松原市2023-2024学年高二下学期期末测试数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将木试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册、第三册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
3．设 的个位数为 ，则
A．269 B．270 C．279 D．286
4．泊松分布的概率分布列为 ，其中 为自然对数的底数，是泊松分布的均值. 若随机变量 服从二项分布 ，当 很大且 很小时，二项分布近似于泊松分布，其中 ，即 . 现已知某种元件的次品率为，抽检100个该种元件，则次品率不超过 的概率约为（参考数据： ）
A． B． C． D．
5．设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的公比 为
A．1或 B．1或3 C．或 D．或3
6．某学校派出5名优秀教师去三所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法有
A．80种 B．90种 C．120种 D．150种
7．若直线是曲线 与 的公切线，则直线的方程为
A． B． C． D．
8．已知 ，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列结论不正确的是
A．两个变量 的线性相关系数 决定两变量相关程度的强弱，且相关系数 越小，相关性越强
B．若两个变量 的线性相关系数 ，则 与 之间不具有线性相关性
C．在一组样本数据 中，先别除部分异常数据，再根据最小二乘法求得线性回归方程为 ，这样相关系数 变大
D．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点 都在直线 上，则这组样本数据的样本相关系数为
10．若函数 在区间 上有极值，则 的取值可能为
A． B． C． D．
11．袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是
A．若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为
B．若进行了10次取球，记 为取到红球的次数，则
C．若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为
D．若进行了10次取球，恰好取到 次红球的概率为 ，则当 时，最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 把答案填在答题卡中的横线上.
12．已知一系列样本点 满足 ，由最小二乘法得到 与的回归方程，现用决定系数 来判断拟合效果（ 越接近1，拟合效果越好），若 ，则 ____.（参考公式：决定系数 ）
13．设 是等差数列 的前 项和，且数列 是公差为1的等差数列，则 的通项公式为 ________.
14．已知函数 ，若方程 有两个不同的根，则 的取值范围是____________________；若在 上单调递增，则的取值范围是____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
设 依次是等比数列 的前3项，其中 为正数.
（1）求 ;
（2）求数列 的前 项和 .
16．（15分）
某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表：
阅读达标 阅读不达标 合计
女生 70 30 100
男生 40 60 100
合计 110 90 200
（1）根据上述数据，依据小概率值 的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联？
（2）从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
附 ，其中 .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17．（15分）
已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）当 时，求 在 上的最小值与最大值.
18．（17分）
某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为 ）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为.
（1）若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.
（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取 道题目，答对题目数不少于 道，即可以获得奖励。若以获得奖励的概率为依据，甲在 和 之中选其一，问应选择哪个？
19．（17分）
罗尔 中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西 中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理. 罗尔中值定理的描述如下：如果函数 满足三个条件①在闭区间 上的图象是连续不断的，②在开区间内是可导函数，③，那么在 内至少存在一点，使得等式成立.
（1）设方程 有一个正根 ,
证明：方程 必有一个小于 的正根.
（2）设函数 是定义在 上的连续且可导函数，且 .
证明：对于，方程 在 内至少有两个不同的解.
（3）设函数 .
证明：函数 在区间 内至少存在一个零点.
【参考答案】
高二数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．D
【解析】.
2．A
【解析】因为 ，所以 ，所以 . 因为 ，所以 .
3．C
【解析】因为 的个位数分别为 ，所以数列 是周期为4的周期数列，所以 .
4．B
【解析】由题意知 ，则 ，所以 .
因为 ，
所以次品率不超过 的概率 .
5．D
【解析】由 ，可得 ，则 ，故 ，解得 或 .
6．D
【解析】把5人分到三所学校，每所学校至少1人，则可分成1,1,3或2,2,1两类.
当5人分成1,1,3三组时，种不同的分配方法；
当5人分成2,2,1三组时，种不同的分配方法。
故共有150种不同的分配方法.
7．A
【解析】由 ，得 ，由 ，得 .
设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ,,故 ,又，解得 ,所以直线 过点 ，斜率为1，即直线 的方程为 .
