2023-2024学年吉林省长春市汽开三中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，函数在上单调递增”的否定为( )
A. ，函数在上单调递减
B. ，函数在上不单调递增
C. ，函数在上单调递减
D. ，函数在上不单调递增
3.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
4.水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续年的产量单位：如表：
品种 第年 第年 第年 第年 第年 第年
甲
乙
根据以上数据，下面说法正确的是( )
A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大
B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小
C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定
5.已知的周长是，，，则动点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
6.若函数在与直线有两个交点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，体积为，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. 已知，，则“”的必要不充分条件是“”
B. 函数的最小值为
C. 集合，是实数集的子集，若，则
D. 若集合，则满足的集合有个
10.下列说法中，正确的是( )
A. 若随机变量，且，则
B. 一组数据，，，，，，，，的第百分位数为
C. 在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画模型的拟合效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
D. 设随机事件，，已知事件发生的概率为，在事件发生的条件下事件发生的概率为，在事件不发生的条件下事件发生的概率为，则事件发生的概率为
11.已知，分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数，则( )
A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则的值为______．
13.有人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中人，则所有不同的录用情况种数为______用数字作答
14.函数，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，记角、、的对边分别为、、，已知．
求角；
已知点在边上，且，，，求的面积．
16.本小题分
如图，等腰梯形，，，，、分别是的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线、折起，使得点和点重合，记为点如图．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17.本小题分
数列的前项和为，且，
求数列的通项公式；
已知，若，求数列的前项和．
18.本小题分
某素质训练营设计了一项闯关比赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．
计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率；
若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望；
已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出．
19.本小题分
已知双曲线的实轴长为，顶点到渐近线的距离为．
求双曲线的标准方程；
若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为、、、，证明：；
求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以若方程的正整数解为，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由．
答案解析
1.
【解析】解：，
故选：．
2.
【解析】解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，函数在上单调递增”的否定为“，函数在上不单调递增”．
故选：．
3.
【解析】解：因为，则，
则，故．
故选：．
4.
【解析】解：选项A：甲种水稻产量的平均数为：，
乙种水稻产量的平均数为：，
即甲乙种的水稻产量的平均数相等，故A错误，
选项B：甲种的水稻产量分别为：，，，，，，中位数为，
乙种的水稻产量分别为：，，，，，，中位数为，而，故B错误，
选项C：甲种的水稻产量的极差为，乙种的水稻产量的极差为，而，故C错误，
选项D：结合甲乙两组数据可以看出，乙组波动性较大，甲组稳定性较强，故甲种的水稻产量稳定，故D正确，
故选：．
5.
【解析】解：由于的周长是，，，
则，
故顶点的轨迹是以、为焦点的椭圆，除去与轴的交点．
，，，
故顶点的轨迹方程为，
故选：．
6.
【解析】解：函数
当时，．
当时，．
可得的图象为：
从图象可知与直线有两个交点．
则，且，
得的取值范围为．
故选C．
7.
【解析】解：如图所示，作于点，
则，即，
，
则，
由正四棱台的侧棱与底面所成角即为与底面所成角，
设其为，则，即，
故选：．
8.
【解析】解：，
，
是偶函数，
当时，，
函数在上单调递增，
令，
求导得，
即函数在上单调递增，
，而，
所以，
．
故选：．
9.
【解析】解：对于，，
则，充分性成立，故A错误；
对于，，当时，等号成立，故B错误；
对于，，则，故C正确；
对于，集合，
满足的集合为，，总个数为个，故D正确．
故选：．
10.
【解析】解：因为且，所以，故A正确；
数据共有个数，
，
第百分位数是第个数，故B错误；
在一元线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，
若的值越小，则模型的拟合效果越差，故C错误；
，，
所以，
又因为，
则，
所以，故D正确．
故选：．
11.
【解析】解：因为，所以，
即，联立，解得，
所以，定义域为，又，
所以是奇函数，又，
所以在上单调递增，故A，D正确，、C错误．
故选：．
12.
【解析】解：，
令，得，
令，得，
故．
故答案为：．
13.
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
四人中有人被录取，有种不同的录用情况；
四人都被录取，需要先将人分为组，再将分好的组安排给所学校，有种不同的录用情况；
则有种种不同的录用情况．
故答案为：．
14.
【解析】解：当时，则有，解得舍；
当时，则有，解得舍，
综上，．
故答案为：．
15.解：，，
，，，；
设，，，或，
当时，，，此时三角形为正三角形，
当时，，，
满足，此时三角形为直角三角形，．
【解析】代入正弦定理和两角和的正弦公式即可；先确定长度，再确定，即可判断三角形形状，确定面积．
16.Ⅰ证明：等腰梯形，，，，
，是的两个三等分点，
是正方形，
，
，且，，平面，
面，
又平面，
平面平面．
Ⅱ解：过作于，过作的平行线交于，
则面，
以为原点，，为轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，，
设平面的法向量，
则
取，得，
设平面的法向量，
则，，
取，得，
设平面平面与平面所成锐二面角为，
则．
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【解析】Ⅰ推导出，，从而面，由此能证明平面平面．
Ⅱ过作于，过作的平行线交于，则面，以为原点，，为轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成锐二面角的余弦值．
17.解：当时，，即；
当时，由得，
则两式相减得，
即，
综上可知，是首项，公比的等比数列，
则，即．
故．
由知，，
则，
，
得，
整理得
，
即，．
【解析】根据条件求得首项，由得，两式相减即可得到为等比数列，进一步求解即可；
利用错位相减法求和即可．
18.解：设事件表示“该小组比赛胜利”，
则；
由题意可知，的所有可能取值为，，，
则，，，
所以的分布为：，
所以；
若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为，
由可知，，
若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为，
则，
所以，
因为，所以，，
所以，即，
所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．
【解析】利用独立事件的概率乘法公式求解；
由题意可知，的所有可能取值为，，，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解；
分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可．
19.解：由题意，解得，
所以双曲线的标准方程为；
证明：由题意直线的斜率不为，设直线：，如图，
因为直线与的右支交于两点，所以，
联立，消去得，则，即，
所以，
联立，消去得，，
所以，
所以，
即线段，的中点重合，
所以；
由题意得方程的初始解为，
根据循环构造原理得：，
从而，
记，则，设，的夹角为，
则的面积
，
令，则，
则
，
所以的面积为定值．
【解析】根据双曲线，，关系和渐近线、实轴相关概念进行列式计算即可求解．
分别联立直线与及其渐近线方程求出、、、的坐标或坐标的关系，进而得出线段，的中点重合，即可得证．
结合题目所给的循环构造的方法得，，用向量面积公式表示出面积，再换元，化简即可求解．
第1页，共1页
