人教版数学八年级上暑假预习课
第二讲 三角形有关的角
一、专题导航
二、知识点梳理
知识点1 三角形的内角和
三角形的内角及内角和定理
三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
三角形内角和定理：三角形内角和是180
典例剖析1
例1-1．如图，在中，，，过点A作，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
例1-2．一幅三角板和如图所示放置．，点在边上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
知识点2 三角形外角的性质
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是
△ABC的一个外角.
性质
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∠ACD ＝ ∠A +∠B
②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角
∠ACD ＞ ∠A ∠ACD ＞∠B
归纳
1．三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
2．三角形的外角和等于360°．
3.三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
三角形的外角和等于360°。即∠ACD +∠CBE +∠BAF ＝ 360°
注意：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非6个外角之和)
常见模型
①飞镖模型
结论：∠BOC= ∠A+∠B+∠C
②八字模型：
结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D
③翻折型：
如图，已知△ABC中，∠A沿着EF翻折到∠A’,请探究 ∠A， ∠1，∠2 之间的关系？
结论：∠A =
④如图所示，已知△ABC ，直线EF截∠C形成∠1和∠2，
结论：∠C =∠1+∠2 180°
⑤【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D，则.
⑥.【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D，则.
⑦.【外外模型】如图，两个外角的角平分线交于点D，则.
典例剖析2
例2-1．如图，，求的度数．
例2-2．（1）如图，和交于交于点O，求证： ．
（2）如图，求证：．
例2-3．如图，中，D、E分别是边上的点，平分，求证：
例2-4．如图所示，为内一点，，求的度数．
例2-5．一个零件的形状如图所示，按规定应等于，，应分别是和．李叔叔量得，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？请用两种不同的方法说明理由．
例2-6．如图，在中，的平分线和外角的平分线交于点P．求证：．
知识点3 直角三角形的性质和判定
1.直角三角形的性质
（1）.文字叙述：直角三角形的两个锐角互余。
（2）.几何语言：在Rt△ABC中，由∠C=90°，得∠ A + ∠ B = 90°
2.直角三角形的判定
1.文字叙述：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2.几何语言：在△ABC中，由∠ A + ∠ B = 90°，得∠C=90°，即△ABC是直角三角形。
典例剖析3
例3-1．如图，在中，，，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
例3-2．在中，是边上的高，是的角平分线，直线与高交于点F，若，，则的度数为 度．
3．如图，点在的延长线上，，求的度数．
．
4．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
三、变式训练
变式1.三角形的内角和
1.光线在镜面上反射时，经过入射点与镜面垂直的直线是法线，反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，两束光线，分别从不同方向射向镜面m，入射点为A，B，，是法线．，的反射光线相交于点C．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，如果，，那么按角分类，是 三角形．
3．如图，于点，，，则的度数为
变式2.三角形的外角性质
1．如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点的位置，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，与的平分线相交于．若，则 度．
4．如图，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处，若，则 ．
5．【基础巩固】（1）如图1，已知，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，点E是线段上一点．，求的度数；
【拓展提高】（3）如图3，在四边形中，，点E是线段上一点．若平分．
①试求出的度数；
②已知，点G是直线上的一个动点，连接并延长．
2.1若恰好平分，当与四边形中一边所在直线垂直时，_____；
2.2如图4，若是的平分线与的延长线交于点F，与交于点P，且，则______（用含的代数式表示）．
6．如图，在中，分别是，的平分线，分别是，的平分线．
(1)当，时，________，________，
(2)若，求，的度数；
(3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由．
变式3.直角三角形的性质判定
1．如图，在中，于D，平分交于点E，交于点F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，D为上一点，，．
(1)判断的形状；
(2)判断是否与垂直．
3．如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
四、能力提升
提升1.三角形的内角和
1.如图，已知线段与直线的夹角，点在上，点是直线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处，当时，则 度．
