2023-2024学年度上海市田家炳特色课程班中考第六次模拟测试卷
（满分：150分 考试时间：100分钟）
一．选择题（共24分）
1. 在下列实数中，无理数是（ ）
A. B. C. D. 3.14
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，那么点P的坐标是（ ）
A B. C. D.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 检测“神州十六号”载人飞船零件质量，应采用抽样调查
B. 任意画一个三角形，其外角和是是必然事件
C. 数据4，9，5，7的中位数是6
D. 甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定
5. 如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
6. 抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①；②，是抛物线上的两个点，若，且，则；③在轴上有一动点P，当的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程无实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二．填空题（共48分）
7. 数轴上到0距离为3的点表示的数为__________
8. 一个锐角的正切值与余切值相等，则这个角的度数为__________
9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
10. 从党的二十大报告中了解到，我国互联网上网人数达．将用科学记数法表示为______．
11. 正方形的面积为a，内接圆的周长为________．
12. 有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，，，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是_______．
13. 如图，在中，点D在边上，且，点E是的中点，连接，设向量，，如果用、表示，那么___________．
14. 已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是，那么此用电器的电阻是________．
15. 如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，内部形成一个小正方形．如果正方形的面积是正方形面积的一半，那么的度数是________．
16. 如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为_________．
17. 直线和抛物线（是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②抛物线与轴一定有两个交点；
③关于方程有两个根；
④若，当或时，；
其中正确的结论是______．（填序号）
18. 如图，D是等边边上点，，作的垂线交、分别于点E、F，那么________．
三．解答题（共78分）
19 先化简，再求值：，其中．
20. 解方程组：
21. “科技改变生活”，小顾是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到3位有效数字；参考数据：，）
22. 某区连续几年的GDP（国民生产总值）情况，如下表所示：
年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
GDP（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■
我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析．
（1）根据点A、B的坐标，可得直线的表达式为．请根据点A、C坐标，求出直线的表达式；
（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．
（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）
例如，分析直线，即上的点：可知，求得偏离方差．
请依据以上方式，求出关于直线的偏离方差值：______；
问题：你认为在选用直线与直线进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？
请写出所选直线的表达式：______；
根据此函数模型，预估该区第五年的GDP约为______百亿元．
23. 如图，M、N分别是平行四边形边、的中点，对角线交、分别于点P、Q．
（1）求证：；
（2）当四边形是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形的形状特征．
24. 问题：已知抛物线L：，抛物线W的顶点在抛物线L上（非抛物线L的顶点）且经过抛物线L的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W的表达式．
（1）解这个问题的思路如下：先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是 ① ；再将该点作为抛物线W的顶点，可设抛物线W的表达式是 ② ；然后求出抛物线L的顶点是 ③ ；再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系数的值为 ④ ；最后写出抛物线W的表达式是 ⑤ ．
（2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W，请再写出一个抛物线W的表达式．
（3）如果问题中抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等，求抛物线W的表达式．
25. 如图，已知：等腰梯形中，，，以A为圆心，为半径的圆与相交于点E，与相交于点F，联结，设分别与相交于点G、H，其中H是的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图1，如果，求的值；
（3）如图2，如果，求的余弦值．
参考答案
一．选择题（共24分）
1. 解：A、，是有理数，故此选项不符合题意；
B、是无理数，故此选项符合题意；
C、是有理数，故此选项不符合题意；
D、3.14，是有理数，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 解：，
故选C．
3. 解：∵第二象限内点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，
∴点P的横坐标是，纵坐标是，
∴点P的坐标为．
故选：B．
4. 解：A．检测“神州十六号”载人飞船零件的质量，应采用普查，故选项错误，不符合题意；
