2023-2024 学年度高二下期末监测试题
数学学科试题卷
注意事项：
1. 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 请考生用 2B 铅笔填涂选择题，并用 0.5mm 的黑色签字笔在答题卡的矩形边框内书写，字迹要工
整，清晰，超出答题区域的答案一律无效。
3. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（58 分）
一，单项选择题。（每题 5 分，共 8 题，共 40 分）
1．若集合 A {y | y x 1， x N}， B {z | z x 2y ， x ， y N}，则 ( )
A． A N B． A B N C． B N D． A B N
2．若 z1 2 i ， z2 3 i ，则 z1z2 ( )
A． 7 i B． 7 i C．5 i D．5 i
3．若 a (2,1),b ( 4,2),c (2,k) c ， / /b ，则 a 在 c 方向上的投影向量为 ( )
A (6 , 3) B ( 6 , 3) C ( 6 , 3 6 3． ． ． ) D． ( , )
5 5 5 5 5 5 5 5
4．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l : ax by 1上有且仅有一点 P ，使 | OP | 2，则直线 l 被圆C : x2 y2 16
截得的弦长为 ( )
A．2 B． 2 3 C．4 D． 4 3
5．函数 f (x) A tan( x 13 )( 0， | | )的部分图象如图所示，则 f ( ) ( )
2 12
A．1 B． 3 C．3 D．3 3
{#{QQABQSYUSpA5ogIi4ogAJIaJAACQS4gKCBAQGHa6CEUAsQkIAGjLCcgCEYAgUGAgAFAKAIQAjAwBZQNIQFNIAA=B}#A}A=}#}
6．已知集合 A { 4, 3, 2, 1 , 1 , 1 ,2,3}，若 a，b ， c A 且互不相等，则使得指数函数 y a x ，对数函数
2 3 4
y logb x ，幂函数 y x
c 中至少有两个函数在 (0, )上单调递减的有序数对 (a ，b ， c)的个数是 ( )
A．36 B．42 C．72 D．84
7．对于函数 f (x) x3 bx2 cx d ，若系数b ， c ， d 可以发生改变，则改变后对函数 f (x) 的单调性没有
影响的是 ( )
A．b B． c C． d D．b ， c
8 x
2
．已知椭圆 y2 1，作垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A， B 两点，作垂直于 y 轴的直线交椭圆于C ， D
4
两点，且 | AB | | CD | ，两垂线相交于点 P ，若点 P 的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是 ( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
二，不定项选择题。（每题 6 分，共 3 题，共 18 分，全选对 6 分，选对但不全得部分分，有选错 0 分）
9．某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法抽取足够样本后对
治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表后，经计算得到 2 4.881，则可以认为 ( )
A．根据小概率值 0.05 的独立性检验（已知 2 独立性检验中 x0.05 3.841)，两种疗法的效果没有差异 B
．根据小概率值 0.05 的独立性检验（已知 2 独立性检验中 x0.05 3.841)，两种疗法的效果存在差异 C．
根据小概率值 0.005 的独立性检验（已知 2 独立性检验中 x0.005 7.879)，两种疗法的效果没有差异
D．根据小概率值 0.005 的独立性检验（已知 2 独立性检验中 x0.005 7.879)，两种疗法的效果存在差异
10．已知函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 在 x 1处取到极大值 1，则以下结论正确的是 ( )
A．3a 2b c 0 B． d 2a b 1 C．b 3a D．b 3a
11．已知函数 f (x) sin( x )( 0,0 ) 的部分图象如图 1 所示， A、 B 分别为图象的最高点和
2
最低点，过 A作 x 轴的垂线，交 x 轴于 A ，点C 为该部分图象与 x 轴的交点．将绘有该图象的纸片沿 x 轴
折成直二面角，如图 2 所示，此时 | AB | 10 ，则下列四个结论正确的有 ( )
{#{QQABSQYUSpA5ogIi4ogAJIJaAACQS4gKCBAQGHa6CEUAsQkIAGjLCcgCEYAgUGAgAFAKAIQAjAwBZQNIQFNIAA=B}#A}A=}#}
A． 3
B．
3
C．图 2 中， AB AC 5
D．图 2 中， S 是△ A BC 及其内部的点构成的集合．设集合T= { Q∈ S| | AQ| 2} ，则T 表示的区域的
面积大于
4
第 II 卷 非选择题（92 分）
三，填空题。（每题 5 分，共 15 分）
12．在 ABC 中，角 A， B ，C 的对边分别为 a，b ， c ，已知 sin A 2sin B， c2 b2 ab ，则C ．
13．在 (ax 1)(2x 1)3的展开式中，若各项系数和为 0，则 a ．
14．已知编号为 1，2，3 的三个盒子，其中 1 号盒子内装有两个 1 号球，一个 2 号球和一个 3 号球；2 号
盒子内装有两个 1 号球，一个 3 号球；3 号盒子内装有三个 1 号球，两个 2 号球．若第一次先从 1 号盒子
内随机抽取 1 个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二
次抽到 3 号球的概率为 ．
四，解答题。（15 题 13 分，16～17 题每题 15 分，18～19 题每题 17 分）
15 3 a 1 1．已知数列{an}满足 a1 ， n 1 ． 2 an n 2
（1）证明：数列{an n}为等比数列；
（2）在 an 与 an 1之间插入 n个数，使这 n 2个数组成一个公差为 d ，的等差数列，令 cn (n 1)(dn 1) ，
求数列{cn}的前 n项和 Sn ．
16 2 4a．已知 a R ，函数 f (x) 2e2x 4aex 9， g(x) 4a2 ．
x x
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）证明： x 0， f (x) g(x) 0 ．
17．如图，三棱台 ABC A1B1C1 中， ABC 是边长为 2 的等边三角形，四边形 ACC1A1是等腰梯形，且
A1C1 AA1 1， D 为 A1C1 的中点．
{#{QQABQSYUSpA5ogIi4ogAJIaJAACQS4gCKBAQGHa6CEUAsQkIAGjLCcgCEYAgUGAgAFAKAIQAjAwBZQNIQFNIAA=B}#A}A=}#}
（Ⅰ）证明： AC BD ；
9 3
（Ⅱ）若过 B ， B1， D 三点的平面截三棱台 ABC A1B1C1 所得的截面面积为 ．当二面角 A AC B16 1
为锐二面角时，求二面角 B1 BC A 的正弦值．
18．如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶
点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的
初始位置位于点 A处，记点Q移动 n次后仍在底面 ABCD 上的概率为 Pn ．
（1）求 P2 ；
n
（2）求 (iPi ) ．
i 1
2 2
19．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 : x y2 2 1(a b 0) 与抛物线 E : y
2 2 px( p 0)交于第一象限的
a b
点 A，过点 A作抛物线的切线 l 交椭圆于另一点 B ，直线 AO 交椭圆于另一点C ，且满足 AC BC ．
（1）求椭圆 的离心率 e ；
（2）若b 1，求 ABC 面积的最大值．
{#{QQABQSYUSpA5ogIi4ogAJIaJAACQSg4KCBAQGHa6CEUAsQkIAGjLCcgCEYAgUGAgAFAKAIQAjAwBZQNIQFNIAA=B}#A}A=}#}