2．如图，在中，，平分，交于点E．求的度数．
提升2.三角形的外角性质
1．如图，在中，为边上的高，点E为上一点，连结．
(1)当为边的中线时，若，的面积为40，求的长；
(2)当为的平分线时，若，求的度数．
2．已知：如图，在中，P为内一点，平分，平分．
(1)如图1，当时，则的度数为__________．
(2)如图2，过C作，交延长线于点Q，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，过C作，延长与延长线交于点N，若，且，求的度数．
3．综合与探究
(1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数．
(3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示．
4．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．
(1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝ ，可以发现与的数量关系是 ；
(2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数；
(3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系．
提升3.直角三角形的性质判定
1.【题目】如图①，在中，，平分，于点．试探究与，的数量关系．
【探究】小明尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值：
（单位：度） 70 75 80
（单位：度） 30 45 20
（单位：度） 20 15 a
（1）上表中________，猜想得到与，的数量关系为________；
（2）证明（1）中猜想得到的与，的数量关系；
【应用】如图②，在中，平分，是线段上一点，于点．若，，则的大小为________度；
【拓展】如图③，在中，，平分，点在的延长线上，于点，分别作和的平分线，交于点．设，，则的大小为__________（用含，的式子表示）．
2．（1）如图，已知在中，，于，于，、所在直线交于点，求的度数；
（2）在（1）的基础上，若每秒扩大，且在变化过程中与始终保持是锐角，经过秒，在，这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求的值；
（3）在（2）的基础上，与的角平分线交于点，是否为定值，如果是，请直接写出的值，如果不是，请写出是如何变化的．
人教版数学八年级上暑假预习课
第二讲 三角形有关的角
一、专题导航
二、知识点梳理
知识点1 三角形的内角和
三角形的内角及内角和定理
三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
三角形内角和定理：三角形内角和是180
典例剖析1
例1-1．如图，在中，，，过点A作，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，利用三角形内角和定理求出，再根据两直线平行内错角相等，即可作答．
【详解】∵，，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
例1-2．一幅三角板和如图所示放置．，点在边上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
先利用平行线的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，即可解答．
【详解】解：如图：
∵，
，
，
，
，
故选：A．
知识点2 三角形外角的性质
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是
△ABC的一个外角.
性质
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∠ACD ＝ ∠A +∠B
②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角
∠ACD ＞ ∠A ∠ACD ＞∠B
归纳
1．三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
2．三角形的外角和等于360°．
3.三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
三角形的外角和等于360°。即∠ACD +∠CBE +∠BAF ＝ 360°
注意：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非6个外角之和)
常见模型
①飞镖模型
结论：∠BOC= ∠A+∠B+∠C
②八字模型：
结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D
③翻折型：
如图，已知△ABC中，∠A沿着EF翻折到∠A’,请探究 ∠A， ∠1，∠2 之间的关系？
结论：∠A =
④如图所示，已知△ABC ，直线EF截∠C形成∠1和∠2，
结论：∠C =∠1+∠2 180°
⑤【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D，则.
⑥.【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D，则.
⑦.【外外模型】如图，两个外角的角平分线交于点D，则.
典例剖析2
例2-1．如图，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形外角等知识，根据是的一个外角，是的一个外角，数形结合即可得到答案，熟练掌握外角性质，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴．
例2-2．（1）如图，和交于交于点O，求证： ．
（2）如图，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了三角形外角和定理的综合运用．
根据三角形外角的性质，即可得到，，即可得到．
延长线段交线段与点E，求得，，即可解答．
【详解】解：（1）如图，在中，是一个外角，由外角的性质可得：，
同理，在中，，
所以．
（2）如图，延长线段交线段与点E，
在中，①；
在中， ②，
将①代入②得，.
