浙教版2024-2025学年八年级上数学培优 专题四：将军饮马
（轴对称与最小值问题）
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线l表示小河，P，Q两点表示村庄，线段表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先作出P点关于直线l对称的P'，连接P'Q交直线l于点M，则PM+MQ管道最短.
故答案为：C.
2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140° B．100° C．50° D．40°
【答案】B
【解析】如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，
此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，同理可得∠OPM=∠ODM=50°，所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.
故答案为：B.
3． 如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【解析】如图，∵是等边三角形，
∴，，
∵为的平分线，
∴，，
作点N关于的对称点，连接交于P，连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
即的最小值为，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故答案为：C．
4．如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【解析】作点N关于直线BD的对称点G，过点G作GM⊥AC于点M，交BD于点P，则此时MP+PN的值最小，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠C=60°，
∵∠C=60°，∠CNG=90°，
∴∠G=30°，
∵CM=7，
∴CG=2CM=14，
∴NG=8，
∴BN=GB=4，
∴AC=BC=10，
故答案为：C.
利用含30°角的直角三角形的性质求出CG=2CM=14，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
5．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
∴M’N’=M‘E，
∴CE=CM‘+M'E
当点M与M'重合，点N与N'重合时，CM+MN的最小值
∵三角形ABC的面积为8，AB=4，
即CM+MN的最小值为4.
故答案为：4.
6．如图，射线线段，垂足为，，垂足为，，，．点为射线上的一动点，当的周长最小时，（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．4.5
【答案】B
【解析】作点D关于直线l的对称点D'，连接AD'交l于点E'，连接E'C和E'D，如下图：
∵点D'与点D关于直线l对称
∴BD=BD'=2，D'E'=DE'
∴DD'=4=AD
∵AD⊥BC
∴∠D'=45°
∵直线l⊥BC
∴BE'=BD=2
三角形ADE的周长=AD+AE+ED，当点A、E、D'在一条直线时，AE+ED的最小值为AE'+D'E'=AD'，此时三角形EDC为三角形E'DC，S△DEC=×2×3=3.
故答案为：B.
7．如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】A
【解析】如图，连接AP，AD，AQ，过点A作AE⊥BC于点E
∵点分别是点关于的对称点 ∴AB垂直平分PD，AC垂直平分QD
∴AP=AD=AQ
∴∠PAB=∠DAB，∠QAC=∠DAC
∵∠BAC=45°即∠DAB+∠DAC=45°
∴∠PAB+∠DAB+∠QA+∠DAC=45°×2=90°
∴∠PAQ=90° ∴
∴当AD最小时 ，PQ最小
AD最小为AE
∵∠B=60°，∠AEB=90° ∴∠BAE=30°
∴
∴
∴
故答案为：A
8．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解析】过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：D．
9．如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】如图，
是等边三角形， ，
∵D为AC中点，∴ ，
∵ ， ， ，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ， ，
， ，
， 是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
10．如图，∠AOB＝30°，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP＋PQ＋QN最小时，则关于∠1、∠2的数量关系正确的是（ ）
A．∠1＋∠2＝90° B．2∠1＋∠2＝180°
C．∠1－∠2＝90° D．2∠2－∠1＝30°
【答案】C
【解析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，
则MP+PQ+QN最小，
由三角形外角性质得∠OPM=∠1 ∠O=∠1 30°，
∵∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN，
∴∠OPM=∠QPN=∠1 30°，
∴∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠1 30°)
∵∠3=∠O+∠2=30°+∠2，
∵∠N′QA=∠3，∠OQP=∠N′QA
∴∠OQP=∠3=30°+∠2，
在△MQP中，由内角和定理得∠1+∠OQP+∠QPM=180°，
即∠1+30°+∠2+180°-2(∠1 30°)=180°，
化简得∠1 ∠2=90°.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图， 中， ， ， ， 于点D， 垂直平分 ，交 于点F，在 上确定一点P，使 最小，则这个最小值为 ．
【答案】6
【解析】如图所示：
∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，
∴AD＝6，
∵EF垂直平分AB，
∴点P到A，B两点的距离相等，
∴AD的长度＝PB＋PD的最小值，
即PB＋PD的最小值为6，
故答案为：6．
12． 如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为 ．
【答案】8
【解析】如图，连接，
∵和都是边长为4的等边三角形，
∴，
∴，∴，
在和中，，
∴，
∴，∴，
∴当点P与点C重合时，点A与点关于对称，的值最小，正好等于的长，
∴的最小值为，
故答案为：8．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=2，MC=6，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是 ．
【答案】2
【解析】如图，过点作CO⊥AB于O，延长BO到C'，使OC'=OC，连接MC'，交AB于P，
此时PC'=PM+PC'=PM+PC的值最小，
连接AC'，
∵CO⊥AB，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ACO= ×90°=45°，
∵CO=OC'，CO⊥AB，
∴AC'=CA=AM+MC=8，
∴∠OC'A=∠OCA=45°，
∴∠C'AC=90°，
∴C'A⊥AC，
∴MC′= = =2 ，
∴PC+PM的最小值为2 ．
故答案为：2 ．
14．如图，在边长为4的等边△ABC中，射线BD⊥AC于点D，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接CF、CG，则CF+CG的最小值为 .
