大庆中学2023—2024学年度下学期期末考试
高一年级数学试题
考试时间：120分钟；试卷总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分）
1．已知是方程（a，）的根，则（ ）
A． B． C．2 D．3
2．若向量，，若与所成角为锐角，则n的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
3．将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过2，事件B表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C表示向上的一面出现奇数点，则（ ）
A．A与B是对立事件 B．A与B是互斥而非对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件
4．一组数据：1，1，3，3，5，5，7，7，x，y，其中x，y为正整数，且．若该组数据的分位数为2.5，则该组数据的众数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
5．已知直三棱柱的各个顶点都在球O的球面上，且，，球O的体积为，则该三棱柱的体积为（ ）
A． B．1 C． D．3
6．如图，在中，D，E是BC上的两个三等分点，，，，则的值为（ ）
A．50 B．80 C．86 D．110
7．在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱AB，BC上的动点，且，当三棱锥的体积最大时，直线AB与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，A，B，P，Q在同一个铅垂面，在山脚A测得山顶P的仰角为，，斜坡AB长为m，在B处测得山顶P的仰角为，则山的高度PQ为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分）
9．在空间中，设m，n是不同的直线，，表示不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1
B．数据，，…，的平均数为90，方差为3；数据，，…，的平均数为85，方差为5，则，，…，，，，…，的平均数为87，方差为10.2
C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D．已知数据，，…，的极差为6，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别为12，8
11．某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（ ）
A．若不放回取球，则甲乙相互独立 B．若有放回取球，则甲乙相互独立
C．若不放回取球，则甲乙为互斥事件 D．若有放回取球，则甲乙为互斥事件
三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）
12．若复数，满足．且（i为虚数单位），则__________．
13．已知向量，，则向量在上投影向量的模为__________．
14．在三棱锥中，，，，若该三棱锥的所有顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为__________．
四、解答题（本题共5个小题，共77分）
15．（本题13分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C；
（2）若，且，求的面积．
16．（本题15分）
如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面平面ABCD，E，F分别为BC，AP的中点，且．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．
17．（本题15分）
随着人们环保意识的日益增强，越来越多的人开始关注自己的出行方式，绿色出行作为一种环保、健康的出行方式，正逐渐受到人们的青睐，在可能的情况下，我们应当尽量采用绿色出行的方式，如步行、骑自行车或使用公共交通工具．某单位统计了本单位职工两个月以来上下班的绿色出行情况，绘制出了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工两个月以来上下班的绿色出行天数的中位数；
（2）若该单位有职工200人，从绿色出行天数大于25的3组职工中用分层随机抽样的方法选取6人参加绿色出行社会宣传活动，再从6人中选取2人担任活动组织者，求这2人的绿色出行天数都在区间的概率．
18．（本题17分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．
19．（本题17分）
如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，．
（1）求证：平面ADE；
（2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值．
大庆中学2023—2024学年度下学期期末考试
高一年级数学答案
一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分）
1．A 2．B 3．A 4．A 5．A 6．B 7．A 8．D
二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分）
9．ABC 10．ABD 11．ACD
三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）
12． 13． 14．
四、解答题（本题共5个小题，共77分）
15．（本题13分）
解：（1）因为，，
所以由正弦定理得，
，
又，所以，又，所以．
（2）由，则，
故，，所以，所以，
又，整理得，
则，解得，
所以的面积为．
16．（本题15分）
解：（1）四边形ABCD是矩形，，
又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，平面ABP，
又平面ABP，，
，，，，
，DA，平面DAP，平面DAP，
平面DAP，；
（2）因为四边形ABCD是矩形，所以，，
因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，
所以点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，
由（1）得平面ABP，平面DAP，则，
所以，
所以三棱锥的体积为．
17．（本题15分）
解：（1）由题意得，解得．
由，，
知中位数位于内．
设中位数为，则，解得，
则中位数为．
（2）绿色出行天数大于25的共有（人），
则在区间中的有（人），抽取人数为，
在区间中的有（人），抽取人数为，
在区间中的有（人），抽取人数为．
设从绿色出行天数在中抽取的职工为，，，，
从绿色出行天数在中抽取的职工为B，从绿色出行天数在中抽取的职工为C，
全部可能的结果有，，，，，，，，，，，，，，，样本点总数，
满足要求的样本点个数，
则两人均来自的概率为，
故2人的绿色出行天数都在区间的概率为．
18．（本题17分）
解：（1）因为，由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）略
19．（本题17分）
解：（1）是矩形，，
又平面ADE，平面ADE，平面ADE，
，平面ADE，平面ADE，平面ADE，
又，BC，平面BCF，平面平面ADE，
平面BCF，平面ADE．
（2），，即为二面角的平面角，，
又，平面ADE，平面ADE，平面ADE，
又平面CDEF，平面平面ADE，
作于O，连接CO，
因为平面平面ADE，平面平面，平面ADE，所以平面CDEF，
所以直线AC与平面CDEF所成角为，
因为，，
所以，所以直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为．
