【期中压轴题汇总（温州）】浙教版九年级上数学综合训练
解析版
一、选择题（本大题有10小题）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1． 已知抛物线y＝x2-2mx（-1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是（ ）
A．-3 B．-1 C．0 D．1
【答案】A
【解析】抛物线的对称轴为直线，
∵ 抛物线y＝x2-2mx（-1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t） ，
∴x=m=（p+p+2）=p+1，t=p2-2mp，
∴p=m-1，
∴t=（m-1）2-2m（m-1）=-m2+1，
当m＞0时t随m的增大而减小，
∵ -1≤m≤2，
∴当m=2时，t有最小值为t=-22+1=-3.
故答案为：A.
2．已知二次函数，当自变量x满足时，，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或3
【答案】B
【解析】∵y=2x2+bx-1，
∴对称轴为x=，抛物线开口朝上，
∵时，，
又 x=0时，y=-1，
∴， 即b<0，m>0，
∴x=时，y=-3；x=m时，y=5，
即b2=16，b=-4，
∴y=2x2-4x-1，
将x=m，y=5代入，得2m2-4m-1=5，
解得，m=3或m=-1（舍去）.
故答案为：B.
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③a－b＋c＜0；④a＋b＞m(am＋b)（m≠1）；⑤若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．②⑤
【答案】C
【解析】如图，
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，a与b异号，
∴b＞0，
∵与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则△=b2-4ac＞0．
∴b2＞4ac.故②错误；
∵当x=-1时，y＜0，
即a-b+c＜0，故③正确；
∵x=1时函数有最大值，
∴当x=1时的y值大于当x=m（m≠1）时的y值，
即a+b+c＞m（am+b）+c
∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，故④正确；
将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y=1有四个交点即可，
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，故⑤错误．
综上：③④正确．
故答案为：C.
4．如图，抛物线y＝x2 2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是AB，BM的中点，若△DEB与△ACD的面积比为9：10，则c的值为（ ）
A．- B．-2 C．- D．-3
【答案】C
【解析】S△DEB＝ DB |yE|，S△ADC＝ AD |yC|，
∵D为AB中点，
∴AD＝DB，
又∵△DEB与△ACD的面积比为9：10，
∴ ＝ ，
又∵E为BM的中点，
∴|yE|＝ |yM|，
将x＝0代入解析式得，yC＝c，
∴|yE|＝| c|，
∴|yM|＝| c|，
∵yM＜0，c＜0，
∴yM＝ c，
∵M是抛物线的顶点，
∴xM＝- ＝- ＝2，
把x＝2代入解析式得：yM＝ ×2×2-2×2+c＝c-2＝ c，
解得c＝- .
故答案为：C.
5．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点G，正方形的边在x轴上，E，F在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设ED交BG于点H，
∵是正三角形，，∴
∴
设过的抛物线解析式为，将点A代入，得
∴ ∴抛物线解析式为，
∵四边形CDEF是正方形，且关于y轴对称，
∴
设，
∵在上，∴，
解得（舍去）
∵，
设直线的解析式为，∴ ∴
∴直线的解析式为
∵H在上，∴H的横坐标为
代入
得
∴
∴
∴阴影部分面积为
故答案为：D.
6．如图，在矩形ABCD中，线段EG，FH分别平行于BC，AB，它们相交于点I，点M，N分别在线段FI，GI上，EI＝MI，HI＝NI，连接FN，GM，相交于点P．已知AE：AB＝AH：AD＝1：3，AB：BC＝5：6，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵AB：BC=5：6，
设AB=5x，BC=6x，
∵AE：AB＝AH：AD＝1：3，
∴AE=x，AH=AD=BC= 2x，
∴ EB=AB-AE=5x-x=x，HD=AD-AH=6x-2x=4x，
∵线段EG，FH分别平行于BC，AB，
∴∠DHI=∠A=∠AHl=∠D=∠BEI=∠AEI=∠B=90°，
∴四边形AHIE，四边形HDGI，四边形EIFB均为矩形，
∴IN=HI=AE=x，IM=IE=AH=2x，IF=EB=x， IG=HD=4x，
∵=，，
∴，即，
又∵∠MIG=∠NIF，
∴△MIG∽△NIF，
∴∠IFN=∠IGM，
又∵∠GPN=∠MPF，
∴△MPF∽△NPG，
∴ .
故答案为：B.
7．在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图放置，发现此时水面恰好触到容器口边缘，则图②中水面高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点C作CF⊥BM于点F，
设DE=x，则AD=8-x，
∴，
解之：x=4，
∴DE=4；
∴；
∵DE∥BC，DC∥BF，
∴∠EDC=∠BCD=∠CBF，
∵∠E=∠BFC=90°，
∴△DEC∽△BFC，
∴即，
解之：.
