第2章：特殊三角形 单元测试卷
（试卷满分：120分，考试用时：120分钟）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．（2024春 金台区期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【解答】解：选项A、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
选项B的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（2024春 永春县期末）等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，三角形的周长为10．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
3．（2023春 龙岗区校级期中）下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．两条直线平行，内错角相等
B．若两个实数相等，则它们的绝对值相等
C．全等三角形的对应角相等
D．若两个实数相等，则它们的平方也相等
【分析】利用平行线的性质、实数的性质、全等三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、两条直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两条直线平行，故本选项正确，符合题意；
B、若两个实数相等，则它们的绝对值相等的逆命题为若两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等，故本选项错误，不符合题意；
C、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，故本选项错误，不符合题意；
D、若两个实数相等，则它们的平方也相等的逆命题是若两个实数的平方相等，则它们相等，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．
4．（2024 安徽一模）如图，△ABC的三个顶点在一组平行线上，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，若∠1＝α，则∠2＝（ ）
A．30°α B．45°α C．90°﹣α D．60°﹣α
【分析】先根据∠ACB＝90°，∠BAC＝60°可知∠ABC＝30°，再由∠1＝α可知∠BAF＝60°+α，再由BD∥AF可知∠BAF+∠2+∠ABC＝180°，据此得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵∠1＝α，
∴∠BAF＝60°+α，
∵BD∥AF，
∴∠BAF+∠2+∠ABC＝180°，
即∠2＝180°﹣∠BAF﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣α﹣30°＝90°﹣α，
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质及平行线的性质，熟知在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．
5．（2024春 三门峡期末）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中∠ABC＝90°，阴影部分的面积是49，AB＝5，则大正方形ACDE的边长是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】由题意可知，AB＝CF＝5，由阴影部分的面积，可知阴影部分的边长为7，进而得出BC＝12，再利用勾股定理，求出AC＝13，即可求解．
【解答】解：由题意可知，AB＝CF＝5，
∵阴影部分的面积是49，
∴阴影部分的边长为7，
∴BC﹣CF＝7
∴BC＝12，
∴，
即大正方形ACDE的边长是13，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，理解“赵爽弦图”是解题关键．
6．（2024春 中山市期末）一个直角三角形中，两条边的长都是2，则第三条边的长是（ ）
A．2 B． C． D．或
【分析】根据两条长都是2的边是直角边，利用勾股定理求第三边的长即可．
【解答】解：由题意知，两条长都是2的边是直角边，
∴第三边的长为，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理．明确两条长都是2的边是直角边是解题的关键．
7．（2023秋 中山市期末）如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．∠CAB＝∠DBA B．AB＝BD C．BC＝AD D．∠ABC＝∠BAD
【分析】根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．
【解答】解：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△BAD的斜边，也是公共边．
根据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△BAD，
还需补充一对直角边相等，
即BC＝AD或AC＝BD，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，牢记“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”是解题的关键．
8．（2024 全州县校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝16°，则∠A的度数为（ ）
A．28° B．30° C．32° D．32.5°
【分析】先根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠A+∠ABC，代入得：∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD），可得结论．
【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
即∠ACD+∠ECD＝∠ABC+∠CBD+∠A，
∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A，
∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD），
∵∠ECD＝∠CBD+∠D，∠D＝16°，
∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝16°，
∴∠A＝2×16°＝32°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行计算．
9．（2024春 金凤区校级期末）在正方形网格中，网格线的交点成为格点．如图，A、B分别在格点处，若C也是图中的格点，且使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形．则符合条件的点C有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【分析】根据题意，AB为腰时结合图形，分两种情况讨论：①点C在AB左边；②点C在AB右边．
【解答】解：如图：AB为腰分情况讨论．
①点C在AB左边时，符合条件的C点有2个；
②点C在AB右边时，符合条件的C点有2个．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
10．（2023秋 城口县期末）四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（ ）
A．58° B．64° C．61° D．74°
【分析】延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），进而得出∠MAN的度数．
【解答】解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，
同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝122°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝58°，
