2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.“”是“函数为奇函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
5.过坐标原点向圆：作两条切线，切点分别为，，则( )
A. B. C. D.
6.菱形中，，，点在线段上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地年月的的数据单位：百亿元建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量指的是月的编号，其中部分数据如表所示：
时间 月 月 月 月 月 月
编号
百亿元
参考数据：则下列说法不正确的是( )
A. 经验回归直线经过点
B.
C. 根据该模型，该地年月的的预测值为百亿元
D. 相应于点的残差为
8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子春分时，北京的阳光与地面夹角为，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 是奇函数 B. 的最小正周期为
C. 的最小值为 D. 在上单调递增
10.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在，，使得为曲线的对称轴
D. 存在，使得点为曲线的对称中心
11.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于年的世界杯比赛．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成如图所示，若这个二十四等边体的棱长都为，则下列结论正确的是( )
A. 平面 B. 异面直线和所成角为
C. 该二十四等边体的体积为 D. 该二十四等边体外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中的常数项为______用数字作答
13.某中学名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于的有人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在次之间的人数约为______．
14.已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且．
求角；
若，，的角平分线交于点，求．
16.本小题分
人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为．
在某次测试中输入了个问题，聊天机器人模型的回答有个被采纳现从这个问题中抽取个以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
已知输入的问题出现语法错误的概率为．
求聊天机器人模型的回答被采纳的概率；
若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率．
17.本小题分
如图，在正方体中，，，，分别是棱，，的中点．
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面的夹角的余弦值；
若点为棱的中点，试探究点是否在平面上，请说明理由．
18.本小题分
已知数列为等差数列，，其前项和为，数列满足：．
求证：数列为等差数列；
试探究数列中是否存在三项构成等比数列？若存在，请求出这三项；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
讨论函数在其定义域上的单调性；
若，其中，且，求实数的值．
答案解析
1.
【解析】解：当时，、、，则、、；
当时，、、，则、、；
集合．
故选D．
2.
【解析】解：，
则的虚部为．
故选：．
3.
【解析】解：根据题意，若，则，
则，
所以是奇函数；
反之，若函数在其定义域上为奇函数，
可得，
解得，
是函数在其定义域上为奇函数的充分不必要条件．
故选：．
4.
【解析】解：根据中位数的定义，该组数据的中位数是，
根据极差的定义，该组数据的极差是，
依题意得，，解得，
因为，
根据百分位数的定义，
该组数据的第百分位数是从小到大排列的第个数，即为．
故选：．
5.
【解析】解：解法一：由，得，
该圆的圆心为，半径为，如图所示，连接，，
易知，
所以，
解法二：由，得，
该圆的圆心为，半径为，设直线的方程为，
则，解得：或，所以．
故选：．
6.
【解析】解：因为菱形中，，，
设对角线与相交于点，则，
以为坐标原点，，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
因为点在线段上，
所以设，即，
所以，，
所以，
因为，所以．
故选：．
7.
【解析】解：由表中数据可知，，
，
则，解得，
故经验回归直线经过点，故A正确；
经验回归方程为，
则，解得，故B正确；
当时，，
故该地年月的的预测值为百亿元，故C正确；
点的残差为，故D错误．
故选：．
8.
【解析】解：如图，伞的伞沿与地面接触点是椭圆长轴的一个端点，
伞沿在地面上最远的投影点是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为，为伞的圆心，为伞柄底端，即椭圆的左焦点，
令椭圆的长半轴长为，半焦距为，
由，得，，，
在中，，则，
又，
由正弦定理得，
解得，则，
所以该椭圆的离心率．
故选：．
9.
【解析】解：，，
其大致图象如图所示，
因为，即为奇函数，A正确；
因为，即不是的最小正周期，B错误；
结合函数图象可知，的最小值为，C正确；
函数在上不单调，D错误．
故选：．
10.