故答案为：A
8．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点P，Q分别为AB，GH的中点，若PQ恰好经过点F，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】如图，过点P作PM⊥BE于点M，
设BE=a，GH=b，
∵△AHD≌△BEA，
∴AH=BE=a，
∵四边形EFGH是正方形，
∴FG=GH=EH=EF=b，
∵∠AEB=∠PMB=90°，
∴PM∥AE，
∴BP∶AP=BM∶ME，
∵点P是AB的中点，
∴AP=BP，
∴BM=EM=a，
∴PM是△ABE的中位线，
∴PM=AE=（a-b），
又∵点Q是GH的中点，
∴GQ=GH=b，
∵∠PMF=∠BFC=90°，
∴△PM∥FC，
∴∠MPF=∠GFQ，
∵∠PMF=∠FGQ=90°，
∴△PMF∽△FGQ，
∴PM∶FG=MF∶GQ，
∴PM×GQ=FG×MF，
∵MF=EM-EF=a-b，
∴（a-b）×b=b（a-b），
整理得3b2-ab=0，即b（3b-a）=0，
∵b≠0，
∴3b-a=0，
∴a=3b，
∴AE=AH-EH=a-b=2b，
∴，
∴AB∶EF=.
故答案为：C.
9．已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD＝9，AD＝6，则的长为（ ）
A． B．3π C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：取点D在⊙O上的对应点E，连接OA、OC、CE、BE、CD、AC，过C点作 CFAD于点F.
∵四边形ABEC内接于
∴∠A+ ∠E = 180°
∵点D在⊙O上的对应点为点E
由折叠的性质得出：∠BEC = ∠BDC
∵∠BDC+∠CDA =180°
∴∠E+∠CDA=180°
又∵∠A+ ∠E =180°
∴∠A= ∠ADC，
∴△ACD是等腰三角形
∵CFAD，AD = 6
∴AF=FD=AD=3
又∵BD=9
∴BF= BD+DF = 12
∵CFAD
∴△CFB是直角三角形
∵∠ABC=30°
∴在Rt△CFB中，CF= =
在Rt△AFC中，AC =
∵∠ABC=30°
∴∠AOC =60°
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形
∴OA=OC=AC=
∴的长=
故答案为：.
10．如图， 矩形中， 分别是边上的两个动点， 将沿着直线 作轴对称变换， 得到， 点恰好在边上， 过点作， 连结. 若时， 则（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】延长FO交AD于点E，
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，BC=AD，AB=CD
∵FO⊥BC，
∴FG⊥AD，
∴∠D=∠C=∠GFC=90°，B′D=2B′G=2DG，
∴四边形FCDG是矩形，
∴DG=CF=6，B′D=12，AB=CD=FG，
∴BC=AD=AB′+B′D=6+12=18；
∵将沿着直线 作轴对称变换， 得到，
∴BF=B′F=18=6=12，BE=B′E，
∴AB′=18-12=6；
在Rt△B′FG中
设AE=x，则，
在Rt△AEB′中，
AE2+AB′2=B′E2即
解之：
即AE=.
故答案为：
二、填空题（本大题有10小题）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 如图，在正方形ABCD的右下角有一个正方形GICJ，以点G为顶点向左构造正方形EFGH，使点E，F分别落在边AB，BI上，当A，H，J三点共线时，则的值是 ．
【答案】
【解析】过点H作HN⊥AB于点N，过点H作HM⊥GJ，交JG的延长线于点M，
设正方形GICJ的边长为x，FI=y，
∵四边形ABCD，EFGH，GICJ是正方形，
∴∠B=∠EFG=∠FIG=90°，EF=FG，AB=BC，
∵∠BFE+∠GFI=90°，∠GFI+∠IGF=90°，
∴∠BFE=∠IGF，
∴△BFE≌△IGF（AAS），
同理可证△MGH≌△NEH≌△BFE≌△IGF，
∴MG=NE=GI=BF=x，HM=BE=NH=FI=y，
∴AB=BC=2x+y，AN=2x+y-x-y=x，
∵S梯形ABCJ=S△NAH+S△NEH+S△BFE+S△IGF+S△HGJ+S正方形EFGH+S正方形GICJ，
S△HGJ=GJ·HM=xy=S△IGF，
∴S梯形ABCJ=5S△IGF+S正方形EFGH+S正方形GICJ
∴（x+2x+y）（2x+y）=5×xy+（x2+y2）+x2，
整理得：y2=2x2，
∴FG2=3x2，
∴
∴
12．如图是某路灯的示意图，立柱OE与水平地面垂直，两盏路灯挂在灯杆OE的异侧（灯臂AB，CD近似看作线段，AB、CD），AE⊥OE，∠ABO=∠DCO=120°．小丽（身高1.5米）站在点P处时，点F，D，E在同一直线上，向后移动4.5米到达点Q，点G，D，B，A在同一直线上．测得OP=6米，则OE= 米，AB= 米．
【答案】（）；
【解析】如图，过点G作GH⊥EO于点H，则G，F，H在同一条直线上，
易得四边形HFPO、四边形FGQP、四边形HGQO都是矩形，
∴HF＝OP＝6米，FG＝PQ＝4.5米，OH＝FP＝GQ＝1.5米，
∴HG＝HF＋FG＝10.5米，
∵∠ABO＝∠DCO＝120°，
∴∠CBD＝∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC＝BD＝DC，
∵AB＝CD，
∴BC＝BD＝DC＝AB，
∵AE⊥OE，∠ABE＝60°，
∴∠A＝30°，
设BE＝x米，则AB＝BC＝BD＝DC＝2x（米），
∴AE＝x（米），
∵∠BGH＝30°，
∴BH＝GH tan30°＝10.5×（米），
∴BG＝2BH＝（米），
∴DG＝BG DB＝（ 2x）米，
∵AE∥FG，
∴△AED∽△GFD，
∴AE∶FG＝AD∶DG，
∴
∴x＝或x＝0（舍去），
∴AB＝2x＝米；
∴OE＝OH＋BH＋BE=米.