∴∠AMN+∠ANM＝2×58°＝116°．
∴∠MAN＝180°﹣116°＝64°，
故选：B．
【点评】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2023春 济阳区期末）等腰三角形有一个底角的度数是80°，则另两个角的度数分别是 ．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【解答】解：因为等腰三角形的一个底角的度数为80°，
所以另外两个内角的度数分别是80°，20°，
故答案为：80°，20°．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答．
12．（2024春 云梦县校级月考）如图，三角形ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，点D在AC上，DC＝4cm．将线段DC沿着CB方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则三角形EBF的周长为 m．
【分析】直接利用平移的性质得出EF＝DC＝4cm，进而得出BE＝EF＝4cm，进而求出答案．
【解答】解：∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，
∴EF＝DC＝4cm，FC＝7cm，∠C＝∠BFE，
∵AB＝AC，BC＝12cm，
∴∠B＝∠C，BF＝5cm，
∴∠B＝∠BFE，
∴BE＝EF＝4cm，
∴△EBF的周长为：4+4+5＝13（cm）．
故答案为：13．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，平移的性质，根据题意得出BE的长是解题关键．
13．（2024春 崂山区期末）如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝52°，则∠C的度数为 °．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以先计算出∠ADB的度数，然后再根据AD＝DC，∠ADB＝∠C+∠DAC，即可得到∠C的度数．
【解答】解：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠BAD＝52°，
∴∠ADB64°，
∵AD＝DC，∠ADB＝∠C+∠DAC，
∴∠C＝∠DAC∠ADB＝32°，
故答案为：32．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
14．（2023 奉化区校级模拟）若等腰三角形ABC的周长为16cm，底边BC上高线AD长为4cm，则三角形ABC的面积是 cm2．
【分析】根据已知可求得BD的长，根据周长公式及勾股定理列方程组，从而求得BC的长，则不难求得其面积．
【解答】解：如图，∵AB＝AC，AD⊥BC，AD＝4cm
∴BDBC
∵等腰三角形ABC的周长为16cm
∴2AB+2BD＝16cm，即AB+BD＝8①，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝AB2﹣42②，
联立①②方程，解得，AB＝5cm，DB＝3cm
∴BC＝6cm
∴S△ABCBC AD6×4＝12cm2
【点评】本题利用了等腰三角形性质，勾股定理建立求解出各边的长后，再利用三角形的面积公式求解．
15．（2023秋 重庆期中）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△ABD是等腰三角形，AB＝BD＝4，CB⊥BD，交AD于E，BE＝1，则AC＝ ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BDE，根据等式的性质得到∠CAE＝∠DEB，求得AC＝EC，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝BD＝4，
∴∠BAE＝∠BDE，
∵CB⊥BD，
∴∠DBE＝∠CAB＝90°，
∴∠DEB＝90°﹣∠D，∠CAE＝90°﹣∠BAD，
∴∠CAE＝∠DEB，
∵∠AEC＝∠DEB，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴AC＝EC，
∵BE＝1，
∴BC＝AC+1，
∵AC2+AB2＝BC2，
∴AC2+42＝（AC+1）2，
∴AC，
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得AC＝CE是解题的关键．
16．（2023秋 道县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上）
【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE，①正确．
④先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ，即可得④正确；
②根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正确．
③没有条件证出OP＝OQ，得出③错误；
⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正确；即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴AP＝BQ，CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，结论④正确；
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，结论②正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠AEO，
∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴结论⑤正确．
没有条件证出OP＝OQ，③错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【点评】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
三．解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（8分）（2023秋 宿城区校级期中）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．
【分析】此题只要先证明△ADF≌△BCE即可，做题时要结合已知条件与全等的判定方法进行思考．
【解答】证明：∵DE＝BF，
∴DE+EF＝BF+EF；
∴DF＝BE；
在Rt△ADF和Rt△CBE中
，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），
∴AF＝CE．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE＝BF通过等量加等量和相等得DF＝BE在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．
18．（8分）（2024春 金凤区校级期末）如图，在正方形网格上有一个△ABC，三个顶点都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称图形△A′B′C′（不写作法）．
（2）结合所画图形，在直线MN上画出点P，使PA+PB最小．
（3）如果每一个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
【分析】（1）作出A、B、C关于直线MN的对称点A′、B′、C′，然后顺次连接A′、B′、C′即可；
（2）连接A′B，与MN交于点P即可；
（3）利用割补法求面积即可．
【解答】解：（1）如图1所示：△A′B′C′即为所求；
（2）如图2，点P即为所求；
（3）△ABC的面积为：5×42×23×42×5＝7．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题关键是熟练掌握基本知识．
19．（8分）（2023春 齐齐哈尔期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AB，交AB于点F，交BC于点E，CD＝DE．
