湖南省岳阳市平江县2024年中考数学二模试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·平江二模）在，0，，2这四个实数中，最大的数是（ ）
A．0 B． C．2 D．
2．（2024·平江二模）根据有关部门测算，2024年春节假期7天，全国国内旅游出游251000000人次．数据251000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·平江二模）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·平江二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·平江二模）以下调查中，适合全面调查的是（ ）．
A．了解全国中学生的视力情况
B．检测“神舟十六号”飞船的零部件
C．检测台州的城市空气质量
D．调查某池塘中现有鱼的数量
6．（2024·平江二模）在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·平江二模）如图，在中，点D在边AB上，过点D作，交AC点E．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·平江二模）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与x轴没有交点 B．当时
C．函数图象关于原点成中心对称 D．y随x的增大而减小
9．（2024·平江二模）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·平江二模）已知二次函数（其中x是自变量），当时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2024·平江二模）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（2024·平江二模）分解因式： ．
13．（2024·平江二模）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是 ．
14．（2024·平江二模）如图，在中，，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若，则 ．
15．（2024·平江二模）如图，在四边形ABCD中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是 ．
16．（2024·平江二模）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 .
17．（2024·平江二模）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则乙组每天挖掘 m.
18．（2024·平江二模）如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是4和3，则重叠部分的四边形ABCD中的对角线BD的长是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第22-23题每小题9分，第25-26题10分）
19．（2024·平江二模）计算：
20．（2024·平江二模）已知，计算的值
21．（2024·平江二模）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息：
A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：
60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．
B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：
70，71，72，72，73．
两款智能玩具飞机运行最长时间统计表
类别 A B
平均数 70 70
中位数 71 b
众数 a 67
方差 30.4 26.6
（1）上述图表中 ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？
22．（2024·平江二模）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容 测量湖边A、B两处的距离
成员 组长：××× 组员：××××××××××××
测量工具 测角仪，皮尺等
测量示意图 说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得、、的度数．
测量数据 角的度数
边的长度 米
米
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在中，，． ▲ ．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段AB的长．（为减小结果的误差，若有需要，取1.41，取1.73，取2.45进行计算，最后结果保留整数．）
23．（2024·平江二模）已知为的直径，，C为上一点，连接．
（1）如图①，若C为的中点，求的大小和的长；
（2）如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．
24．（2024·平江二模）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表：
票的种类 A B C
购票人数（人） 100以上
票价（元） 50 45 40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
（1）求两个旅游团各有多少人？
（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
25．（2024·平江二模）综合与实践
【问题情境】：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知，，点E为AC上一动点，将以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
【独立思考】：小明：“当点D落在BC上时，．”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”
【实践探究】：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰中，，，由翻折得到．
（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：；
（2）如图2，若点E为AC中点，，，求BE的长．
【问题解决】：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰中，，，．若，则求BC的长．
26．（2024·平江二模）已知抛物线．
（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，-3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是第四象限内抛物线上一动点，过点P作轴于点H，与线段AB交于点M，作轴于点K，与线段AB交于点N，求的最大值
（2）如图②，直线与y轴交于点C，同时与抛物线交于点D（，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵2＞＞0＞-1，
∴在，0，-1，2这四个实数中，最大的数是2．
故答案为：C．
【分析】利用实数比较大小的方法求解即可。
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：251000000=2.51×108．
故答案为：A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数。
3．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：∵球的俯视图一个大圆，圆柱的俯视图也是一个小圆，
∴该几何体的俯视图是两个同心圆.
故答案为：C.
【分析】视线由上向下看所得的视图是俯视图，观察该几何体，即可作出判断.
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解①，得x≤2，
解②，得x＞-1．
所以原不等式组的解集为：-1＜x≤2．
故答案为：C．
【分析】先求出不等式①、 ② 的解集，再求不等组的解集，最后确定符合条件的选项。
5．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、 了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
B、检测“神舟十六号”飞船的零部件，适合全面调查，故此选项符合题意；
C、 检测台州的城市空气质量，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
D、 调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，据此判断即可.