故答案为：（），.
13．已知二次函数y1＝2x2-8x+3的图象与y轴交于点A，过点A的直线y2＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点P（m，n）在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为 ．
【答案】 或
【解析】当x=0时y=3，
∴点A（0，3），
∵ 过点A的直线y2＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），
∴b=3，
∴y2＝kx+3，
∴即kx+3=2x2-8x+3
解之：x1=0，，
∵点B在点A的右侧，
∴xB＞xA＞0，
∴
解之：k＞-8；
∵y1=2（x-2）2-5，
∴抛物线的顶点坐标为（2，5），
∴n的最小值为-5，
∵n的最大值与最小值的和为1，
∴n的最大值为6，
∵6＞3，
∴点B在抛物线的图象上高于点A，
∴k＞0，
当y=6时，2（x-2）2-5=6
解之：（舍去）
∴点B的横坐标为；
当点P在点A处取得最大值时，当n=3时即n的最小值为-2，
∴当y=-2时，2（x-2）2-5=-2
解之：（舍去）
∴点B的横坐标为 或
14．图1是一个瓷碗，图 2 是其截面图，碗体 DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 ；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液面宽度CH= ．
【答案】（1）cm
（2）
【解析】（1）以点E为原点，建立直角坐标系，如图，
∵EG=8， CD=12，
∴C（6，8），D（-6，8），
∴抛物线为y=x2，
∵ET=4
∴P（，4），Q（，4），
∴PQ=cm；
故答案为：cm；
（2）建立直角坐标系，如图，
根据题意得：C（6，8），
∵∠ABM=45°，且CH∥CH，
∴直线CH的斜率为1，
∴直线CH：y=x+2，
∴直线CH与抛物线y=x2的交点H（，），
∴CH=.
故答案为：.
15．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D， 动点E在y轴上， 点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是 ．
【答案】
【解析】过点D作y轴的对称点H，连接BH交y轴于点E，交圆于点F，则DE+EF最小，如下图：
令抛物线的y=0，则解得x=3或1；令x=0，则y=3；
∴抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（3，0），与y轴的交点C为（0，3）
∵y= x2﹣4x+3 = （x-2）2﹣1
∴抛物线的对称轴为直线x=2，点D的坐标为（4，3）
∵点H与点D关于y轴对称
∴点H的坐标为（-4，3），EH=ED
∴当DE+EF最小值=EH+EF=HF=HB-FB=.
故答案为：.
16．如图，点P是线段AB上一动点（不包括端点），过点P作PQ⊥AB交以AB为直径的半圆O于点Q，连接AQ，过点P作PC∥AQ交该半圆于点C，连接CB．当△PCB是以PC为腰的等腰三角形时，为 ．
【答案】
【解析】当①PC= BC时，过点C作CDAB于点D
∵PQ⊥AB
∴CD∥ PQ
∴∠QPC=∠DCP
∵PCAQ
∴∠QPC=∠AQP，∠A=∠CPB
∵PC=BC，CDAB.
∴DT平分∠PCB，PD =BD， ∠PCD = ∠BCD.
∴∠AQP=∠QPC= ∠PCD= ∠BCD
∴∠A= ∠CPB =∠B
∵∠A=∠B
∴
∴
∴AQ=BC，
在△APQ和△BDC中
∠A=∠B
∠AQP = ∠BCD
AQ=BC
∴△APQ△BDC (AAS)
∴AP = BD
∵PD=BD
∴AP =PD= BD
∴
②当PC=PB时，如图所示，连接AC
∵AB为直径，
∴∠ACB= ∠PCA+ ∠PCB = 90°
∴∠CAB+ ∠B = 90°
∵PC=PB
∴∠B=∠PCB
∴∠CAB= ∠PCA
∴PA=PC
∴PC=PA=PB
∴
故答案为：.
