1.2定义 命题与证明同步练习
1．下列语句中，不是命题的是（ ）
A．钝角大于直角
B．三个角对应相等的两个三角形全等
C．过点A作直线l的垂线，垂足为B
D．若一个三角形的三边a，b，c满足，那么该三角形是直角三角形
2．下列四个命题：①同角的补角相等；②互为邻补角的两个角相等；③一个负实数的绝对值是它的相反数；④平行于同一条直线的两直线互相垂直．其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
3．下列推理中，错误的是( )
A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD
B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ
C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c
D．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF
4．下列句子，是命题的是（ ）
A．今天的空气好清新 B．年月日，神舟十二号发射升空
C．作一条长为 的线段 D．同旁内角互补
5．下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．同位角相等，两直线平行
C．若，，则 D．同旁内角互补
6．举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，错误的是（ ）
A．设这个角是，它的余角是，但 B．设这个角是，它的余角是，但
C．设这个角是，它的余角是，但 D．设这个角是，它的余角是，但
7．下列说法中正确的个数是（ ）
①如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题
②如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
④同旁内角互补
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．和能作为反例说明“同位角相等”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
9．当 ， 时，可以说明“若，则”是假命题（写出一组，的值即可）．
10．命题“同旁内角互补”的题设是 ，结论是 ，这是一个 命题（填“真”或“假”）．
11．（1）命题是由 和 两部分组成.
（2）命题的题设是 事项，结论是由 推出的事项.
12．“内错角相等”是 命题．（填“真”、“假”）
13．“如果a是无理数，b是无理数，那么a与b之积仍是无理数”是 （填“真”或“假”）命题．
14．请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假．
(1)如果两个角是直角，那么这两个角相等；
(2)绝对值相等的两个数相等；
(3)两个钝角的和一定大于．
15．如图，有下列三个条件：①，②，③．
(1)从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题；
(2)从（1）中选择一个真命题，并证明．
16．已知：如图，于点C，于点D，．求证：．
17．已知：如图，在中，．D，E分别是AB，AC上的点，且．求证：．
答案解析
1．下列语句中，不是命题的是（ ）
A．钝角大于直角
B．三个角对应相等的两个三角形全等
C．过点A作直线l的垂线，垂足为B
D．若一个三角形的三边a，b，c满足，那么该三角形是直角三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查了命题的定义，根据命题的定义进行判断即可．
【详解】解：A．钝角大于直角是命题，故A不符合题意；
B．三个角对应相等的两个三角形全等，是命题，故B不符合题意；
C．过点A作直线l的垂线，垂足为B，不是命题，故C符合题意；
D．若一个三角形的三边a，b，c满足，那么该三角形是直角三角形，是命题，故C不符合题意．
故选：C．
2．下列四个命题：①同角的补角相等；②互为邻补角的两个角相等；③一个负实数的绝对值是它的相反数；④平行于同一条直线的两直线互相垂直．其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
【答案】A
【分析】本题主要考查了补角的性质，邻补角的定义，绝对值意义，平行线公理，解题的关键是熟练掌握相关的定义，根据相关的定义和性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：①同角的补角相等，正确，是真命题；
②互为邻补角的两个角不一定相等，错误，是假命题；
③一个负实数的绝对值是它的相反数，正确，是真命题；
④平行于同一条直线的两条直线互相平行，错误，是假命题．
综上分析可知：真命题是①③．
故选：A．
3．下列推理中，错误的是( )
A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD
B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ
C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c
D．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF
【答案】A
【分析】根据相关的定义或定理判断．
【详解】解：A、AB⊥EF，EF⊥CD，答案不确定，有多个答案，AB可能与CD平行，也可能垂直，在空间中也可能异面等，故A选项错误；
B、由∠α=∠β，∠β=∠γ，根据角的等量代换可知，∠α=∠γ，故B选项正确；
C、由a∥b，b∥c，根据平行线的平行的传递性可知a∥c，故C选项正确；
D、根据线段长度的等量代换可知AB=EF，易知D选项正确；
综上所述，答案选A．
【点睛】主要考查学生对平行公理及推论的运用，注意等量代换的应用．
4．下列句子，是命题的是（ ）
A．今天的空气好清新 B．年月日，神舟十二号发射升空
C．作一条长为 的线段 D．同旁内角互补
【答案】D
【分析】本题考查命题的判断，熟知命题的定义：判断一件事情的句子叫做命题，数学中的命题常可以写成：如果…，那么…，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、今天的空气好清新，没有作出判断，不是命题，不符合题意；
B、年月日，神舟十二号发射升空，没有作出判断，不是命题，不符合题意；
C、作一条长为 的线段，没有作出判断，不是命题，不符合题意；
D、同旁内角互补，作出判断，是命题，符合题意；
故选：D．
5．下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．同位角相等，两直线平行
C．若，，则 D．同旁内角互补
【答案】B
【分析】本题考查了平行线、对顶角、垂线及内错角等知识．利用平行线的性质、对顶角的定义、垂线的性质及平行的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行，故原说法正确，是真命题，符合题意；
C、在同一平面内的3条直线，，，若，，则，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
故选：B．
6．举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，错误的是（ ）
A．设这个角是，它的余角是，但 B．设这个角是，它的余角是，但
C．设这个角是，它的余角是，但 D．设这个角是，它的余角是，但
【答案】B
【分析】本题主要考查了反例的含义．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子；由此可判断出正确的选项．
【详解】解：A、所设的角与它的余角相等，和原结论相符合，故A选项正确；
B、所设的角小于它的余角，和原结论相反，故B选项错误；
C、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故C选项正确；
D、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故D选项正确．