【解析】解：由，得，
对于，当时，在上单调递减，在和上单调递增；
的极大值，的极小值，所以有三个零点，故A正确；
对于，当时，在上单调递减，在和上单调递增，是极小值点，故B错误；
对于，任何三次函数不存在对称轴，故C错误；
对于，当时，，关于点中心对称，故D正确．
故选：．
11.
【解析】解：对于中，若平面，因为平面，所以，
又因为为等边三角形，所以，所以不正确；
对于中，因为，所以异面直线和所成角即为直线和所成角，
设角，在正六边形中，可得，
所以异面直线和所成角为，所以B正确；
对于中，补全八个角构成一个棱长为的一个正方体，
则该正方体的体积为，
其中每个小三棱锥的体积为，
所以该二十四面体的体积为，所以C正确；
对于中，取正方形对角线的交点为，即为该二十四面体的外接球的球心，
其半径为，
所以该二十四面体的外接球的表面积为，所以D正确．
故选：．
12.
【解析】解：根据的展开式的通项，
当时，展开式为常数项，即常数项为．
故答案为：．
13.
【解析】解：因为成绩服从正态分布 ，即正态曲线关于对称，
因为成绩小于 的有 人，
所以，
所以，
即可估计该校一分钟跳绳成绩在次之间的人数约．
故答案为：．
14.
【解析】解：因为，
所以，
即，
又因为，
所以，
所以
，
当且仅当，即，取“”．
故答案为：．
15.解：，，
整理得，，，
，即，，，
由余弦定理可得，即，解得，
为的角平分线，则，
，
即，，解得．
【解析】利用三角变换即可求解；
先利用余弦定理求，再结合三角形面积公式求即可．
16.解：易知的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
．
记“输入的问题没有语法错误”为事件，
记“输入的问题有语法错误”为事件，
记“的回答被采纳”为事件，
则，，，，
．
若的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为．
【解析】服从超几何分布，直接用公式求解；
利用全概率公式求解的回答被采纳的概率；
利用条件概率公式求解该问题的输入没有语法错误的概率即可．
17.解：如图建系，
因为正方体中，，，，分别是棱，，的中点，
所以，，，
，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
所以，
设直线与平面所成角的正弦值为，
则；
因为平面，
易知是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则；
点是否在平面上，理由如下：
若点为棱的中点，则，
，
令点到平面的距离为，
则，
所以点在平面上．
【解析】建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量夹角公式即可；
分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式即可；
令点到平面的距离为，得到即可得证．
18.解：证明：根据题意，设等差数列的公差为，
若，则，
则，
故，
故当时，则有；
根据题意，假设数列中存在三项、、构成等比数列且，且，且，、、互不相等，
则有，即，
变形可得：，
又由、、且，为无理数，
则必有，
变形可得，即，
与、、互不相等相矛盾，
故数列中不存在三项构成等比数列．
【解析】根据题意，求出数列的前项和，进而可得数列的表达式，分析可得答案；
假设数列中存在三项、、构成等比数列，由等比中项的定义可得，即，变形推出矛盾，即可得结论．
19.解：由题意，即切点为，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
由，设，则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，又，
所以对于任意的有，即，
因此在单调递增，在单调递增，
即，则，
所以时，，单调递减，
所以，即，即，时，，单调递增，
所以，即，即，所以是其定义域上的增函数．
由可知，时，，所以，故，
令，，，
由题意时，，时，，
若，则当时，，不满足条件，
所以，而，
令，则，
令，得，
在单调递减，在单调递增，
若，则当时，，单调递减，
此时，不满足题意；若，
则当时，，单调递减，
此时，不满足题意；若，
则当时，，单调递增，此时，
且当时，，单调递增，此时，满足题意，
所以，解得，
综上所述，．
【解析】首先代入到函数表达式得切点坐标，求出切点处的导数值得切线斜率，由此即可得解．
对求导，结合导数与单调性关系即可求解；
由得，进一步令，，，结合题意知时，，时，，对分类讨论即可求解．
第1页，共1页