17．如图，A、B、C为⊙O上的点，OC∥AB，连接OA，BC交于点D，若AC=CD，OC=2，则AB的长为 ．
【答案】
【解析】过点作交于点，如图：
设，
，
∵，
∴，
由三角形外角的性质得：，
已知，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形内角和定理得：，
即，
解得：，
即，
在中，OA=2，
∴，
∵，
由垂径定理得：，
故答案为：．
18．图1是郑州的网红打卡点 “戒指桥”， 其数学模型如图2所示． 线段是其中一条拉索， 点在圆上， 点是圆和水平桥面的交点． 小明测得， 且在 B点和点观测点的仰角均为， 则点到桥面的距离为 ， “戒指” 的半径为 ．
【答案】14；26
【解析】如图1，连接BD，过D作DE⊥BC于点E，
∵在B点和C点观测D点的仰角均为45°，
∴，
∴，
∴△BDC是等腰直角三角形．
∵，，，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴
故D点到桥面的距离为14m．
如图2，连接BD，取AB，BD的中点，分别为H、F，作AB与BD的中垂线OH，OF，交于点O，过点F作FG⊥OH于点G，过点F作FM⊥BC于点M，连接OA，
则点O为该圆圆心，OA为该圆半径，
∵F为BD中点，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵H为AB中点，，
∴，
∵，
∴．
∵，，，
∴四边形GHMF是矩形，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在四边形OHBF中，
，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵四边形GHMF是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，
，
∴，
故“戒指” 的半径为26m．
故答案为：14，26.
19．如图，已知半圆O，OB＝．点D在半圆上，AD＝10，在取点C，连结AC，作DH⊥AC于点H，连结BH，则BH的最小值等于 ．
【答案】8
【解析】取AD的中点M，连接BD，BM，HM，如图：
∵DH⊥AC，
∴H点在以M为圆心，MD为半径的圆上，
∴MH=DM=AM，
∵AD=10，
∴，
当B、H、M三点共线时，BH最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴，
∴，
∴BH的最小值为BM-MH=13-5=8．
故答案为：8.
20．在半径为5的圆内放置正方形ABCD，E为AB的中点，EF⊥AB交圆于点F，直线DC分别交圆于点G，H，如图所示．若AB＝4，EF＝DG＝CH，则GH的长为 ．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴∠FBE＝∠H，∠BCH＝180°-90°＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝90°，
∴∠FEB＝∠BCH，
∴△FEB∽△BCH，
∴
∵AB＝4，E为AB的中点，
∴BE＝2，
∴
∴EF CH＝8，
∵EF＝CH，
∴EF2＝8，
∴EF＝2 或EF＝-2 （舍去），
∴EF＝DG＝CH＝2 ，
∴GH＝DG+DC+CH＝2 +4+2 ＝4 +4.
故答案为：4+4.
三、解答题（本题有10小题）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
21．如图， 在 中， ， 点 以每秒2个单位长度的速度从点 出发， 沿 方向向终点 匀速运动， 同时点Q以每秒1个単位长度的速度从点 出发， 沿 方向向终点 匀速运动， 连结 . 设运动的时间为 秒.
（1）求 的长 （用含 的代数式表示）.
（2）当 秒时， 求 的面积.
（3）①如图 2，连结 ，当 为直角三角形时，求所有满足条件 的值.
② 如图3，当点 关于 的对称点 落在直线 上时，求 的值.
【答案】（1）解：由勾股定理可得： ，
由题意可得： ，
则 ，
（2）解：作 ，如下图：
由题意可得： ，
由三角函数的定义可得 ，即 ，解得
（3）解：①由题意可得： ， ， ，
当 时，由勾股定理可得： ，
则：
解得： ，符合题意；
当 时，作 ，如下图：
则 ， ，
∴
∴
∴
由三角函数的定义可得 ， ，解得 ，
则
即 ，解得 ，符合题意
故答案为 或
②连接 交 于点 ，如下图：
由题意可知： ，
又∵
∴
∴
由①得 ， ，
∴ ，化简得：
解得 或 （负值舍去）
∴
22．如图，在矩形ABCD中，E为AD边中点，在BC延长线上任取一点N，过N作BE的中垂线，分别交AB，BE，CD于点F，H，G，延长FE交CD的延长线于点M．
（1）证明：△ABE∽△CNG．
（2）连接BG，当AB＝CN时，求∠EBG的度数．
（3）当BC＝CN时，的值为 ．（直接写出答案）
【答案】（1）证明：∵BE⊥FN，
∴∠BHF＝90°，
∴∠HFB+∠HBF＝90°．
在矩形ABCD中，∠ABC＝∠A＝∠BCD＝90°，
∴∠HFB+∠N＝90°，∠NCG＝90°，
∴∠HBF＝∠N，∠A＝∠NCG，
∴△ABE∽△CNG．
（2）解：如下图，连接EG，
∵△ABE∽△CNG，
∴AB＝CN，
∴△ABE≌△CNG，
∴AE＝CG，
∵E为AD边中点，
∴DE＝AE＝CG．
∵FN是BE的中垂线，
∴EG＝BG．
∵∠D＝∠BCD＝90°，
∴Rt△DEG≌Rt△CGB（HL），
∴∠DGE＝∠CBG．
∵∠CBG+∠CGB＝90°，
∴∠DGE+∠CGB＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠EBG＝45°．
（3）
【解析】（3）法1：如下图，连接EN交CD于点P，∵FN是BE的中垂线，
∴EN＝BN，
∵E为AD边中点， 方法1：连接EN交CD于点P，∵FN是BE的中垂线，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△DEP∽△CNP，
∴ ．
设DE＝a，则BC＝CN＝2a，EN＝BN＝BC+CN＝4a，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
法2：（略解）由△CNG∽△BNF得 ．
易证得△MED≌△FEA，∴DM＝AF，ME＝FE．
设CG＝a，则ME＝FE＝BF＝2a，MF＝MG＝4a，
∴CM＝5a，
∵MC+BF＝7a，即2AB＝7a，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
法3：如下图，作GK⊥AB于点K，
易证得△MFG∽△GFB，∴ ，
∴ ．设FK＝BK＝a，则EF＝BF＝2a， ，在Rt△GKF中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
23．如图，已知抛物线y＝ax2﹣4ax交x轴于点A，与直线y＝ x交于点B（非原点），过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，BC＝6．
（1）求a的值．
（2）若P是线段BC上一点，过点P作x轴的垂线分别交直线OB与抛物线于E，F．求线段EF的最大值．
（3）若P是射线BC上一点，作点F关于直线BC的对称点G，连结PG，BG．是否存在△BPG与△PBE相似，若不存在请说明理由，若存在请求出点G的坐标．
【答案】（1）解： 解： y＝ax2﹣4ax=a（x-2）2-4a，
∴对称轴x=2，
∵BC=6，
∴B点横坐标为5，
∴y=×5=，
∴B（5，），
∴=25a-20a，
∴a=.