故选：B．
7．下列说法中正确的个数是（ ）
①如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题
②如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
④同旁内角互补
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据真假命题的定义，平行公理，平行线的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：①如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题，正确；
②如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条，正确；
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确；
④两直线平行，同旁内角互补，原说法不正确；
综上所述：正确的有①②③，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了真假命题的定义，平行公理，平行线的性质，是基础题，熟记性质与概念是解题的关键．
8．和能作为反例说明“同位角相等”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理，掌握举反例时，需要满足命题的条件，但不满足命题的结论是解题的关键．
举出反例说明，满足命题的条件，不满足命题的结论即可得出答案．
【详解】A.两直线不平行，同位角不相等，可以作为反例说明“同位角相等”是假命题，符合题意；
B.和不是同位角，不符合题意；
C.和不是同位角，不符合题意；
D.两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意；
故选A．
9．当 ， 时，可以说明“若，则”是假命题（写出一组，的值即可）．
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】本题考查了举例说明命题的真假，由当，时，得出，但，，即，即可得解．
【详解】解：当，时，，但，，即，
故当，时，可以说明“若，则”是假命题，
故答案为：，（答案不唯一）．
10．命题“同旁内角互补”的题设是 ，结论是 ，这是一个 命题（填“真”或“假”）．
【答案】 两个角是同旁内角 这两个角互补 假
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
【详解】解：命题中，已知的事项是“两个角是同旁内角”， 由已知事项推出的事项是“这两个角互补”，所以“两个角是同旁内角”是命题的题设部分，“这两个角互补”是命题的结论部分，这是一个假命题，
故答案为：两个角是同旁内角，这两个角互补，假．
11．（1）命题是由 和 两部分组成.
（2）命题的题设是 事项，结论是由 推出的事项.
【答案】 题设 结论 已知 已知事项
【分析】根据命题的定义可得：命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论，其中题设是已知事项，结论是由已知事项推导出的事项.
【详解】根据命题的定义可得：
（1）命题是由题设和结论两部分组成.
（2）命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
故答案是：题设，结论， 已知，已知事项.
【点睛】考查了命题的定义的理解：命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论，其中题设是已知事项，结论是由已知事项推导出的事项.
12．“内错角相等”是 命题．（填“真”、“假”）
【答案】假
【分析】本题考查了判定命题的真假，两直线平行，内错角相等．熟练掌握两直线平行，内错角相等，错误的命题是假命题是解题的关键．
根据两直线平行，内错角相等进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，两直线平行，内错角相等，
∴“内错角相等”是假命题，
故答案为：假．
13．“如果a是无理数，b是无理数，那么a与b之积仍是无理数”是 （填“真”或“假”）命题．
【答案】假
【分析】根据无理数的乘法法则计算，判断即可．本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【详解】解：当，时，，而是有理数，
所以如果是无理数，是无理数，那么与b之积仍是无理数是假命题．
故答案为：假．
14．请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假．
(1)如果两个角是直角，那么这两个角相等；
(2)绝对值相等的两个数相等；
(3)两个钝角的和一定大于．
【答案】(1)条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；真命题
(2)条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；假命题
(3)条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；真命题
【分析】本题考查命题的真假性，熟知相关概念是解题的关键．
（1）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可；
（2）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可；
（3）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可．
【详解】（1）解：条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；
直角为，故原命题是真命题；
（2）解：条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；
绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题；
（3）解：条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；
钝角大于，故两个钝角的和一定大于，故原命题是真命题．
15．如图，有下列三个条件：①，②，③．
(1)从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题；
(2)从（1）中选择一个真命题，并证明．
【答案】(1)可以组成三个命题，①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么．
(2)见解析
【分析】（1）依据题意，一共能组成3个命题；
（2）选择命题①如果，，那么；可根据“同旁内角互补，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”来写出证明过程即可．
【详解】（1）解：可以组成三个命题，
①如果，，那么；
②如果，，那么；
③如果，，那么；
（2）选择命题①如果，，那么；
证明如下：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；故要求一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
16．已知：如图，于点C，于点D，．求证：．
【答案】见详解
【分析】根据垂直的定义得到，等量代换可得，再根据平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定，余角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
17．已知：如图，在中，．D，E分别是AB，AC上的点，且．求证：．
【答案】见详解
【分析】根据三角形内角和定理可得==，进而即可得到结论．
【详解】证明：∵在中，，，
∴==，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，平行线的判定，掌握三角形内角和定理是关键．
