浙教版八年级上册数学 第二单元 单元测试
【浙教版】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
满分：120分 考试时间：120分钟
题号 一 二 三 总分
得分
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
2.已知一个等腰三角形的底角为50°，则这个三角形的顶角为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
3.若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
4.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（ ）
A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形
D．如果a：b；c＝3：4：，则△ABC是直角三角形
5.下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6.若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，P是边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的度数可能是（ ）
A．50°B．80°C．100°D．130°
8.能说明命题“若a＞b，则3a＞2b“为假命题的反例为（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝2，b＝3 D．a＝﹣3，b＝﹣2
9.已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和3（m＜3），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）
A．m2+6m+9＝0 B．m2﹣6m+9＝0 C．m2+6m﹣9＝0 D．m2﹣6m﹣9＝0
10.一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。）
11.如图，在△ABC和△BAD中，已知∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件，就可以用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△BAD，你添加的条件是 ．
12.用“如果…，那么…”形式，写出“对顶角相等”的逆命题： ．
13.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD，若∠BAD＝55°，∠B＝50°，则∠DEC的度数为 115° ．
14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝60°，那么∠A＝ °．
15.直角三角形的两边为3和4，则该三角形的面积为 ．
16，等腰三角形，一腰上的中线将它的周长分成12和9两部分，则腰长为 ．
17.如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，BC＝6，AC＝4，△ABC的面积是9，则△AEC的面积是 ．
18.如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，点D，点P分别在AB，BC上运动，则线段AP和线段DP之和的最小值是 ．
Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，若AC边上存在一点P，使得PA2﹣PC2＝BC2，则PB＝ ．
20.在等腰△ABC中，AB为腰，AD为中线，AB＝5，AD＝3，则△ABD的周长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，前5小题每小题8分，第6小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21.如图，△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，延长CB至点D，使DB＝BA，延长BC至点E，使CE＝CA，连接AD，AE．求∠DAE的度数．
22.如图，已知：△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点．
①试说明△OBC是等腰三角形；
②连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由．
23.如图，已知AB∥CD，AC平分∠DAB．求证：△ADC是等腰三角形．
24.如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E．
（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝25°，求∠A的度数．
25.在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．
（1）求证：△BCD是等腰三角形．
（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．
26.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
参考答案
选择题
1.【思路点拨】此题需对每一个选项进行验证从而求解．
【答案】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点
∴∠B＝∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD＝∠CAD（故C正确）
无法得到AB＝2BD，（故D不正确）．
故选：D．
2.【思路点拨】在等腰三角形中，2个底角是相等的，这里用180°减去2个50°就是等腰三角形的顶角的度数．
【答案】解：180°﹣50°×2
＝180°﹣100°
＝80°．
故这个三角形的顶角的度数是80°．
故选：C．
3.【思路点拨】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．
【答案】解：∵|m﹣2|+＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
解得m＝2，n＝4，
当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；
当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4＝10．
故选：C．
4.【思路点拨】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可．
【答案】解：A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A≈98°，错误不符合题意；
B、如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝75°，错误不符合题意；
C、如果a：b：c＝1：2：2，12+22≠22，不是直角三角形，错误不符合题意；
D、如果a：b；c＝3：4：，，则△ABC是直角三角形，正确；
故选：D．
5.【思路点拨】根据轴对称图形定义进行解答即可．
【答案】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
6.【思路点拨】因为题中没有指明该外角是顶角的外角还是底角的外角，所以应该分两种情况进行分析．
【答案】解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；
当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；
故顶角的度数为80°或20°．
故选：D．
7.【思路点拨】只要证明80°＜∠BPC＜130°即可解决问题．
【答案】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°，
∵∠BPC＝∠A+∠ACP，
∴∠BPC＞80°，
∵∠B+∠BPC+∠PCB＝180°，
∴∠BPC＜130°，
∴80°＜∠BPC＜130°，
故选：C．
8.【思路点拨】根据有理数的乘法法则、有理数的大小比较法则解答．
【答案】解：当a＝﹣2，b＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＝2×（﹣3），即a＞b时，3a＝2b，
∴命题“若a＞b，则3a＞2b“为假命题，
故选：B．
9.【思路点拨】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2＝（3﹣m）2，整理即可解答．
【答案】解：如图，
m2+m2＝（3﹣m）2，
2m2＝32﹣6m+m2，
m2+6m﹣9＝0．
故选：C．
10.【思路点拨】当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得最大角是90度，如图①所示；当它是侧角时，用同样的方法，可求得最大角有4种情况．
【答案】解：如图①所示，当∠BAC＝48°时，那么它的最大内角是90°
当∠ACB＝48°时，有以下4种情况，
所以共5种情况，
故选：C．
填空题
11.【思路点拨】利用直角三角形的判定方法得出答案．
【答案】解：条件是AC＝BD，
∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC＝BD（或者AD＝BC）．
12.【思路点拨】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式，再利用把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题．
【答案】解：∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，
∴命题“对顶角相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角相等，那么它们是对顶角”．
故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角．
