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第六章 数列
第二节 等差数列及其前n项和
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
课堂考点突破
——精析考题 提升能力2025高考数学一轮复习-6.2-等差数列及其前n项和-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 已知 为等差数列，其前 项和为 ,若 , , ,则 ( )
A. B. C. D.
2.设等差数列 的前 项和为 ，若 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知等差数列 满足 , ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 已知数列 满足 , , ，则 ( )
A. B. C. D.
5. （多选）已知等差数列 的公差为 ,前 项和为 ,且 ,则( )
A. B. C. D.
6. 将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，则 的前 项和为 .
7.若一个等差数列 满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项.写出一个满足条件的数列的通项公式 .
8.已知数列 满足 , , ,则数列 的前10项和为 .
9. 设数列 的前 项和为 ,且 .数列 满足 , .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 证明数列 为等差数列，并求 的通项公式.
[B级 综合运用]
10.图1是中国古代建筑中的举架结构， , , , 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中 , , , 是举， , , , 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 , , , ．已知 , , 成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 ( )
A. B. C. D.
11.（多选）已知数列 的前 项和为 ,下列说法正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ，则数列 的前10项和为49
C. 若 ,则 的最大值为25
D. 若数列 为等差数列，且 , ，则当 时， 的最大值为2 021
12.（多选）两个等差数列 和 ，其公差分别为 和 ，其前 项和分别为 和 ，则下列说法正确的是( )
A. 若 为等差数列，则
B. 若 为等差数列，则
C. 若 为等差数列，则
D. 若 ，则 也为等差数列，且公差为
13. 韩信是我国汉代能征善战、智勇双全的一员大将.历史上流传着一个关于他点兵的奇特方法.有一天，韩信问有多少士兵在操练，部将回答：三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩四.韩信很快就知道了士兵的人数.设有 个士兵，若 ，则符合条件的 共有 个.
14. 记 为数列 的前 项和.已知 ．
（1） 证明： 是等差数列；
（2） 若 , , 成等比数列，求 的最小值．
[C级 素养提升]
15. （多选）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的数学名著之一，大约创作于公元5世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹 丈，1丈 尺，若这一个月有30天，记该女子在这一个月中第 天所织布的尺数为 , ，对于数列 , ，下列选项中正确的为( )
A. B. 是等比数列
C. D.
16.设数列 的前 项和为 ，且满足 （ 为常数）.
（1） 若 ，求 ；
（2） 是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
2025高考数学一轮复习-6.2-等差数列及其前n项和-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 已知 为等差数列，其前 项和为 ,若 , , ,则 ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.因为 , ,解得 （负值舍去）.故选C.
2.设等差数列 的前 项和为 ，若 ,则 ( D )
A. B. C. D.
[解析]选D.由等差数列的性质可知 ，所以 ，
.故选D.
3. 已知等差数列 满足 , ，则 ( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.设等差数列 的公差为 ，
则
,
解得 .
又 ,
解得 .所以 ,
故选B.
4. 已知数列 满足 , , ，则 ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.由已知 ，所以数列 为等差数列，
，所以 , ， , ，
所以 , , .故选C.
5. （多选）已知等差数列 的公差为 ,前 项和为 ,且 ,则( BCD )
A. B. C. D.
[解析]选BCD.由于 ，所以 ,B正确.由于 ，所以 ,所以 ,A错误.
由于 ， ,所以当 , 时， ,所以 ,D正确.
,C正确.故选BCD.
6. 将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，则 的前 项和为 .
[解析]因为数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，数列 是以1为首项，3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，6为公差的等差数列，所以 的前 项和为 .
7.若一个等差数列 满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项.写出一个满足条件的数列的通项公式 （答案不唯一）.
[解析]设 的公差为 ,由题意得， ,
所以 ,又 , 为正整数，所以可取 , ,故 .
8.已知数列 满足 , , ,则数列 的前10项和为90.
[解析]由题意可得 , , , , , ，和 , , , , , .
奇数项和偶数项分别构成等差数列，所以 .
9. 设数列 的前 项和为 ,且 .数列 满足 , .
（1） 求数列 的通项公式；
[答案]解：当 时， ;
当 时， .
因为 符合上式，所以 .
（2） 证明数列 为等差数列，并求 的通项公式.
[答案]因为 ,
所以 ,即 .
又 ,
所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列.