（2）解： 由(1)得y=x2﹣2x ，
设P（m，），
∴EF=yE-yF=m-（m2﹣2m ）
=-m2+m
=-(m-)2+，
∴当m=时，EF的最大值为.
（3）解：存在，理由如下：
设BC与y轴交点为M，则BM=5，OM=，
∵PF⊥x轴，
∴，
∴当△BPG∽时PBE时，PG=2BP，或2PG=BP，
设点P的横坐标为x，则点P坐标为（x，），
点E坐标为（x，x），点F（x，x2-2x），
∴点G（x，5-x2+2x），
①当-1
当PG=2BP时， -x2+2x+=2（5-x），
解得x=3或5（舍），
∴G（3，）；
如图，当2PG=BP时，
这时 △BPG≌△PBE，
∴PE=PG，
∴G（0，5）.
②当x<-1时，点F在BC上方，
则PG=PF=2x-x2-，
如图，当PG=2BP时，
2x-x2-=2(5-x)，
解得x=-5或x=5（舍），
∴点G坐标为（-5，-）.
如图，当2PG=BP时，
2（x2-2x）=5-x，
解得x=5（舍）或-2，
∴点G坐标为（-2，-1），
综上，点G坐标为（3，），(0，5)，（-5，-），（-2，-1）.
24．已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C两点，且点A在点C的左侧，与y轴交于点B，连结AB．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移2m个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值；
（3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结PB ，过P作PQ//AB，与抛物线另一个交点为Q，M，N为AB上两点，且PM//y轴，QN//y轴，
①当△BPM为直角三角形时，求点P的坐标；
②是否存在点P使得PB 与 QN相互平分，若存在，求PQ的长，若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：A（5，0），B（0，-5)；
（2）解：作对称轴交x轴于点H，如图，
由题意抛物线对称轴为x=2，
∴AH=3，
∴2m=3， m=；
∴的横坐标为，把x= 代入，得y=
∴n=.
（3）解：①由题意可设直线AB的解析式：
由当x=0时，y=-5 ；当x=5时，y=0 ；
得：y关于x的函数表达式为y=x-5
设点P的横坐标为t，则M(t，t-5)， P(t，)
∴PM=
当∠BPM=90°时，则BP=MP，
∴t=， ∴t=4， P(4，)
当∠MBP=90°时，2BE=MP，
∴2t=， ∴t=3， P(3，-8），
②∵PB 与 QN相互平分，则BN=PQ，
∵AB//PQ，MP//NQ，
∴四边形PQNM是平行四边形，
∴PQ=MN，∴BN=MN，
∴N是BM的中点，
设点M的横坐标为t，
∴点N，Q的横坐标均为t，
∴P(t，)， Q( t ，)，
∵AB与x轴夹角为45°，
∴PQ与x轴夹角为45°
∴- t=
得t=或 t=0（舍去），
∴t=.
25．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点坐标E（4，﹣1）；
（2）解：如图1.1，图1.2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB＝CD．
设D（4，m），
∵C（0，3），由勾股定理可得：
42+（m﹣3）2＝62+32，
解得，
∴满足条件的点D的坐标为或；
（3）解：如图2，设CQ交抛物线的对称轴于点M，
设P（n，），则Q（n，），
设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则＝nk+3，
解得：k＝n﹣2﹣，
∴CQ：y＝（）x+3，
当x＝4时，y＝4（）+3＝n﹣5﹣，
∴M（4，），ME＝n﹣4﹣，
∴S△CQE＝S△CEM+S△QEM＝×n （n﹣4﹣）＝12，
∴n2﹣4n﹣60＝0，
解得n＝10或n＝﹣6，
当n＝10时，P（10，8），当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．
综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．
26．抛物线与轴交于点和， 与轴交于点， 连接. 点是线段下方抛物线上的一个动点(不与点重合)， 过点作 轴的平行线交于， 交轴于， 设点的横坐标为.