13.【思路点拨】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C＝50°，进而得到∠BAC＝80°，由∠BAD＝55°，得到∠DAE＝25°，由DE⊥AD，进而求出结论．
【答案】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠BAD＝55°，
∴∠DAE＝25°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．
故答案为：115°．
14.【思路点拨】根据直角三角形两锐角互余，构建方程组即可解决问题．
【答案】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A﹣∠B＝60°，
∴2∠A＝150°，
∴∠A＝75°．
故答案为：75．
15.【思路点拨】题目中没有明确指出边长为4的边是直角边还是斜边，所以要分类讨论（1）边长为4的边是直角边；（2）边长为4的边是斜边．
【答案】解：若边长为3的边和边长为4的边有一条为斜边，∵4＞3，∴边长为4的边是斜边，
（1），若边长为4的边是直角边，则该三角形面积为×3×4＝6，
（2），若边长为4的边是斜边，则该三角形另一条直角边为＝，
该三角形的面积为×3×＝，
故答案为6或．
16.【思路点拨】设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和12两部分，列方程解得即可．
【答案】解：设腰长为x，底边长为y，
则或，
解得：或，
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此三角形的底边长为9或5，等腰三角形的腰长为6或8．
故答案为：6或8．
17.【思路点拨】延长AE交BC于F，根据全等三角形的性质得到CF＝AC＝4，得到BF＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【答案】解：延长AE交BC于F，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠FCE，
∵AE⊥CD于E，
∴∠AEC＝∠CEF＝90°，
∵CE＝CE，
∴△ACE≌△FCE（ASA），
∴CF＝AC＝4，
∵BC＝6，
∴BF＝2，
∵△ABC的面积是9，
∴S△ACF＝9×＝6，
∴△AEC的面积＝S△ACF＝3，
故答案为：3．
18.【思路点拨】作点A关于直线BC的对称点E，连接AE交BC于点H，过E作ED⊥AB于D交BC于P，则此时，线段AP和线段DP之和的值最小，根据等腰三角形的性质和解直角三角形即可得到结论．
【答案】解：作点A关于直线BC的对称点E，连接AE交BC于点H，过E作ED⊥AB于D交BC于P，
则此时，线段AP和线段DP之和的值最小，
∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AE⊥BC，
∴∠B＝30°，∠BAE＝60°，
∴AH＝AB＝3，
∴AE＝2AH＝6，
∴DE＝AE＝3，
∴线段AP和线段DP之和的最小值是3，
故答案为：3．
19.【思路点拨】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可．
【答案】解：如图所示，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝＝8；
∵PA2﹣PC2＝BC2，即（8﹣PC）2﹣PC2＝62，
解得PC＝，
在Rt△PBC中，PB＝＝＝．
故答案为：．
20.【思路点拨】如图1，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，由勾股定理得到BD＝＝＝3，于是得到△ABD的周长＝12，如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，求得BD＝BC＝2.5，于是得到△ABD的周长＝10.5．
【答案】解：如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，
∵AD为中线，
∴AD⊥BC，
∴BD＝＝＝3，
∴△ABD的周长＝12，
如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，
∵AD为中线，
∴BD＝BC＝2.5，
∴△ABD的周长＝10.5，
综上所述，△ABD的周长为12或10.5，
故答案为：12或10.5．
解答题
21.【思路点拨】由题意知△ABD和△ACE均为等腰三角形，可由三角形内角和定理求得∠BAC的度数，用三角形的外角与内角的关系求得∠D与∠E的度数，即可求得∠DAE的度数．
【答案】解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵DB＝BA，
∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝30°，
∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE＝∠ACB＝25°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠BAC+∠CAE＝30°+70°+25°＝125°．
22.【思路点拨】①根据对边对等角得到∠ABC＝∠ACB，再结合角平分线的定义得到∠OBC＝∠OCB，从而证明OB＝OC；
②首先根据全等三角形的判定和性质得到OA平分∠BAC，再根据等腰三角形的三线合一的性质得到直线AO垂直平分BC．
【答案】解：①∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCA；
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA，
∴∠OBC＝∠BCO；
∴OB＝OC，
∴△OBC为等腰三角形．
②在△AOB与△AOC中．
∵，
∴△AOB≌△AOC（SSS）；
∴∠BAO＝∠CAO；
∴直线AO垂直平分BC．（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合）
解法二：∵OB＝OC，AB＝AC，
∴OA垂直平分线段BC．
23.【思路点拨】由平行线的性质和角平分线定义求出∠DAC＝∠DCA，即可得出结论．
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴△ADC是等腰三角形．
24.【思路点拨】（1）利用等角对等边证明即可．
（2）求出∠ABC，∠ACB即可解决问题．
【答案】（1）证明：∵CD 是∠ACB 的平分线，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝CE．
（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝25°，
∴∠ACB＝2∠ECD＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
25.【思路点拨】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，根据角的和差得到∠DBC＝∠DCB，于是得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠ABC＝（180°﹣40°）＝70°，推出△DBC是等边三角形，求得∠DBC＝60°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【答案】（1）证明：∵AE＝AF，∠A＝∠A，∠ABE＝∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACF，
即∠DBC＝∠DCB，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣40°）＝70°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
∵∠DBC＝∠DCB，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠DBC＝60°，
∴∠ABE＝10°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°．
26.【思路点拨】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．
（2）因为AB与CB，由勾股定理得AC＝4 因为AB为5cm，所以必须使AC＝CB，或CB＝AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，t+2t﹣3＝6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，t﹣4+2t﹣8＝6．
【答案】解：（1）如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝2，
∵∠C＝90°，
∴PB＝＝，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5+＝7．
（2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，
此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm，
所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，
在Rt△PCD中，PD＝＝＝1.8，
所以BP＝2PD＝3.6cm，
所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm，
则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm
则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形
（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t﹣3＝3，
∴t＝2.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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