向量为__________.
14.如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________.米.（保留根号）
15.中，点为上的点，且，若，则__________.
16.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为__________.
四 解答题：本题共5小题，共70分.每题14分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤
17.平面直角坐标系中，已知点，点满足，
（1）当时，求点的坐标；
（2）若，求的值.
18.在复平面内，是坐标原点，向量，对应的复数分别为，.
（1）若，求实数的值；
（2）求的最小值；
（3）若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
19.为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查.随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：.
（1）求的值；
（2）求这100户居民问卷评分的中位数；
（3）若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取2户进行专项调查，求这2户居民中恰有1户的评分在内的概率.
20.记的内角的对边分别为，满足.
（1）求角；
（2）若是中线，求的长.
21.如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，.
（1）证明：平面平面；
（2）若与平面的夹角为，求二面角的正弦值.
高一年级数学参考答案
一 单选题
1-8ADCB ACDB
二 多选题
9.AC 10.CD 11.ABD 12.BC
三 填空题
13. 14. 15. 16.
四 解答题
17.【详解】（1）设点，则，
因为点，所以.
又因为点满足，所以.
当时，，
所以，所以点的坐标为.
（2）由点，可得，
因为，且，
所以，
所以.
18.解
（1）由题设知，，
，解得
（2）
故的最小值为4
（3）
由题知，解得所以实数的取值范围是
19.【详解】
（1）由频率分布直方图可得，，
解得；
（2）由频率分布直方图可得，
，
则中位数在之间，设为，
则，解得，故中位数为77.5分；
（3）评分在对应的频率为，
从评分在和内的居民中共抽取6人，
则评分在占2人，设为，评分在占4人，，
从6人中选取2人的情况为：
，共15种，
其中这2人中恰有1人的评分在的情
为：，共8种，
故这2人中恰有1人的评分在内的概率为：.
20.【详解】
解：（1）因为，由正弦定理可知：，
由，故，
所以，
所以，又，所以；
（2）根据数量积的定义，由，得，
又，在中，由余弦定理得：，
因为，所以，
所以.
21.【详解】（1）设，连接，
为正方形，，
又为的中点，，
面面PAC，
又面，所以面面.
（2）在平面中，过点P作交于点，
面面，面面，又平面，
平面，即为与平面所成的角，即，
又，即，
过点作交于点，连接，
平面平面，
又平面面，
又平面，即即为二面角的平面角，
为正方形，，则，
，即，解得，又平面平面，
，
，即求得二面角的正弦值为.