【答案】
【解析】连接AG、AE、AF．作点F关于点E的对称点F'，连接AF'，GF'.则AF'=AF，如图：
∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，AB=4，
∴AD=CD=2，∠ABC=30°，
即BD垂直平分AC，
∴AG=CG，AF=CF，
∴AF'=CF，
∴CF+CG=AF'+AG，
当G、A、F'三点在同一直线上时，AF'+AG的最小值为GF'．
∵AB=4，AD=2，
∴，
∵将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，
∴，FF'=2EF=2AD=AC=4，
∴，
即AF'+AG的最小值为；
故答案为：.
15．如图，在正方形中，点E在边上，，点P，Q分别是直线，上的两个动点，将沿翻折，使点A落在点F处，连接，，若正方形的边长为12，则的最小值为 .
【答案】24
【解析】∵正方形的边长为12，，∴，
∵ 将沿翻折，
∴，
作关于的对称点，连接，则，如图所示，
∴，，
∴，
∴当四点共线时，的值最小，
连接，则的最小值为，
∵ 由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
16．如图，中，，，是线段上一动点，以为边在下方作等边三角形若，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】法一：如图，以AB为边在AB下方作等边△ABF，作直线FE交AB的延长线于点G，作点B关于FG的对称点B'，连接AB'、FB'、BB'，AB'与BF交于点O，
∵△ADE、△ABF是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AF，∠DAE=∠BAF=60°，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAF-∠BAE，即∠DAB=∠EAF，
在△DAB和△∠EAF中，∴△DAB≌△∠EAF(SAS)，∴∠AFE=∠ABD=90°，
在△AFG中，∠FAG=60°，∠AFG=90°，
∴∠AGF=30°，∴点E在直线FG上运动，
∵对称，
∴BE=B'E，∴DE+BE=DE+B'E=AE+B'E，
∵AE+B'E≥AB'，
∴DE+BE最小=AE+B'E最小=AB'，
∵BF=BA=BG，且对称得BB'⊥FG，
∴∠FBB'=∠GBB'=60°，
∵对称得FB=FB'，
∴△FBB'是等边三角形，
∴AB=BB'=FB'=AF，
∴四边形AFB'B是菱形，
∴AB'与BF互相垂直平分，
在Rt△AOB中，∠BAO=30°，AB=2，
∴BO=AB=1，AO=，
∴AB'=，
∴DE+BE最小=.
法二：取AC中点G，有题意可知：△ABG是正三角形，
有等边三角形共顶点可知：△AGD≌△ABE，
∴GD=BE，
∴DE+BE=AD+GD，
作点A关于BC的对称点F，
则AD=FD，
∴DE+BE的最小值就是FG的长，
而△ACF是正三角形，得FG=.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18--22题每题8分，第23、24题每题10分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得△PMQ的周长最小．
【答案】解：如图，
作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，
连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，
则M′M″即为△PMQ最小周长．
所以点P，点Q即为所求．
18． 如图，欲在公路l同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路10m、30m，且CD＝30m，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短．
（1）找到堆放点P的位置；（2）求PA+PB的最小值．
【答案】（1）解：作点A的对称点A' ，连接A'B交直线l于点P，则点P即为所求；
（2）解：由（1）知，点P即为堆放P的位置，此时，PA+PB的最小值=A'B，过A'作A'H⊥BD交BD的延长线于H，则A'H=CD=30m， DH=A'C，
∵AC=10m，BD=30m，∴A'C = AC = DH= 10m，
∴BH=40m，
∴A'B=√A'H2+BH2=√302+402=50(m)
即PA+PB的最小值为50m.
19．如图，在边长为1的正方形网格中有一个ABC，完成下列各图（用无刻度的直尺画图，保留作图痕迹）．
⑴作ABC关于直线MN对称的A1B1C1；
⑵求ABC的面积；
⑶在直线MN上找一点P，使得PA+PB最小．
【答案】解：⑴如图所示，△A1B1C1即为所求．
⑵S△ABC＝2×3﹣2××1×2﹣×1×3＝；
⑶如图所示，点P即为所求．
20．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．
（1）若，求的度数．
（2）连接，若，．
①求的周长；
②在直线上是否有在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并求的最小值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（2）解：①∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，
②如图，
∵垂直平分，
∴点B关于直线的对称点为点A，
∴要使的值最小，则连接与直线的交点即为点P，
∴当点P与点M重合时，最小值
∴最小值为．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，CD平分∠ACB，交边AB于点D，点E是边AB的中点．点P为边CB上的一个动点．
（1）AE＝ ，∠ACD＝ 度；
（2）当四边形ACPD为轴对称图形时，求BP的长；
（3）若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数；
（4）若点M在线段CD上，连接MP、ME，直接写出MP+ME的值最小时CP的长度．
【答案】（1）6；45
（2）解：根据题意知 当四边形ACPD为轴对称图形时 则，又因为在Rt△ABC中所以则
（3）解：①当时，②当时，③当时，则
90°，45°，67.5°
（4）解：如下图，点M在CD上，且，作点P关于CD的对称点，
因为所以又因为 CD平分∠ACB ，所以在和中所以（AAS），所以
则故当E、M、三点共线时，有最小值又根据垂线段最短可得当时有最小值，
所以所以又则所以
CP=3
【解析】（1）因为 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60° ，所以则又 点E是边AB的中点 ，所以AE=6；
因为 ∠ACB＝90° ， CD平分∠ACB， 所以.
