第二十一章 一元二次方程
一、选择题
1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．关于的一元二次方程的一个根是0，则实数a的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．关于x的一元二次方程无实数解，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．某蔬菜种植基地2020年蔬菜产量为40吨，预计2022年蔬菜产量比2021年增加20吨．若蔬菜产量的年平均增长率为x，则下面所列的方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．1 B． C． D．
8．若，是方程的两个根，则（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
二、填空题
9．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
10．用配方法将方程变形为，则 ．
11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若此方程的两根均为正整数，则正整数m的值为 ．
12．如果关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值是 ．
13．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个．
三、计算题
14．用适当的方法解方程：
（1）.
（2）.
四、解答题
15．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2+1=1．
（1）若m是方程的一个实数根，求m的值；
（2）若m为负数，判断方程根的情况．
16．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
17． 某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
18．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．
（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
参考答案
1．D
2．D
3．A
4．A
5．B
6．A
7．C
8．B
9．
10．6
11．1
12．
13．9
14．（1）解：，
，
则或，
解得，，
所以，原方程的解为，；
（2）解：
，
则，
或，
解得，.
所以，原方程的解为，.
15．（1）解：∵m是方程的一个实数根，
∴m2-（2m-3）m+m2+1=1，
∴m＝
（2）解：△=b2-4ac=-12m+5，
∵m＜0，
∴-12m＞0．
∴△=-12m+5＞0．
∴此方程有两个不相等的实数根.
16．（1）证明：，
无论m取何值，，恒成立，
无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：，是方程的两个实数根，
，，
∵，
∴
解得：或.
17．（1）解：设每次降价的百分率为a，则两次降价后的百分率为，
或（舍去），
答：每次下降的百分率为；
（2）解：设每千克涨价x元，
依题意得：
解得：，，
要尽快减少库存，
则，
答：每千克应涨价5元，
18．（1）解：设垂直于墙的一面长为x米，平行于墙的一面长为(26＋2－2x)米，由题意，得
x(26＋2－2x)＝80，
整理，得x2－14x＋40＝0，
解得x1＝4，x2＝10.
当x1＝4时，26＋2－2x＝28－8＝20>12，不合题意，舍去；
当x2＝10时，26＋2－2x＝28－20＝8<12，符合题意．
答：垂直于墙的一面长为10米，平行于墙的一面长为8米
（2）解：设小路的宽度为a米，由题意，得
(10－a)(8－2a)＝54.
整理，得a2－14a＋13＝0，
解得a1＝13，a2＝1.
经检验：a2＝1符合题意．
答：小路的宽度为1米
