2023~2024学年宁夏银川高二上学期期中数学试卷（上游高级中学）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、过点 且垂直于 的直线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
2、圆 与圆 的公切线有（ ）
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
3、在空间直角坐标系中， 为直线l的一个方向向量， 为平面 的一个法向量，且 ，
则 （ ）
A.3
B.1
C.－3
D.－1
4、若椭圆 的弦 被点 平分，则 所在直线的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知 的圆心是坐标原点 ，且被直线 截得的弦长为 ，则⊙O的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、在长方体 中， ， ， 为 的中点，则点 到平面 的距
离为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、若直线 与椭圆 有两个公共点，则 的取值范围是（ ）.
A.
B. 且
C.
D. 且
8、已知椭圆 的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的
离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、关于椭圆 ，以下说法正确的是（ ）
A.长轴长为4
B.焦距为
C.离心率为
D.左顶点的坐标为
10、下列说法正确的是（ ）
A.直线 的倾斜角为
B.直线 恒过定点
C.经过点 ，且在 ， 轴上截距相等的直线方程为
D.过原点 做直线 的垂线，垂足为 ，则直线l的方程为
11、已知圆 与直线 ，下列选项正确的是（ ）
A.圆的圆心坐标为
B.直线过定点
C.直线与圆相交且所截最短弦长为
D.直线与圆可以相切
12、已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在 上，且 的最大值为3，最
小值为1，则（ ）
A.椭圆 的离心率为
B. 的周长为4
C.若 ，则 的面积为3
D.若 ，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、如果双曲线 上一点 到焦点 的距离等于6，那么点 到另一焦点 的距离是 ．
14、写出过点 且与圆 相切的一条直线方程 .
15、在直三棱柱 中， ， ， ，则直线 和直线 所成的角
为 .
16、若线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动， ，点M是线段AB上一点，且 ，则动点M的
轨迹方程是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) ，焦点在 轴上，且过点 ；
(2) 经过两点 ， .
18、（本小题12分）
已知圆 与圆
(1)求经过圆 与圆 交点的直线方程：
(2)求圆 与圆 的公共弦长．
19、（本小题12分）
已知圆 ，直线 过点 .
(1)当直线 与圆 相切时，求直线 的斜率；
(2)线段 的端点 在圆 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程.
20、（本小题12分）
已知椭圆 ： 的一个顶点为 ，且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知点 坐标为 ，直线 与椭圆 交于 、 两点，求 的面积.
21、（本小题12分）
如图，在多面体ABCDFE中，四边形 是边长为2的正方形，四边形 是直角梯形，其中
， ，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的余弦 值．
22、（本小题12分）
已知椭圆 的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在 轴上，离心率 ，且过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆交于 两点，且直线 的倾斜角互补，判断直线 的斜率是否为定值？若是，求出
该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
D
<解析>:
设过点 且垂直于 的直线方程为 ，
将点 代入，可得 ，解得 ，
所以所求直线方程为 .
故选：D.
2、
<答 案>:
C
<解析>:
圆 的标准方程为 ，圆心坐标为 ，半径为2.
圆 与圆 的圆心距为3，等于两个圆的半径之和，所以圆 与圆 外切，故圆 与圆 的公切线有3条.
故选：C
3、
<答 案>:
C
<解析>:
因为 ，所以 与 垂直，
故 ，解得 .
故选：C
4、
<答 案>:
B
<解析>:
若直线 轴，则点 、 关于 轴对称，则直线 的中点在 轴，不合乎题意，
所以，直线 的斜率存在，设点 、 ，则 ，
所以， ，两式作差可得 ，
即 ，即 ，
可得直线 的斜率为 ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
5、
<答 案>:
B
<解析>:
由题意，原点到直线 的距离为 ，
设 的半径为 ，因为 被直线 截得的弦长为 ，
由圆的弦长公式，可得 ，解得 ，
又由 的圆心为坐标原点，所以圆 的方程为 .
故选：B.
6、
<答 案>:
D
<解析>:
如图所示，
以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
所以 ， ， ， ，
则 ， ，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ，
又 ，
所以点 到平面 的距离为 ，
故选：D.
7、
<答 案>:
B
<解析>:
椭圆 ，则 且 ，
而直线 与椭圆 有两个公共点，
则 ，化简可得 ，
所以
，
可得 或 ，
又因为 且 ，
可得 且 ，
故选：B.
8、
<答 案>:
B
<解析>:
设椭圆 的上顶点、右顶点、左焦点分别为 ，
则 ，且 ，
所以 ， ， ，
依题意 为等腰三角形， ，
所以 ，化简得 ，又 ，
所以 ，即 ，
解得 ，又 ，所以 ，
即椭圆的离心率为 .
故选：B
二、多选题
9、
<答 案>:
A;B;C
<解析>:
由条件可知， ， ，那么 ，
所以长轴长 ，焦距 ，离心率 ，左顶点 ，
故ABC正确，D错误.