（1）求该拋物线的解析式；
（2）用关于的代数式表示线段， 求的最大值及此时点的坐标；
（3）过点作于点，
①求点的坐标；
②连接， 在轴上是否存在点， 使得为直角三角形， 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把 、 代入 得
∴ 即 ∴
∴抛物线的解析式为：
（2）解：令 得
∴
设直线BC的解析式为
则
∴
∴直线BC的解析式为：
P的横坐标为t， 轴
∴ ，
∴
∴当 时，
此时
（3）解：①∵ 、 ∴
∵
∴
∵ 轴
∴ ，
∴
∴
∴
又 ，
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
②设 则 ， ，
（Ⅰ）当 时
解得： （舍去）或 ∴
（Ⅱ）当 时
解得：
∴
（Ⅲ）当 时
解得： （舍去）
总之：存在点 或
27．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点经过A，B，D的O交AC于E点．
（1）
求AE的长．
（2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y．
①求y关于x的表达式．
②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值．
（3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF的面积．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB，
∴AB2+BC2=AC2，
∴AB2+122=4AB2，
解之：，
∴AC=2AB=；
∵点D是BC的中点，
∴CD=BC=6
∵四边形ABDE内接于圆O，∠ABC=90°
∴∠ABC+∠AED=180°，
∴∠AED=∠DEC=90°，
∴DE=CD=3，
∴，
∴
（2）解：① 设y=kx+b，
∵ 当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B
当x=AE=时，y=BQ=0；当x=0时y=BQ=12，
∴
解之：
∴y与x的关系式为：
② 过点P作PF⊥CB于点F，
∴，
∴
∵＜0，
∴抛物线的开口向下，
当时△PQC的面积最大，最大值为
∴
（3）解：当EF=BD时，如图
由（1）知：∠DEC＝90°，DE＝3，
∵EF＝BD＝6，
∴，
∴∠EBF＝∠BED，
∴BF∥DE，
∴∠BPC＝∠DEC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴BP＝BC＝×12＝6，
∴，
∴，
在Rt△EFP中，∠PEF＝∠BAC＝60°，
∴∠FEP＝30°，
∴PF＝EF＝×6＝3，
∴BF＝BP＋PF＝6＋3＝9，
∴S四边形BDEF＝；
当EF＝BE时，过点E作EG⊥BC于G，连接EO交BF于H，连接OB，OF，
在Rt△CEG中，，
在Rt△DEG中，∠DEG＝90° 60°＝30°，
∴，
∴，
在Rt△BEG中，，
∵∠F＝∠A＝60°，EF＝BE，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB＝OF，BE＝EF，
∴EH垂直平分BF，
∴，
∴S四边形BDEF＝；
当EF＝DE时，如图，过点E作EG⊥BC于G，EK⊥BF于K，
∵EF＝DE＝3，
∴，
∴∠EBG＝∠EBF，
∵EG⊥BC，EK⊥BF，
∴，
∵∠F＝∠A＝60°，∠EKF＝90°，
∴∠FEK＝30°，
∴，
∴，
∴S四边形BDEF＝；
∴ 四边形BDEF的面积为 或 或
28．如图1，已知的半径为5，弦，点C，D在优弧上（点B，C，D顺时针排列），，点F是上一动点，连接并延长，交弦的延长线于点E.
（1）求证：.
（2）如图2，连接，，.当与的某一个内角相等，且的长能确定时，求出所有满足条件的的长.
（3）如图3，当，时，连接，，交于点K，求面积与面积的比值.
【答案】（1）证明：在图1中，连接，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在图②中，
∵，
∴，，
故无论为何值，总有，不合题意；
当时，∵
∴，
∴，则是等腰三角形，
如下图，过A作于H，则，
延长交于P，连接，则为直径，
∴，又，，
∴，
由得：
，
∴；
当时，∵，
∴
∴，则，
∴，
综上，满足条件的的长为或；
（3）解：在图3中，连接，
∵，
∴为的直径，
∴，，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，则是等腰三角形，
∵，
∴，
在中，，
∴，
过点K作于M，则，又，
∴，
∴，即，
解得：，
∴.