例2-3．如图，中，D、E分别是边上的点，平分，求证：
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形的外角，根据三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，即可得出结论，正确地找到角的关系是解本题的关键．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
例2-4．如图所示，为内一点，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查利用外角性质求角度，涉及三角形外角性质等知识，延长交于，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出的度数．数量掌握三角形外角性质，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：延长交于，如图所示：
分别为的外角，
∴，，
∴，
∴．
例2-5．一个零件的形状如图所示，按规定应等于，，应分别是和．李叔叔量得，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？请用两种不同的方法说明理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角定理；运用这两个定理找出角之间的数量关系是解题的关键．通过与的数量关系求出，与实际的测量值比较即可．
【详解】解：方法一：如图，连接并延长；
在中，，
在中，，
∴，
∴李叔叔量得，就可以断定这个零件不合格；
方法二：如图，延长交于；
∵
∴
∴
∴
∴李叔叔量得，就可以断定这个零件不合格．
例2-6．如图，在中，的平分线和外角的平分线交于点P．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查角平分线的定义和三角形外角的性质，根据角平分线的定义可得，再根据即可证明．
【详解】证明：由题意，得，
，
．
知识点3 直角三角形的性质和判定
1.直角三角形的性质
（1）.文字叙述：直角三角形的两个锐角互余。
（2）.几何语言：在Rt△ABC中，由∠C=90°，得∠ A + ∠ B = 90°
2.直角三角形的判定
1.文字叙述：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2.几何语言：在△ABC中，由∠ A + ∠ B = 90°，得∠C=90°，即△ABC是直角三角形。
典例剖析3
例3-1．如图，在中，，，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键．
在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形．
【详解】解：在中，，
∴，
又∵，
，
∴，
是直角三角形．
故选：C．
例3-2．在中，是边上的高，是的角平分线，直线与高交于点F，若，，则的度数为 度．
【答案】92或144
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，对顶角，直角三角形的性质以及角平分线的意义．分两种情况讨论，第一种情况：为锐角：先由角平分线的意义及直角三角形两锐角互余，求出，，再由三角形外角定理即可求解；第二种情况，为钝角：先由角平分线的意义及直角三角形两锐角互余，求出，，再由三角形内角和定理求出，即可求解．
【详解】解：第一种情况：为锐角，如图：
∵是的角平分线，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
第二种情况，为钝角，如图：
∵是的角平分线，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：92或144．
3．如图，点在的延长线上，，求的度数．
【答案】
【分析】此题考查了平行线的性质、直角三角形的性质等知识，先求出，再由平行线的性质得到，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
4．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
三、变式训练
变式1.三角形的内角和
1.光线在镜面上反射时，经过入射点与镜面垂直的直线是法线，反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，两束光线，分别从不同方向射向镜面m，入射点为A，B，，是法线．，的反射光线相交于点C．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了余角，三角形内角和定理．熟练掌握余角，三角形内角和定理是解题的关键．
如图，由题意知，，，根据，求解作答即可．
【详解】解：如图，
由题意知，，，
∴，
故选：C．
2．在中，如果，，那么按角分类，是 三角形．
【答案】钝角
【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及钝角三角形的定义，熟记三角形的内角和定理是解本题的关键．根据三角形的内角和定理，求出∠A，再判断三角形的形状．
【详解】解：∵中，如果，，，
∴，
∴三角形是钝角三角形．
故答案为：钝角．
3．如图，于点，，，则的度数为
【答案】/35度
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，由可得，即可由平行线的性质得到，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
变式2.三角形的外角性质
1．如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，角平分线，对顶角相等，解题的关键是掌握这些知识点．
根据三角形内角和定理得，根据角平分线得，根据高得，可得，根据对顶角相等即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵为的高，
∴，
∴
∴，
故选：A．
2．如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点的位置，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题）三角形内角和定理以及平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．由折叠的性质得到，再利用三角形内角和定理及平角的定义即可求出所求的度数．
【详解】解：由折叠的性质得：，
，
，
，
，
故选：D．
3．如图，中，与的平分线相交于．若，则 度．
【答案】115
【分析】本题主要利用了角平分线的性质和三角形的内角和，根据角平分线的性质和三角形的内角和定理求解，熟练利用相关性质求解是解题的关键．
【详解】解：，
．
与的平分线相交于，
，
．
故答案为：．
4．如图，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处，若，则 ．
【答案】116
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据折叠的性质得出，，再由三角形内角和定理得出，再根据平行线的性质得出，进而求解即可．
【详解】∵，将沿折叠后，点A落在点处，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：116．
5．【基础巩固】（1）如图1，已知，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，点E是线段上一点．，求的度数；
【拓展提高】（3）如图3，在四边形中，，点E是线段上一点．若平分．
①试求出的度数；
②已知，点G是直线上的一个动点，连接并延长．
2.1若恰好平分，当与四边形中一边所在直线垂直时，_____；
2.2如图4，若是的平分线与的延长线交于点F，与交于点P，且，则______（用含的代数式表示）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；②2.1：或或；2.2：