6．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况，
∴能让红灯发光的概率为＝．
故答案为：A．
【分析】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件。注意概率=所求情况数与总情况数之比。首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让红灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案。
7．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴．
故答案为：A．
【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出，再代入AD=2，BD=3，AB=AD+BD，即可求出结论.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、因为由图象可知，图象与x轴没有交点，A说法正确；
B、由图象可知，当0＜x＜1时，y＜0，当x＞1时，y＞0，B说法错误；
C、由图象可知，图象关于点（1，0）成中心对称，C说法错误；
D、当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小，D说法错误；
故答案为：A．
【分析】根据函数图象，逐项分析判断即可。
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OB，
∵∠BOD=130°-25°=105°，
∴∠BAD=∠BOD=52.5°．
故答案为：C．
【分析】由图形求出∠BOD的度数，由圆周定理得到∠BAD=∠BOD。
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：令x=0，则y=3，
∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，3），
二次函数的对称轴是：x＝ ＝1，
当a＞0，Δ＜0时，满足当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，
∴Δ=（-2a）2-4 a×3＜0，
解得：a＜3，
∴0＜a＜3；
当a＜0时，令x=3，则9a-6a+3≥0，
解得：a≥-1，
∴-1≤a＜0，
综上，a的取值范围为-1≤a＜0或0＜a＜3．
故答案为：D．
【分析】先求出二次函数与y轴的交点和对称轴，然后分a＞0和a＜0讨论得出a的取值范围。
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，1-x≥0，
解得x≤1，
故答案为：x≤1．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”进行计算即可得。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2024（x2-2x+1）
=2024（x-1）2，
故答案为：2024（x-1）2．
【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可。
13．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，
三个正六边形，O为原点，
同理：
三点共线，
关于O对称，
故答案为：
【分析】延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，先求出，再证出关于O对称，可得。
14．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形AMEF是正方形，
又∵S正方形AMEF=16，
∴AM2=16，
∴AM=4，
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
∴AM＝BC，
即BC=2AM=8，
在Rt△ABC中，AB=4，
∴AC＝＝＝4，
∴S△ABC＝AB AC＝×4×4＝8，
故答案为：．
【分析】先根据正方形AMEF的面积求出AM的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC的长，最后根据勾股定理求出AC的长，然后即可求出直角三角形ABC的面积。
15．【答案】2
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题可得，DG是∠ADC的平分线．
∴∠ADG=∠CDG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠CGD，
∴∠CDG=∠CGD，
∴CG=CD=3，
∴BG=CB-CG=5-3=2．
故答案为：2．
【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到CG=CD，进而得到BG的长。
16．【答案】744
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），
∴第27行的最后一个数，即第27个数为，
∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即，
故答案为：744.
【分析】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n(n+1)，求出第27行的最后一个数，据此解答.
17．【答案】4
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：两组的工作效率和为：210÷30=7（m/天），
甲组的工作效率为：（300-210）÷（60-30）=3（m/天），
∴乙组的工作效率为：7-3=4（m/天），
即乙组每天挖掘4m.
故答案为：4．
【分析】根据两组合作30天共挖掘210m可得两组的工作效率和，再根据甲组单独工作30天挖掘了90m可得甲组的工作效率，进而得出乙组的工作效率，从而得出答案。
18．【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形AFCH为矩形，
∴AH∥FC，即AD∥BC，
∵四边形AECG为矩形，
∴AE∥GC，即AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵矩形AFCH和矩形AECG全等，
∴AF=CE，∠F=∠E=90°，
又∵∠ABF=∠CBE，
∴△AFB≌△CEB（AAS），
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
设BF=x，
∵FC=4，
∴BC=AB=4-x，
在Rt△AFB中，∠F=90°，AF=3，
∴由勾股定理得AB2=AF2+BF2，
∴（4-x）2=32+x2，
解得x=，
∴BC=，
在Rt△AFC中，AF=3，FC=4，
∴由勾股定理得，AC=＝＝5，
∴S菱形ABCD＝BC AF＝，
∴，
解得BD=，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质先证四边形ABCD是平行四边形，再证△AFB≌△CEB，得出AB=BC，于是得出四边形ABCD是菱形，利用勾股定理求出BF、BC、AC的长，最后根据菱形的面积公式计算即可求出BD的长.