所以 .
所以 .
[B级 综合运用]
10.图1是中国古代建筑中的举架结构， , , , 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中 , , , 是举， , , , 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 , , , ．已知 , , 成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 ( D )
A. B. C. D.
[解析]选D.如图，连接 ，延长 与 轴交于点 ，则 .因为 ， ， 成公差为0.1的等差数列，所以 ， ，所以 ， ， ，即 ， ， .又 ，所以 ，所以 ,所以 ,解得 ，故选D.
11.（多选）已知数列 的前 项和为 ,下列说法正确的是( CD )
A. 若 ,则
B. 若 ，则数列 的前10项和为49
C. 若 ,则 的最大值为25
D. 若数列 为等差数列，且 , ，则当 时， 的最大值为2 021
[解析]选CD.对于A，当 时， ,当 时， ,
当 时，不符合上式,
所以 故A不正确；
对于B，因为 ,所以 所以数列 的前10项和为 ，故B不正确；
对于C，由 可知数列 是等差数列，且 ,所以 ,
所以当 时， 取得最大值25，故C正确；
对于D，因为数列 为等差数列，所以 , ,所以当 时， 的最大值为2 021，故D正确.
综上所述，选CD.
12.（多选）两个等差数列 和 ，其公差分别为 和 ，其前 项和分别为 和 ，则下列说法正确的是( AB )
A. 若 为等差数列，则
B. 若 为等差数列，则
C. 若 为等差数列，则
D. 若 ，则 也为等差数列，且公差为
[解析]选AB.由题意得 , .
若数列为等差数列，则其通项公式形如 ，所以若数列 为等差数列，则有 ，即 ,所以A正确；
,由等差数列通项公式的特征，可得 ,即 ,所以B正确；
当 或 时，数列 为等差数列，所以C错误；
因为 , , ，所以 ，可知数列 是等差数列，且公差为 ,所以D错误.故选AB.
13. 韩信是我国汉代能征善战、智勇双全的一员大将.历史上流传着一个关于他点兵的奇特方法.有一天，韩信问有多少士兵在操练，部将回答：三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩四.韩信很快就知道了士兵的人数.设有 个士兵，若 ，则符合条件的 共有10个.
[解析]由“三三数之，剩二”知最小数是5， 是等差数列 ， ， ， ， 中的项，其中满足“五五数之，剩三”的最小数是8，故 是等差数列 ， ， ， ， 中的项，其中满足“七七数之，剩四”的最小数是53，故 是等差数列 ， ， ， ， 中的项，可得通项公式 ，令 ，解得 ，且 ，故符合条件的 共有10个.
14. 记 为数列 的前 项和.已知 ．
（1） 证明： 是等差数列；
[答案]解：证明：由 ，得 ，①
所以 ，②
②-①，得 ，
化简得 ,
所以数列 是公差为1的等差数列.
（2） 若 , , 成等比数列，求 的最小值．
[答案]由（1）知数列 的公差为1.
由 ，得 ,
解得 .
所以
，
所以当 或13时， 取得最小值，最小值为 .
[C级 素养提升]
15. （多选）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的数学名著之一，大约创作于公元5世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹 丈，1丈 尺，若这一个月有30天，记该女子在这一个月中第 天所织布的尺数为 , ，对于数列 , ，下列选项中正确的为( BD )
A. B. 是等比数列
C. D.
[解析]选BD.由题意可知，数列 为等差数列，设数列 的公差为 ,由题意可得 , ,解得 ，所以 .
因为 ,所以 （非零常数），则数列 是等比数列，B正确；
因为 , .
所以 ,A错误；
,所以 ，C错误；
, ，所以 ,D正确.故选BD.
16.设数列 的前 项和为 ，且满足 （ 为常数）.
（1） 若 ，求 ；
[答案]解：由 可得 ，
两式相减得 ，即 .
若 ，则 ，
所以 .
（2） 是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
[答案]存在 ，使得数列 为等差数列.
理由如下:
当 时， ，得 ；
当 时， ，得 ；
当 时， ，得 .
假设存在 ，使得 为等差数列，则 ，解得 ，
所以 ，则 ，
从而 ，故数列 的奇数项构成等差数列，偶数项也构成等差数列，且公差均为2.
当 为偶数时， ；
当 为奇数时， .
所以 ， ，故 符合题意.