【分析】本题考查了根据平行线的性质求角度，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确作出辅助线，分情况讨论进行求解解题关键．
（1）由平行线的性质可得，即可求解；
（2）由平行线的推论可得，由（1）的可求解；
（3）①由平行线的性质可得，由三角形内角和定理可求；②2.1先求出的度数，再分四种情况讨论，由角的数量关系可求解；2.2分别求出的度数，由平行线的性质可求解．
【详解】（1）证明：，
，
；
（2）解：如图2，过点E作，交于F，
，
，
由（1）可知：，
，
；
（3）解：①，
，
平分，
，
又，
，
；
②2.1，
，
，
，
，
恰好平分，
，
当或时，；
当时，，
；
当时，，
综上所述：的度数为或或，
故答案为：或或；
2.2是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
6．如图，在中，分别是，的平分线，分别是，的平分线．
(1)当，时，________，________，
(2)若，求，的度数；
(3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，
(3)的值不变，理由见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算、三角形的内角和定理等知识点，学会整体思想是解题关键．
（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；
（3）利用（2）的结论即得结果．
【详解】（1）解：∵分别是，的平分线，，，
∴，，
∴；
∵分别是，的平分线，
∴，
∴．
故答案为60，120．
（2）解：在中，，
∵，分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∵，，
，，
∴，，
∵，分别是，的平分线，
∴，
∴．
（3）解：的值不变，理由如下：
由（2）可知：，，
∴，即当的大小变化时，的值不变．
变式3.直角三角形的性质判定
1．如图，在中，于D，平分交于点E，交于点F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及直角三角形的性质．在中，由三角形的内角和定理得到的度数，又根据平分，得到的度数，再根据余角的定义即可求解；
【详解】解：在中，，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴．
故选：C．
2．如图，在中，D为上一点，，．
(1)判断的形状；
(2)判断是否与垂直．
【答案】(1)是直角三角形
(2)
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴．
3．如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
【答案】，，
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理证得即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵和交于点E，
∴，
∴，，均为直角三角形．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，涉及平行线的性质、角平分线的定义、邻补角、锐角互余的三角形是直角三角形等知识，熟练掌握锐角互余的三角形是直角三角形是解答的关键．
四、能力提升
提升1.三角形的内角和
1.如图，已知线段与直线的夹角，点在上，点是直线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处，当时，则 度．
【答案】110或70
【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换（折叠问题），分两种情况讨论是解题的关键．
分两种情况：当点N在射线上运动时；当点N在射线上运动时；然后分别进行计算，即可解答．
【详解】分两种情况：
当点N在射线上运动时，如图：
延长到D，
∵，
∴，
由折叠得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点N在射线上运动时，如图：
延长到E，
由折叠得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述：当时，则或，
故答案为：或．
2．如图，在中，，平分，交于点E．求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及垂直的定义，解题关键是掌握三角形内角和定理，角平分线的定义及垂直的定义．根据三角形内角和定理求出°，利用角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求出，根据垂直的定义可知，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：的度数为．
提升2.三角形的外角性质
1．如图，在中，为边上的高，点E为上一点，连结．
(1)当为边的中线时，若，的面积为40，求的长；
(2)当为的平分线时，若，求的度数．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出，然后根据为边上的中线得到的长；
（2）先根据三角形内角和求出，再利用角平分线的定义得到，再求出，然后根据计算即可．
【详解】（1）解：∵为边上的高，的面积为40，
∴，
∴，
∵为边上的中线，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的面积，以及高线、中线和角平分线的定义，关键是明白三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形内角和定理．
2．已知：如图，在中，P为内一点，平分，平分．
(1)如图1，当时，则的度数为__________．
(2)如图2，过C作，交延长线于点Q，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，过C作，延长与延长线交于点N，若，且，求的度数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和是180度，以及角平分线的定义．
（1）根据三角形的内角和得出，则，即可求解；
（2）由图可知，推出，根据角平分线的定义得出，则，再根据三角形的内角和可得，即可求证；
（3）设， 推出，，则，根据，得出，在中，，列出方程求出x，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：由图可知，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，，
∴．
3．综合与探究
(1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数．
(3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案；
（2）由（1）可知，，求出，则可得出答案；
（3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案．
【详解】（1）．
理由：由折叠得：，，
，
，
；
（2）由（1）可知，，
，
，
，
，
，
；
（3）由（2）可知，，
，
，，
，
又
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
4．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．
(1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝ ，可以发现与的数量关系是 ；
(2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数；
(3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可；
（2）根据平角定义求出，，然后利用折叠性质可得，然后利用三角形内角和进行计算即可；
（3）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
由折叠得：
.