19．【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据负指数幂、特殊角三角函数值、零指数幂、立方根计算即可。
20．【答案】解：
，
∵，
∴，
∴原式，
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用分式的混合运算法则将()÷化简为，再根据题意得到x2=x+1，将x2=x+1代入化简后的式子求解.
21．【答案】（1）72；70.5；10
（2）解：A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：
虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；
（3）解：（架），
答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数a=72，
把B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，故中位数b==70.5，
m%=1-50%-40%=10%，即m=10．
故答案为：72，70.5，10；
【分析】（1）根据众数的定义可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，用“1”减去其他两组所占百分百可得m的值；
（2）可比较中位数，众数与方差得出结论；
（3）利用样本估计总体可求解。
22．【答案】解：若选择的条件是：米，
过点C作，垂足为D，
在中，，米，
∴（米），
（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
∴线段AB的长约为77米；
若选择的条件是：米，
过点C作，垂足为D，
在中，，米，
∴（米），
（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
∴线段AB的长约为77米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】若选择的条件是：BC=40.0米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，先在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，CD的长，然后在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
若选择的条件是：AC=56.4米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD和CD的长，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答。
23．【答案】（1）解：∵为的直径，
∴，
由C为的中点，得，
∴，得，
在中，，
∴；
根据勾股定理，有，
又，得，
∴；
（2）解：∵是的切线，
∴，即，
∵，垂足为E，
∴，
同（1）可得，有，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，于是，
在中，由，得，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先证明，再利用勾股定理可得，再结合可得，最后求出；
（2）先证明四边形为矩形，可得，于是，再利用勾股定理求出CB的长，即可得到FD的长。
24．【答案】（1）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，
根据题意得：，
解得：．
答：甲旅游团有58人，乙旅游团有44人；
（2）设游客人数为m人，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为46．
答：当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】（1）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，分51＜x≤100及x＞100两种情况考虑，根据“甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设游客人数为m人，根据购买B种门票比购买A种门票节省，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论。
25．【答案】（1）∵等腰中，，，由翻折得到
∴，，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，连接AD，交BE于点F，
∵折叠，
∴，，，，
∵E是AC的中点，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
问题2：如图所示，连接AD，过点B作于点M，
过点C作于点G，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形CGMD是矩形，
则，
在中，，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；观察与实验
【解析】【分析】问题1：（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，由折叠的性质和三角形内角和定理可得∠A=∠BDE=180°-2∠C，由邻补角的性质可得结论；
（2）由三角形中位线定理可得CD=2EF，由勾股定理可求AF，BF，即可求解；
问题2：先证四边形CGMD是矩形，由勾股定理可求AD，由等腰三角形的性质可求MD，CG，即可求解。
26．【答案】（1）解：（Ⅰ）由题意得，
，
∴，
∴；
（Ⅱ）∵B（0，），A（3，0），
∴直线AB的解析式为：，
设点P（m，），M（m，），
∴
∵B（0，），A（3，0），
∴
∴
∵轴，轴
∴
∴
∴
∴当时，有最大值，其最大值为
（2）解：如图1，
∵抛物线过点D（，0），
∴，
∴，
∴，
把，代入得，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵四边形CDFE是菱形，
∴，
∴E（5，4），
当时，即时，
当时，，
∴G（0，），
∵该抛物线与线段CE没有交点，
∴，
∴，
当时，
当x=5时，，
∴H（5，），
∵抛物线与CE没有交点，
∴，
∴，
综上所述：或．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）（Ⅰ）利用待定系数法求解析式即可解答；
（Ⅱ）设点P（m，m2-2m-3），M（m，m-3），求出PM，P表示出PM+PN，即可解答；
（2）求出OC、CD的值，根据题意求出E点坐标，分两种情况：当 ＜0时，即b＞0时，表示出G点坐标，根据该抛物线与线段CE没有交点，则G的纵坐标大于4，求出b的取值范围；当b＜0时，表示出点H坐标，根据该抛物线与线段CE没有交点，则H的纵坐标小于4，求出b的取值范围，即可解答。
湖南省岳阳市平江县2024年中考数学二模试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·平江二模）在，0，，2这四个实数中，最大的数是（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵2＞＞0＞-1，
∴在，0，-1，2这四个实数中，最大的数是2．
故答案为：C．
【分析】利用实数比较大小的方法求解即可。
2．（2024·平江二模）根据有关部门测算，2024年春节假期7天，全国国内旅游出游251000000人次．数据251000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：251000000=2.51×108．
故答案为：A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数。
3．（2024·平江二模）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：∵球的俯视图一个大圆，圆柱的俯视图也是一个小圆，
∴该几何体的俯视图是两个同心圆.