29．如图1，已知是的直径，内接于， 点是一动点 （点不与点重合）．
（1）若， 连结， 求证：．
（2）在（1）的条件下，求的长．
（3）如图2，若平分，连结，求的面积．
（4）当为何值时，为等腰三角形？
【答案】（1）证明：如图1，连接BD交OC于H，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∵，
∴OC⊥BD，
∴∠BHO＝，
∴∠ADB＝∠BHO，
∴OC∥AD；
（2）解：∵AB＝10，BC＝6，
∴OC＝AO＝OB＝5，
∵∠BHO＝∠BHC＝，
∴＝，
∴＝，
∴OH＝1.4，
∵，
∴DH＝BH，
∴AD＝2OH＝2.8；
（3）解：连结BD，作AG⊥CD于点G，
∵AB是直径，
∴．
∵CD平分，
∴，
，
，，
，
，
，
∴．
（4）解：①当AC＝AD＝8时，△ACD为等腰三角形，
②当AC＝CD＝8时，△ACD为等腰三角形，
如图，过C作CF⊥AD于F，
∴AD＝2DF，∠CFD＝，
∵∠B＝∠D，∠CFD＝∠ACB＝，
∴△CDF∽△ABC，
∴，
∴，
∴DF＝，
∴AD＝；
③当AD＝CD时，△ACD为等腰三角形，
如图，当点D在优弧ADC时，连接DO并延长交AC于M，
则AM＝CM＝AC＝4，DM⊥AC，
∵AO＝BO，
∴OM＝BC＝3，
∴DM＝OM＋OD＝8，
，
当点D在劣弧AD时，同理可得AD＝，
综上所述，当AD为8或或或时，△ACD为等腰三角形．
30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB＝10，AE＝8，点P为AB上任意一点，（点P不与A、B重合），连结CP并延长与⊙O交于点Q，连结QD，PD，AD．
（1）求CD的长．
（2）若CP＝PQ，直接写出AP的长．
（3）①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP＝∠ADQ．
②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系．
【答案】（1）解：连接OD，如图：
∵直径AB=10，AE=8，
∴BE=AB-AE=2，
∴OE=OB-BE=5-2=3，
∵AB⊥CD，
∴CD=2ED，
在Rt△OED中，OD2=OE2+ED2，
∴，
∴CD=2ED=8.
（2）解：AP＝5或8.
（3）解：①证明：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE，
即AB是CD的垂直平分线，
∴AC=AD，PC=PD，
∵AP=AP，
∴△ACP≌△ADP（SSS），
∴∠ACP=∠ADP，
∵∠ACQ=∠ADQ，
∴∠ADP=∠ADQ；
②解：∠ADP+∠ADQ=180°，理由如下：
连接AC，如图：
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴CE=DE，
即AB是CD的垂直平分线，
∴AC=AD，PC=PD，
∵AP=AP，
∴△ACP≌△ADP（SSS），
∴∠ACP=∠ADP，
∵A、C、Q、P四点共圆，
∴∠ACP+∠ADQ=180°，
∴∠ADP+∠ADQ=180°.
【解析】（2）若CP＝PQ，则点P与点O重合，或点P与点E重合.∴AP＝5或8.
【分析】（1）根据题意可得OE=3；根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧可得CD=2ED；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出ED=4，即可求解；
（2）根据垂直定理及圆的性质即可求解；
（3）①连接AC，由垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧可可得AC=AD，PC=PD，利用三条边分别对应相等的两个三角形是全等三角形可证明△ACP≌△ADP，根据全等三角形的对应角相等得出∠ACP=∠ADP，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等得∠ACQ=∠ADQ，从而即可求解；
②连接AC，利用三条边分别对应相等的两个三角形是全等三角形可证明△ACP≌△ADP，根据全等三角形的对应角相等得出∠ACP=∠ADP，根据圆内接四边形的对角互补得∠ACP+∠ADQ=180°，从而即可求解.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【期中压轴题汇总（温州）】浙教版九年级上数学综合训练
一、选择题（本大题有10小题）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1． 已知抛物线y＝x2-2mx（-1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是（ ）
A．-3 B．-1 C．0 D．1
2．已知二次函数，当自变量x满足时，，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或3
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③a－b＋c＜0；④a＋b＞m(am＋b)（m≠1）；⑤若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．②⑤
4．如图，抛物线y＝x2 2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是AB，BM的中点，若△DEB与△ACD的面积比为9：10，则c的值为（ ）
A．- B．-2 C．- D．-3
5．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点G，正方形的边在x轴上，E，F在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，线段EG，FH分别平行于BC，AB，它们相交于点I，点M，N分别在线段FI，GI上，EI＝MI，HI＝NI，连接FN，GM，相交于点P．已知AE：AB＝AH：AD＝1：3，AB：BC＝5：6，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图放置，发现此时水面恰好触到容器口边缘，则图②中水面高度为（ ）
A． B． C． D．
8．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点P，Q分别为AB，GH的中点，若PQ恰好经过点F，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
9．已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD＝9，AD＝6，则的长为（ ）
A． B．3π C． D．
10．如图， 矩形中， 分别是边上的两个动点， 将沿着直线 作轴对称变换， 得到， 点恰好在边上， 过点作， 连结. 若时， 则（ ）
A．3 B．6 C． D．
二、填空题（本大题有10小题）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 如图，在正方形ABCD的右下角有一个正方形GICJ，以点G为顶点向左构造正方形EFGH，使点E，F分别落在边AB，BI上，当A，H，J三点共线时，则的值是 ．