故答案为：6，45.
22．如图，以一边为直角边构造，且，，，．
（1）求证：为直角三角形．
（2）若点P为上一动点，连接，，求最小值．
【答案】（1）证明：根据题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴△ABC为直角三角形；
（2）解：如图所示，延长DC至M，使得DC=CM，连接PM，BM，过点B作BN⊥CD于点N，
则，，
∵，
∴四边形ABNC是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
当B、P、M三点共线时，取最小值为，
∴最小值为．
23．如图，在中，，是边上的中线，点是边上的一个动点，点是上的一个动点．
（1）当时，求的度数；
（2）若，，．
①求中边上的高；
②当的值最小时，最小值是 ▲ ．
【答案】（1）解：，是边上的中线，
，，
，
；
（2）解：①设中边上的高为，
，
，
，
即中边上的高为；
②
【解析】（2）②如图，连接PC，
垂直平分线段，
．
，
当时，，的值最小，
即的最小值为，
故答案为：．
24． 已知：在平面直角坐标系中，任意两点，，其两点之间的距离公式为．如：已知，则．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为或．如：已知，，则．
（1）若点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为，则 ， ，AC= ；
（2）若点A的坐标为，点B的坐标为，点是x轴上的动点，求出的最小值；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为，请判断此三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）4；3；5
（2）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则此时取得最小值，，
∴．
∵点A的坐标为，
∴．
∵点B的坐标为，
∴．
∴的最小值为5；
（3）解：∵，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形．
【解析】（1）AB==4，BC==3，AC==5，
故答案为：4，3，5.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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浙教版2024-2025学年八年级上数学培优 专题四：将军饮马
（轴对称与最小值问题）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线l表示小河，P，Q两点表示村庄，线段表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140° B．100° C．50° D．40°
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
3． 如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
5．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，射线线段，垂足为，，垂足为，，，．点为射线上的一动点，当的周长最小时，（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．4.5
7．如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
（第7题） （第8题） （第9题）
8．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
10．如图，∠AOB＝30°，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP＋PQ＋QN最小时，则关于∠1、∠2的数量关系正确的是（ ）
A．∠1＋∠2＝90° B．2∠1＋∠2＝180°
C．∠1－∠2＝90° D．2∠2－∠1＝30°
（第10题） （第11题） （第12题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图， 中， ， ， ， 于点D， 垂直平分 ，交 于点F，在 上确定一点P，使 最小，则这个最小值为 ．
12． 如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=2，MC=6，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是 ．
14．如图，在边长为4的等边△ABC中，射线BD⊥AC于点D，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接CF、CG，则CF+CG的最小值为 .
15．如图，在正方形中，点E在边上，，点P，Q分别是直线，上的两个动点，将沿翻折，使点A落在点F处，连接，，若正方形的边长为12，则的最小值为 .
16．如图，中，，，是线段上一动点，以为边在下方作等边三角形若，则的最小值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18--22题每题8分，第23、24题每题10分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得△PMQ的周长最小．
18． 如图，欲在公路l同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路10m、30m，且CD＝30m，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短．
（1）找到堆放点P的位置；
（2）求PA+PB的最小值．
19．如图，在边长为1的正方形网格中有一个ABC，完成下列各图（用无刻度的直尺画图，保留作图痕迹）．
⑴作ABC关于直线MN对称的A1B1C1；
⑵求ABC的面积；
⑶在直线MN上找一点P，使得PA+PB最小．
20．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．
（1）若，求的度数．
（2）连接，若，．
①求的周长；
②在直线上是否有在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并求的最小值，若不存在，说明理由．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，CD平分∠ACB，交边AB于点D，点E是边AB的中点．点P为边CB上的一个动点．
（1）AE＝ ，∠ACD＝ 度；
（2）当四边形ACPD为轴对称图形时，求BP的长；
（3）若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数；
（4）若点M在线段CD上，连接MP、ME，直接写出MP+ME的值最小时CP的长度．
22．如图，以一边为直角边构造，且，，，．
（1）求证：为直角三角形．
（2）若点P为上一动点，连接，，求最小值．
23．如图，在中，，是边上的中线，点是边上的一个动点，点是上的一个动点．
（1）当时，求的度数；
（2）若，，．
①求中边上的高；
②当的值最小时，最小值是 ．
24． 已知：在平面直角坐标系中，任意两点，，其两点之间的距离公式为．如：已知，则．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为或．如：已知，，则．
（1）若点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为，则 ， ，AC= ；
（2）若点A的坐标为，点B的坐标为，点是x轴上的动点，求出的最小值；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为，请判断此三角形的形状，并说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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