故答案为：C.
【分析】视线由上向下看所得的视图是俯视图，观察该几何体，即可作出判断.
4．（2024·平江二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解①，得x≤2，
解②，得x＞-1．
所以原不等式组的解集为：-1＜x≤2．
故答案为：C．
【分析】先求出不等式①、 ② 的解集，再求不等组的解集，最后确定符合条件的选项。
5．（2024·平江二模）以下调查中，适合全面调查的是（ ）．
A．了解全国中学生的视力情况
B．检测“神舟十六号”飞船的零部件
C．检测台州的城市空气质量
D．调查某池塘中现有鱼的数量
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、 了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
B、检测“神舟十六号”飞船的零部件，适合全面调查，故此选项符合题意；
C、 检测台州的城市空气质量，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
D、 调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，据此判断即可.
6．（2024·平江二模）在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况，
∴能让红灯发光的概率为＝．
故答案为：A．
【分析】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件。注意概率=所求情况数与总情况数之比。首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让红灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案。
7．（2024·平江二模）如图，在中，点D在边AB上，过点D作，交AC点E．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴．
故答案为：A．
【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出，再代入AD=2，BD=3，AB=AD+BD，即可求出结论.
8．（2024·平江二模）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与x轴没有交点 B．当时
C．函数图象关于原点成中心对称 D．y随x的增大而减小
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、因为由图象可知，图象与x轴没有交点，A说法正确；
B、由图象可知，当0＜x＜1时，y＜0，当x＞1时，y＞0，B说法错误；
C、由图象可知，图象关于点（1，0）成中心对称，C说法错误；
D、当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小，D说法错误；
故答案为：A．
【分析】根据函数图象，逐项分析判断即可。
9．（2024·平江二模）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OB，
∵∠BOD=130°-25°=105°，
∴∠BAD=∠BOD=52.5°．
故答案为：C．
【分析】由图形求出∠BOD的度数，由圆周定理得到∠BAD=∠BOD。
10．（2024·平江二模）已知二次函数（其中x是自变量），当时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：令x=0，则y=3，
∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，3），
二次函数的对称轴是：x＝ ＝1，
当a＞0，Δ＜0时，满足当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，
∴Δ=（-2a）2-4 a×3＜0，
解得：a＜3，
∴0＜a＜3；
当a＜0时，令x=3，则9a-6a+3≥0，
解得：a≥-1，
∴-1≤a＜0，
综上，a的取值范围为-1≤a＜0或0＜a＜3．
故答案为：D．
【分析】先求出二次函数与y轴的交点和对称轴，然后分a＞0和a＜0讨论得出a的取值范围。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2024·平江二模）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，1-x≥0，
解得x≤1，
故答案为：x≤1．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”进行计算即可得。
12．（2024·平江二模）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2024（x2-2x+1）
=2024（x-1）2，
故答案为：2024（x-1）2．
【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可。
13．（2024·平江二模）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，
三个正六边形，O为原点，
同理：
三点共线，
关于O对称，
故答案为：
【分析】延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，先求出，再证出关于O对称，可得。
14．（2024·平江二模）如图，在中，，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形AMEF是正方形，
又∵S正方形AMEF=16，
∴AM2=16，
∴AM=4，
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
∴AM＝BC，
即BC=2AM=8，
在Rt△ABC中，AB=4，
∴AC＝＝＝4，
∴S△ABC＝AB AC＝×4×4＝8，
故答案为：．
【分析】先根据正方形AMEF的面积求出AM的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC的长，最后根据勾股定理求出AC的长，然后即可求出直角三角形ABC的面积。
15．（2024·平江二模）如图，在四边形ABCD中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是 ．
【答案】2
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题可得，DG是∠ADC的平分线．
∴∠ADG=∠CDG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠CGD，
∴∠CDG=∠CGD，
∴CG=CD=3，
∴BG=CB-CG=5-3=2．
故答案为：2．
【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到CG=CD，进而得到BG的长。
16．（2024·平江二模）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 .