12．如图是某路灯的示意图，立柱OE与水平地面垂直，两盏路灯挂在灯杆OE的异侧（灯臂AB，CD近似看作线段，AB、CD），AE⊥OE，∠ABO=∠DCO=120°．小丽（身高1.5米）站在点P处时，点F，D，E在同一直线上，向后移动4.5米到达点Q，点G，D，B，A在同一直线上．测得OP=6米，则OE= 米，AB= 米．
13．已知二次函数y1＝2x2-8x+3的图象与y轴交于点A，过点A的直线y2＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点P（m，n）在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为 ．
14．图1是一个瓷碗，图 2 是其截面图，碗体 DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 ；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液面宽度CH= ．
15．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D， 动点E在y轴上， 点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是 ．
16．如图，点P是线段AB上一动点（不包括端点），过点P作PQ⊥AB交以AB为直径的半圆O于点Q，连接AQ，过点P作PC∥AQ交该半圆于点C，连接CB．当△PCB是以PC为腰的等腰三角形时，为 ．
17．如图，A、B、C为⊙O上的点，OC∥AB，连接OA，BC交于点D，若AC=CD，OC=2，则AB的长为 ．
18．图1是郑州的网红打卡点 “戒指桥”， 其数学模型如图2所示． 线段是其中一条拉索， 点在圆上， 点是圆和水平桥面的交点． 小明测得， 且在 B点和点观测点的仰角均为， 则点到桥面的距离为 ， “戒指” 的半径为 ．
19．如图，已知半圆O，OB＝．点D在半圆上，AD＝10，在取点C，连结AC，作DH⊥AC于点H，连结BH，则BH的最小值等于 ．
20．在半径为5的圆内放置正方形ABCD，E为AB的中点，EF⊥AB交圆于点F，直线DC分别交圆于点G，H，如图所示．若AB＝4，EF＝DG＝CH，则GH的长为 ．
三、解答题（本题有10小题）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
21．如图， 在 中， ， 点 以每秒2个单位长度的速度从点 出发， 沿 方向向终点 匀速运动， 同时点Q以每秒1个単位长度的速度从点 出发， 沿 方向向终点 匀速运动， 连结 . 设运动的时间为 秒.
（1）求 的长 （用含 的代数式表示）.
（2）当 秒时， 求 的面积.
（3）①如图 2，连结 ，当 为直角三角形时，求所有满足条件 的值.
② 如图3，当点 关于 的对称点 落在直线 上时，求 的值.
22．如图，在矩形ABCD中，E为AD边中点，在BC延长线上任取一点N，过N作BE的中垂线，分别交AB，BE，CD于点F，H，G，延长FE交CD的延长线于点M．
（1）证明：△ABE∽△CNG．
（2）连接BG，当AB＝CN时，求∠EBG的度数．
（3）当BC＝CN时，的值为 ．（直接写出答案）
23．如图，已知抛物线y＝ax2﹣4ax交x轴于点A，与直线y＝ x交于点B（非原点），过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，BC＝6．
（1）求a的值．
（2）若P是线段BC上一点，过点P作x轴的垂线分别交直线OB与抛物线于E，F．求线段EF的最大值．
（3）若P是射线BC上一点，作点F关于直线BC的对称点G，连结PG，BG．是否存在△BPG与△PBE相似，若不存在请说明理由，若存在请求出点G的坐标．
24．已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C两点，且点A在点C的左侧，与y轴交于点B，连结AB．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移2m个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值；
（3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结PB ，过P作PQ//AB，与抛物线另一个交点为Q，M，N为AB上两点，且PM//y轴，QN//y轴，
①当△BPM为直角三角形时，求点P的坐标；
②是否存在点P使得PB 与 QN相互平分，若存在，求PQ的长，若不存在，说明理由．
25．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
26．抛物线与轴交于点和， 与轴交于点， 连接. 点是线段下方抛物线上的一个动点(不与点重合)， 过点作 轴的平行线交于， 交轴于， 设点的横坐标为.
（1）求该拋物线的解析式；
（2）用关于的代数式表示线段， 求的最大值及此时点的坐标；
（3）过点作于点，
①求点的坐标；
②连接， 在轴上是否存在点， 使得为直角三角形， 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由.
27．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点经过A，B，D的O交AC于E点．
（1）
求AE的长．
（2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y．
①求y关于x的表达式．
②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值．
（3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF的面积．
28．如图1，已知的半径为5，弦，点C，D在优弧上（点B，C，D顺时针排列），，点F是上一动点，连接并延长，交弦的延长线于点E.
（1）求证：.
（2）如图2，连接，，.当与的某一个内角相等，且的长能确定时，求出所有满足条件的的长.
（3）如图3，当，时，连接，，交于点K，求面积与面积的比值.
29．如图1，已知是的直径，内接于， 点是一动点 （点不与点重合）．
（1）若， 连结， 求证：．
（2）在（1）的条件下，求的长．
（3）如图2，若平分，连结，求的面积．
（4）当为何值时，为等腰三角形？
30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB＝10，AE＝8，点P为AB上任意一点，（点P不与A、B重合），连结CP并延长与⊙O交于点Q，连结QD，PD，AD．
（1）求CD的长．
（2）若CP＝PQ，直接写出AP的长．
（3）①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP＝∠ADQ．
②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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