故选：ABC
10、
<答案 >:
B;D
<解析>:
对于A：直线 即 ，所以直线的斜率为 ，则倾斜角为 ，故A错误；
对于B：直线 即 ，
令 ，解得 ，所以直线 恒过定点 ，故B正确；
对于C：若在 ， 轴上截距均为 ，此时直线过坐标原点，则直线方程为 即 ，
若在 ， 轴上截距均不为 ，设直线为 ，则 ，
解得 ，所以直线方程为 ，即 ，
综上可得经过点 ，且在 ， 轴上截距相等的直线方程为 或 ，故C错误；
对于D：因为 ，所以 ，则直线 的方程为 即 ，故D正确；
故选：BD
11、
<答案 >:
A;B;C
<解析>:
对于A，圆 的圆心坐标为 ，正确；
对于B，直线方程 即 ，由 可得 ，
所以直线 过定点 ，正确；
对于C，记圆心 ，直线过定点 ，则 ，
当直线 与直线 垂直时，圆心 到直线 的距离最大，
此时直线 截圆 所得的弦长最小，
此时弦长为 ，正确；
对于D，因为 ，所以点 在圆内，直线与圆必相交，错误.
故选：ABC
12、
<答案 >:
A;D
<解析>:
对A，由题意 ， ，故 ， ，故A正确；
对B， 的周长为 ，故B错误；
对C， ，
，当且仅当 时，
等号成立，
因为 在 上递减，所以此时 最大，又 ， ，所以 的最大值为 ，
，不成立，故C错误；
对D，由余弦定理
，即 ，
解得 ，故 ，故D正确；
故选：AD
三、填空题
13、
<答案 >:
22
<解析>:
由题意得 ，又 ，所以 .
故答案为：22
14、
<答案 >:
或 （写出一条即可）
<解析>:
依题意切线的斜率存在，设斜率为 ，则切线为 ，
即 ，
则圆心到直线的距离 ，解得 或 ，
所以切线方程为 或 .
故答案为： 或 （写出 一条即可）
15、
<答案 >:
<解析>:
由题意，
在直三棱柱 中， ， ， ，
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴ ，
∴ ，
设直线 和直线 所成的角为 ， ，
，
∴直线 和直线 所成的角为 ，
故答案为： .
16、
<答案 >:
<解析>:
设 ，
则 ，
如图，因为 ， ，可得 ，
则 ，解得 ，
又因为 ，整理得 ，
则所求动点M的轨迹方程为
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）由于双曲线的焦点在 轴上，
可设其标准方程为： ，
因为双曲线过点 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
解得： ， ，
故所求双曲线的标准方程为： .
（2）设双曲线方程为 ，
把点 与点 代入，
有 ，解得： ，
故所求双曲线的标准方程为： .
18、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 即 ，圆心为 ，半径为 ，
则 ，故圆 与圆 相交；
将圆 与圆 的方 程相减，
得 ，
即经过圆 与圆 交点的直线方程为 ；
（2）圆 的圆心为 ，半径为1，
到直线 的距离为 ，
故圆 与圆 的公共弦长为 .
19、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）已知 的圆心是 ，半径是 ，
设直线斜率为
则直线方程是 ，即 ，
则圆心到直线距离为 ，
解得直线的斜率 .
（2）设点 则，
由点 是 的中点得，
所以 ①
因为 在圆 上运动，所以 ②
①代入②得，
化简得点 的轨迹方程是 .
20、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）因为椭圆 ： 的一个顶点为 ，离心率为 ，
所以有 ， ，
结合 ，有 ，解得： ，
所以椭圆 的方程为： .
（2）由（1）知椭圆 的方程为： ，
设 ， ，
联立 ，消去 得： ，显然 ，
所以 ， ，
则 ，
又点 到直线 的距离 ，
所以 .
21、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2) .
<解析>:
解：（1）证明：连接 .因为 是边长为2的正方形，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，则 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：由（1）知 ， ， 两两垂直，故以 为 坐标原点，以射线 ， ， 分别为 轴， 轴，
轴的正半轴
建立如图所 示的空问直角坐标系 .
则 ， ， ， ，故 ， ， .设平
面 的法向量为 ，则 ，令 ，则
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 .
，
记平面 和平面 夹角为 ，则 .
22、
<答案 >:
(1)
(2)是定值，定值为2
<解析>:
（1）设椭圆 的标准方程为 ，
由题意知 ， ， ，
故椭圆的标准方程又为 ，即 ，
又椭圆过点 ， ， ，
椭圆的标准方程为 ；
（2）由题意可知直线 的斜率存在且不过点 ，
设直线 的方程为 ， ，
由 ，消去 整理得 ，
需满足 ，则 ， ，
直线 的倾斜角互补， ，
，
，
将 ， 代入得 ，
整理得 ，而 ，
，
所以直线 的斜率为定值，其定值为2.
