2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子为最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.已知一组数据：，，，，，，，则这组数据的中位数是( )
A. B. C. D.
3.关于正比例函数，下列结论正确的是( )
A. 图象不经过原点 B. 随的增大而增大
C. 图象经过第二、四象限 D. 当时，
4.下列说法正确的是( )
A. 邻边相等的矩形是正方形
B. 矩形的对角线互相垂直平分
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 顺次连接一四边形各边中点所得到的四边形是矩形，则这个四边形定是菱形
5.如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.“古诗送郎从军：送郎一路雨飞池，十里江亭折柳枝；离人远影疾行去，归来梦醒度相思．”中，如果用纵轴表示从军者与送别者行进中离原地的距离，用横轴表示送别进行的时间，从军者的图象为，送别者的图象为，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是( )
A. B.
C. D.
7.点在直线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，当时，线段长的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若，则化简的结果是( )
A. B. C. D.
9.课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间如右图，，，从三角板的刻度可知，小聪想知道砌墙砖块的厚度每块砖的厚度相等，下面为砌墙砖块厚度的平方是( )
A. B.
C. D.
10.如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法：对于函数，随的增大而减小；函数不经过第四象限；不等式的解集是其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.使式子有意义，则的值为______．
12.数据，，，，，，的平均数是，方差是，则数据，，，，，，的方差是______．
13.将直线向上平移个单位长度得到的直线的解析式为______．
14.如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为____．
15.已知，则的值为______．
16.若正方形的边长为，为边上一点，，为线段上一点，射线交正方形的一边于点，且，则的长为______．
17.如图，，，，，都是等腰直角三角形，其中点，，，，，在轴上，点，，，，，，在直线上，若，则点的坐标为______．
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
计算：；
化简：．
19.本小题分
已知，，求代数式的值．
20.本小题分
月日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，中国“太空出差三人组”成员平安回到了祖国大地．星空浩瀚无限，探索永无止境，我们都是“追梦人”，为了庆祝我国航天事业的发展，某校举行航空航天作品展，为了解学生上交作品情况，随机调查了部分学生上交作品件数，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
补全两幅统计图；
求所抽取学生上交作品件数的众数与中位数；
求所抽取学生上交作品件数的平均数，若该校共有名学生，请估计上交的作品一共有多少件？
21.本小题分
如图，已知，，．
求证：四边形为矩形；
如图，为的中点，为的中点，若，求的长．
22.本小题分
甲、乙两车在连通，，三地的公路上行驶，甲、乙两车同时从地匀速出发，甲车到达地后装货小时，再以原速原路返回地，乙车到达地后装货小时，再以原速前往地，结果甲、乙两车同时到达目的地在两车行驶的过程中，甲、乙两车距地的路程单位：千米与所用时间单位：小时之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
直接写出甲、乙两车的速度
求乙车从地到地的过程中与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
两车经过多长时间相距千米？请直接写出答案．
23.本小题分
把两个边长都等于的等边三角形拼成菱形如图有一个含角的三角尺，使三角尺的角的顶点与点重合，两边分别与，重合．
将三角尺绕点按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边，相交于点，时如图，通过观察或测量，的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
在旋转过程中四边形的周长是否发生变化？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值；
若将中三角尺的角的顶点在上移动且与点、都不重合，三角尺的两边分别与菱形的两边、相交于点、时如图，那么、之间又有什么数量关系？并证明你的结论．
24.本小题分
综合与探究
如图，已知直线：交轴于点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点，交直线于点．
求点的坐标；
若点为线段的中点，求；
在的条件下，若点在直线上，是平面内一点，是否存在以，，，为顶点的正方形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知，将线段绕点逆时针方向旋转至，连接，，则的最小值是______．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.且
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.解：
；
．
19.解：，，
，，
原式．
20.解：本次调查共抽取的学生有人．
上交作品件的人数为人．
上交作品件的人数所占的百分比，
补全两幅统计图如图：
所抽取学生上交作品件数的众数为，
所抽取学生上交作品件数的中位数为；
所抽取学生上交作品件数的平均数，
件，
答：估计上交的作品一共有件．
21.证明：，，
四边形是平行四边形，，
，
，
平行四边形是矩形；
解：如图，延长、交于点，
为的中点，为的中点，．
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
又，
≌，
，
，
，
，
．
22.解：由函数图象可得：、两地之间的距离为，甲到达点用时，乙到达点用时，
甲的速度为，乙的速度为；
由函数图象可得乙机从地到地行驶过程对应函数图象为，点，，
设与的函数关系式为，
则，
解得：，
与的函数关系式为；
如图，
当甲车到达地前时，由函数图象可得，，
由待定系数法同理可得：的解析式为：；的解析式为：；，
由两车相距米，则：，
解得，
当甲车到达地返回，乙从到过程中相距米，
由函数图象可得：，，
由待定系数法同理可得：，
由可得直线的解析式为：，
，
解得：或，
综上，两车经过或或相距米．
23.．
证明：在和中，
，
．
，，≌．
．
解：周长是变化的．
由≌得到，所以，
当、最短时，即、，周长最小，
周长最小值为；
证明：
过点作、，垂足分别为、．
，在菱形中，
平分，，
，，
，
，
，
又，，≌，．
24.解：令得，
解得，
；
如图，作轴于，轴于，
设，
令得，
，
点为线段的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
将，代入：得：，
，
直线：，
令得，
解得，
，
，，
；
存在，理由如下：
由知，，
，
，
，，
，，
又，
和都为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
以，，，为顶点的正方形，共有下列两种情况，
如图，过作轴交轴于点，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
；
如图，
四边形为正方形，
点和点关于轴对轴，，
，
综上，存在以，，，为顶点的正方形；所有满足条件的点坐标为或；
如图所示，过点作轴交轴于点，
线段绕点逆时针方向旋转至，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
点在直线上运动，
令得，，令得，
，，
作点关于直线的对称点，连，
，，，
，，
，
线段过点，
，
，
，
，即
，
，
最小值即为的长，
，
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