【答案】744
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），
∴第27行的最后一个数，即第27个数为，
∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即，
故答案为：744.
【分析】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n(n+1)，求出第27行的最后一个数，据此解答.
17．（2024·平江二模）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则乙组每天挖掘 m.
【答案】4
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：两组的工作效率和为：210÷30=7（m/天），
甲组的工作效率为：（300-210）÷（60-30）=3（m/天），
∴乙组的工作效率为：7-3=4（m/天），
即乙组每天挖掘4m.
故答案为：4．
【分析】根据两组合作30天共挖掘210m可得两组的工作效率和，再根据甲组单独工作30天挖掘了90m可得甲组的工作效率，进而得出乙组的工作效率，从而得出答案。
18．（2024·平江二模）如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是4和3，则重叠部分的四边形ABCD中的对角线BD的长是 ．
【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形AFCH为矩形，
∴AH∥FC，即AD∥BC，
∵四边形AECG为矩形，
∴AE∥GC，即AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵矩形AFCH和矩形AECG全等，
∴AF=CE，∠F=∠E=90°，
又∵∠ABF=∠CBE，
∴△AFB≌△CEB（AAS），
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
设BF=x，
∵FC=4，
∴BC=AB=4-x，
在Rt△AFB中，∠F=90°，AF=3，
∴由勾股定理得AB2=AF2+BF2，
∴（4-x）2=32+x2，
解得x=，
∴BC=，
在Rt△AFC中，AF=3，FC=4，
∴由勾股定理得，AC=＝＝5，
∴S菱形ABCD＝BC AF＝，
∴，
解得BD=，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质先证四边形ABCD是平行四边形，再证△AFB≌△CEB，得出AB=BC，于是得出四边形ABCD是菱形，利用勾股定理求出BF、BC、AC的长，最后根据菱形的面积公式计算即可求出BD的长.
三、解答题（本大题共8小题，共66分，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第22-23题每小题9分，第25-26题10分）
19．（2024·平江二模）计算：
【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据负指数幂、特殊角三角函数值、零指数幂、立方根计算即可。
20．（2024·平江二模）已知，计算的值
【答案】解：
，
∵，
∴，
∴原式，
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用分式的混合运算法则将()÷化简为，再根据题意得到x2=x+1，将x2=x+1代入化简后的式子求解.
21．（2024·平江二模）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息：
A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：
60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．
B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：
70，71，72，72，73．
两款智能玩具飞机运行最长时间统计表
类别 A B
平均数 70 70
中位数 71 b
众数 a 67
方差 30.4 26.6
（1）上述图表中 ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？
【答案】（1）72；70.5；10
（2）解：A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：
虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；
（3）解：（架），
答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数a=72，
把B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，故中位数b==70.5，
m%=1-50%-40%=10%，即m=10．
故答案为：72，70.5，10；
【分析】（1）根据众数的定义可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，用“1”减去其他两组所占百分百可得m的值；
（2）可比较中位数，众数与方差得出结论；
（3）利用样本估计总体可求解。
22．（2024·平江二模）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容 测量湖边A、B两处的距离
成员 组长：××× 组员：××××××××××××
测量工具 测角仪，皮尺等
测量示意图 说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得、、的度数．
测量数据 角的度数
边的长度 米
米
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在中，，． ▲ ．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段AB的长．（为减小结果的误差，若有需要，取1.41，取1.73，取2.45进行计算，最后结果保留整数．）
【答案】解：若选择的条件是：米，
过点C作，垂足为D，
在中，，米，
∴（米），
（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
∴线段AB的长约为77米；
若选择的条件是：米，
过点C作，垂足为D，
在中，，米，
∴（米），
（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
∴线段AB的长约为77米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】若选择的条件是：BC=40.0米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，先在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，CD的长，然后在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