8．D
【解析】对 两边求导，得
. 令 ，得 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．ACD
【解析】对于 越大，与 之间的线性相关性越强，所以 错误；
对于 ，若 ，则样本数据不具有线性相关性，所以 正确；
对于 ，去掉异常数据，则相关性变强，变大，所以 错误；
对于 ，若所有样本点 都在直线 上，则这组样本数据完全相关，所以这组样本数据的样本相关系数为1，所以 错误.
10．BC
【解析】因为函数 在区间 上有极值，所以 在区间上有变号实根.
因为 ，所以 ，所以 .
11．BCD
【解析】每次取到红球的概率为 ，若规定摸到3次红球即停止，则恰好取4次停止取球的概率为 ，故 错误； ，则 ，故 正确；记恰好取4次停止取球为事件 ，第1次摸到红球为事件 ，则 , ，所以 ，故 正确；
，当 最大时，
即
所以即解得，
又 ，所以 ，当 为6时，最大，故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 把答案填在答题卡中的横线上.
12．0.96
【解析】因为 .
13．
【解析】设数列 的公差为 ，所以 ，故 . 因为数列 是公差为1的等差数列，所以 解得则 .
14．；
【解析】方程 有两个不同的根，等价于 有两个不同的根，即直线与函数 的图象有两个交点，因为 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
因为 ，当时，，所以,故 的取值范围是 .若 在 上单调递增，则 在 上恒成立
令 ，则 .
当时，恒成立，所以 在 上单调递增，
此时存在 使得 在 上单调递减，在 上单调递增，不满足题意；
当 时，在 上单调递增；
当时，易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以. 综上，.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1） 解：依题意可得 ,…………2分
整理得 ，解得 或1.…………4分
因为 为正数，所以 ,…………5分
所以 的前3项依次是 ，所以 .…………6分
（2） 由（1）知 ,…………8分
所以 ,…………9分
所以
.…………13分
16．（1） 解：零假设为 : 阅读达标情况与性别无关
，…………4分
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为阅读达标情况与性别有关联. …………6分
（2） 由题可知抽取的女生人数为 ，抽取的男生人数为 ,…………8分
则 的可能取值为 ，
.…………10分
所以 的分布列如下：
0 1 2
故 .…………15分
17．（1） 解：.…………2分
令，得；…………3分
令，得；令，得.…………5分
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .…………7分
（2） 当 时，，.
由（1）知，在 处取得极大值，且极大值为 .…………9分
当时, 在 上单调递增.…………10分
.…………12分
当时，，…………13分
若，则，…………14分
因为，所以 .…………15分
18．（1） 解：设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件 ，所选的题目回答正确为事件 ,
则
，
所以甲在该题库中中任选一题作答，他回答正确的概率为 .…………5分
（2） 当 时，设 为甲答对题目的数量数量，则 ,…………7分
故当 时，甲获得奖励的概率 .…………10分
当 时，甲获得奖励的情况可以分为如下情况：
①前10题答对题目的数量大于等于6
②前10题答对题目的数量等于5，且最后2题至少答对1题；
③前10题答对题目的数量等于4，且最后2题全部答对。
故当 时，甲获得奖励的概率 ，…………13分
则，…………15分
所以甲应选.…………17分
19．（1） 证明：令函数 .
显然 在 上连续，在 内可导，
由条件知 ,…………2分
由罗尔中值定理知，至少存在一点 ，使得 ,…………3分
即方程 必有一个小于 的正根. …………4分
（2） 令 ，则 .
由 ，得 ，所以 .…………6分
因为 ，所以 ,…………7分
由罗尔中值定理知，至少存在一个 ，使得 ，即 .…………8分
同理，因为 ，由罗尔中值定理知，至少存在一个 ，使得.
所以 .
故方程 在 内至少存在两个不同的解. …………10分
（3） 证明：令 ，则 .
由 ，得 ,…………12分
则 ，又因为 是连续且可导函数，由罗尔中值定理知，存在 ，使得 ,…………15分
则 ，所以 .
故函数 区间 内至少存在一个零点. …………17分