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
由折叠得：
∴，
∴的度数为；
（3）解：如图：
∵，
∴，
由折叠得：
，
∴
，
∴与x，y之间的数量关系：．
【点睛】本题考擦汗折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键．
提升3.直角三角形的性质判定
1.【题目】如图①，在中，，平分，于点．试探究与，的数量关系．
【探究】小明尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值：
（单位：度） 70 75 80
（单位：度） 30 45 20
（单位：度） 20 15 a
（1）上表中________，猜想得到与，的数量关系为________；
（2）证明（1）中猜想得到的与，的数量关系；
【应用】如图②，在中，平分，是线段上一点，于点．若，，则的大小为________度；
【拓展】如图③，在中，，平分，点在的延长线上，于点，分别作和的平分线，交于点．设，，则的大小为__________（用含，的式子表示）．
【答案】探究：（1）30，；（2）见解析；应用：15；拓展：
【分析】探究：
（1）根据三角形内角和等于，求得，根据三角形的角平分线可求得，再根据直角三角形的两锐角互余可求得，由此即可得到答案；
根据表中三组数据即可猜想与，的数量关系；
（2）根据三角形内角和等于，求得，根据三角形的角平分线可求得，然后根据直角三角形的两锐角互余可求得，最后计算即可证得答案；
应用：
根据三角形的角平分线可求得，根据三角形内角和等于，求得，再根据直角三角形的两锐角互余即可得到答案；
拓展：
根据三角形内角和等于，求得，根据三角形的角平分线可求得，，再根据三角形的外角定理可求得，进一步计算即可求得答案．
【详解】探究：
（1）当，时，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：30．
根据表中三组数据可猜想与，的数量关系为：，
故答案为：．
（2）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，；
应用：
平分，，
，
，
，
，
，
故答案为：15．
拓展：
当，时，如图④，记与交于点M，
，
平分，
，
平分，
，
，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角定理，直角三角形的性质，三角形的角平分线，熟知相关知识并能灵活运用是解答本题的关键．
2．（1）如图，已知在中，，于，于，、所在直线交于点，求的度数；
（2）在（1）的基础上，若每秒扩大，且在变化过程中与始终保持是锐角，经过秒，在，这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求的值；
（3）在（2）的基础上，与的角平分线交于点，是否为定值，如果是，请直接写出的值，如果不是，请写出是如何变化的．
【答案】（1）132；（2）或12；（3）是，，理由见解析
【分析】（1）利用同角或等角的余角相等，证明即可解决问题．
（2）由题意，．分两种情形：①当时，．②当时，，分别构建方程求解即可．
（3）如图，结论是定值．想办法证明，即可解决问题．
【详解】解：（1）于，于，
，
，，
，
．
（2）由题意，，
①当时，，则有，
解得．
②当时，，
，
解得，
综上所述，当或12时，，两个角中，一个角是另一个角的两倍．
（3）如图，结论是定值．
理由：于，于，
，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，，
，
是定值．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，等角的余角相等，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