若选择的条件是：AC=56.4米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD和CD的长，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答。
23．（2024·平江二模）已知为的直径，，C为上一点，连接．
（1）如图①，若C为的中点，求的大小和的长；
（2）如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．
【答案】（1）解：∵为的直径，
∴，
由C为的中点，得，
∴，得，
在中，，
∴；
根据勾股定理，有，
又，得，
∴；
（2）解：∵是的切线，
∴，即，
∵，垂足为E，
∴，
同（1）可得，有，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，于是，
在中，由，得，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先证明，再利用勾股定理可得，再结合可得，最后求出；
（2）先证明四边形为矩形，可得，于是，再利用勾股定理求出CB的长，即可得到FD的长。
24．（2024·平江二模）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表：
票的种类 A B C
购票人数（人） 100以上
票价（元） 50 45 40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
（1）求两个旅游团各有多少人？
（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
【答案】（1）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，
根据题意得：，
解得：．
答：甲旅游团有58人，乙旅游团有44人；
（2）设游客人数为m人，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为46．
答：当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】（1）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，分51＜x≤100及x＞100两种情况考虑，根据“甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设游客人数为m人，根据购买B种门票比购买A种门票节省，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论。
25．（2024·平江二模）综合与实践
【问题情境】：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知，，点E为AC上一动点，将以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
【独立思考】：小明：“当点D落在BC上时，．”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”
【实践探究】：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰中，，，由翻折得到．
（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：；
（2）如图2，若点E为AC中点，，，求BE的长．
【问题解决】：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰中，，，．若，则求BC的长．
【答案】（1）∵等腰中，，，由翻折得到
∴，，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，连接AD，交BE于点F，
∵折叠，
∴，，，，
∵E是AC的中点，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
问题2：如图所示，连接AD，过点B作于点M，
过点C作于点G，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形CGMD是矩形，
则，
在中，，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；观察与实验
【解析】【分析】问题1：（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，由折叠的性质和三角形内角和定理可得∠A=∠BDE=180°-2∠C，由邻补角的性质可得结论；
（2）由三角形中位线定理可得CD=2EF，由勾股定理可求AF，BF，即可求解；
问题2：先证四边形CGMD是矩形，由勾股定理可求AD，由等腰三角形的性质可求MD，CG，即可求解。
26．（2024·平江二模）已知抛物线．
（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，-3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是第四象限内抛物线上一动点，过点P作轴于点H，与线段AB交于点M，作轴于点K，与线段AB交于点N，求的最大值
（2）如图②，直线与y轴交于点C，同时与抛物线交于点D（，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．
【答案】（1）解：（Ⅰ）由题意得，
，
∴，
∴；
（Ⅱ）∵B（0，），A（3，0），
∴直线AB的解析式为：，
设点P（m，），M（m，），
∴
∵B（0，），A（3，0），
∴
∴
∵轴，轴
∴
∴
∴
∴当时，有最大值，其最大值为
（2）解：如图1，
∵抛物线过点D（，0），
∴，
∴，
∴，
把，代入得，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵四边形CDFE是菱形，
∴，
∴E（5，4），
当时，即时，
当时，，
∴G（0，），
∵该抛物线与线段CE没有交点，
∴，
∴，
当时，
当x=5时，，
∴H（5，），
∵抛物线与CE没有交点，
∴，
∴，
综上所述：或．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）（Ⅰ）利用待定系数法求解析式即可解答；
（Ⅱ）设点P（m，m2-2m-3），M（m，m-3），求出PM，P表示出PM+PN，即可解答；
（2）求出OC、CD的值，根据题意求出E点坐标，分两种情况：当 ＜0时，即b＞0时，表示出G点坐标，根据该抛物线与线段CE没有交点，则G的纵坐标大于4，求出b的取值范围；当b＜0时，表示出点H坐标，根据该抛物线与线段CE没有交点，则H的纵坐标小于4，求出b的取值范围，即可解答。