B．任意画一个三角形，其外角和是是不可能事件，故选项错误，不符合题意；
C．数据4，9，5，7的中位数是，故选项准确，符合题意；
D．甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据更不稳定，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
5. 解：根据题意的作图可得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C
6. 解：由图可知，
∵该抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①不正确，不符合题意；
∵向上平移个到位长度得到，
∴的对称轴也为直线，
∵，
∴，
∵，
∴离对称轴的距离大于离对称轴的距离，
∵函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∴，故②不正确，不符合题意；
作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，
把代入得：，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，则，
∴，整理得：，
∴，则，
把代入得：，
∴，
设直线的函数解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴直线的函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴，故③正确，符合题意；
方程整理为，
∵，
由图可知，当时，抛物线与直线没有交点，
则原方程无实数根，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴b的取值范围为，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有③，共1个，
故选：A．
二．填空题（共48分）
7. 解：数轴上到0距离为3的点表示的数为．
故答案为：
8.解：∵，，
∴当一个锐角的正切值与余切值相等时，则这个角的度数为．
故答案为：．
9. 解：∵有意义，
∴，
∴且．
故答案为：且．
10. 解：，
故答案为：．
11. 解：∵正方形面积为a，
∴正方形的边长为，
∴正方形内接圆的直径为，
∴内接圆的周长为，
故答案为：．
12. 解：在，，，，0中，
无理数有，，共2个，
∴随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是，
故答案为：．
13. 解：在中，，，则
∵，点E是的中点，
∴，
∴
故答案为：．
14. 解：设，依题意，
∴，
当时，
故答案为：．
15. 解：设，，
则正方形的面积，正方形的面积，
正方形的面积是正方形面积的一半，
，
整理得：，
，
，
解得（舍），，
，
如图，连接交于点E，
，，
，
，
，
，
，
又正方形中，
，
故答案为：．
16. 解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
在正方形中，，
∵Q为的中点，
∴，
∴，
∵Q在反比例函数的图象上，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵P在上，
∴P点纵坐标为，
∵P点在反比例函数的图象上，
∴P点横坐标为，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：24．
17. 解：①直线经过点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
②，
由①得，
，
，
，
抛物线与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当时，
，
抛物线也过，
由得
方程，
方程的一个根为，
抛物线，
，
抛物线的对称轴为直线，
与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线与轴的另一个交点为，
关于x的方程有两个根，，
故③正确；
④当，当时，，
故④错误；
故答案为：①②③．
18. 解：如图，过作交于，延长交于，过作于，作于，
∵为等边三角形，，
∴，，
设，则，
∴，，，
∴，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
三．解答题（共78分）
19. 解：
，
∵，
∴原式．
20. 解：
由方程②得，
∴或，即③或④，
∴原方程组为或，
解得或，
答：方程组的解为或．
21. 解：中，，
，
（米），
中，，
，
（米），
（米），
即该建筑物的高度为米．
22.（1）解：设直线的表达式为，
根据题意，
解得，
直线的表达式为；
（2）分析直线，即，
，
，
，
偏离方差，
，
直线更合适，
当时， ，
故答案为：0.0125，，14.8．
23. (1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵M、N分别是、的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，即，
同理，即，
．
(2)如图，
由（1）知，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
则，
即．
24. （1）解：先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是；再将该点作为抛物线W的顶点，可设抛物线W的表达式是；然后求出抛物线L的顶点是；再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系数的值为；最后写出抛物线W的表达式是．
（2）解：，
∴抛物线L的顶点是，
取抛物线W的顶点坐标为，
设抛物线W的解析式为，把代入得：，
∴抛物线W的解析式为；
（3）解：令，则，解得：，，
∴抛物线L在x轴上所截得的线段长为，
设抛物线W的顶点坐标为，
设解析式，把代入得：，
整理得，即，
∴，
又∵抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等，
∴抛物线M在x轴上所截得的线段长为，
∴抛物线M过，代入得，
解得：或，
∴抛物线的解析式为或．
25. (1)证明：由题意知，，
∴，
∵，
∴，
∵等腰梯形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
(2)解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)解：由（2）可知，，
∴，
∵，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
如图，作，垂足为点I，连接，
∵，
∴，
设，，则，，
∵
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
∴．