（1）∠B＝27°，求∠EAC的度数；
（2）若CE＝6cm，AD＝4cm，求AB的长．
【分析】（1）根据垂直平分线性质得到等腰三角形从而得到底角相等，结合三角形内角和定理及内外角关系即可得到答案；
（2）根据勾股定理求出AE，得到BE再根据勾股定理即可得到答案．
【解答】解：（1）∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝27°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝54°，
∵AD⊥EC，ED＝DC，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠C＝54°，
∴∠EAC＝180°﹣54°×2＝72°；
（2）由（1）知：AE＝BE＝AC，
∵EC＝6，
∴ED＝DC＝3，
在Rt△ADE中，AD＝4cm，
∴，
又∵DB＝DE+EB＝8，
在Rt△ADC中，AD＝4cm，
∴；
【点评】本题考查垂直平分线性质，等腰三角形的性质及勾股定理，解题的关键是根据垂直平分线得到边相等角相等．
20．（8分）（2023秋 方城县期末）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出AB＝CB，根据直角三角形的性质求出∠ABC＝60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得解；
（2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出∠CDE＝30°＝∠E，根据等腰三角形的判定定理即可得解．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点，
∴BD垂直平分AC，
∴AB＝CB，
∵EF⊥AB，
∴∠ABC+∠E＝90°，
∵∠E＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：AD＝CE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°，
∴∠CDE＝30°＝∠E，
∴CD＝CE，
∵点D是AC边的中点，
∴AD＝CD，
∴AD＝CE．
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（9分）（2024春 达川区期末）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D，且AD＝DE，∠ADE＝36°．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AD＝2，，求EC的长．
【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠ADE＝∠EBC＝36°，从而利用角平分线的定义可得∠ABC＝72°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得∠DAE＝∠DEA＝72°，再利用平行线的性质可得∠DAE＝∠C＝72°，从而可得∠ABC＝∠C＝72°，最后根据等角对等边可得AB＝AC，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得：∠DAE＝∠DEA＝∠C＝72°，再根据对顶角相等可得∠AED＝∠BEC，从而可得∠BEC＝∠C，进而可得BE＝BC1，然后利用三角形内角和定理可得∠BAC＝36°，再利用角平分线的定义可得∠BAC＝∠ABE＝36°，从而可得AE＝BE1，再根据等角对等边可得AB＝AD＝2，最后根据等量代换可得AC＝AB＝AD＝2，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠EBC＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC＝72°，
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA（180°﹣∠ADE）＝72°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：由（1）可得：∠DAE＝∠DEA＝∠C＝72°，
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠C，
∴BE，
∵∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝36°，
∴∠BAC＝∠ABE，
∴AE＝BE1，
∵∠ADE＝36°，
∴∠ABD＝∠ADE＝36°，
∴AB＝AD＝2，
∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD＝2，
∴EC＝AC﹣AE＝2﹣（1）＝3，
∴EC的长为3．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（9分）（2023秋 渝北区校级期中）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠1：∠2＝1：2，求∠ADC的度数．
（2）如图2，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC＝120°，∠BGC＝108°，求∠A的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BAD，根据直角三角形的两锐角互余列方程，解方程得到答案．
（2）设∠GBC＝x，∠DCB＝y，在△BFC和△BGC中，根据三角形内角和定理列方程，相加可得：3x+3y的值，即可求得∠A的度数．
【解答】解：（1）设∠1＝x，则∠2＝2x，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠2＝2x，
∵∠C＝90°，
∴2x+2x+x＝90°，
解得：x＝18°，
∴∠1＝18°，
则∠ADC＝90°﹣∠1＝72°；
（2）设∠GBC＝x，∠DCB＝y，
在△BFC中，2x+y＝180°﹣120°＝60°①，
在△BGC中，x+2y＝180°﹣108°＝72°②，
解得：①+②：3x+3y＝132°，
∴∠A＝180°﹣（3x+3y）＝180°﹣132°＝48°．
【点评】题（1）考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键；题（2）考查三角形的内角和定理、三等分线的定义，利用整体的思想解决问题比较简便．
23．（10分）（2024春 万年县校级月考）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
（1）如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板．
①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图1验证：a2+b2＝c2；
②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？
（2）如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积．
【分析】（1）①用两种不同的方法去求正方形ABCD的面积即可．
②利用①中发现的结论即可解决问题．
（2）设AO＝m，根据勾股定理建立关于m的方程即可解决问题．
【解答】（1）①证明：∵中间小正方形的边长为b﹣a，
∴小正方形的面积为（b﹣a）2．
又∵四个直角三角形的面积为：，
∴大正方形的面积为：（b﹣a）2+2ab＝a2+b2．
又∵大正方形的边长为c，
∴大正方形的面积还可以表示为c2，
∴a2+b2＝c2．
②解：由①可知，
a2+b2＝c2＝169，
∵b﹣a＝7，
∴（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab＝49，
∴2ab＝120，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝169+120＝289，
∴a+b＝17（舍负），
即直角三角形两直角边之和为17．
（2）解：设AO＝CO＝GO＝EO＝m，
∵OB＝OH＝OD＝OF＝6，
∴AH＝CB＝DE＝FG＝m﹣6．
∵外围轮廓（实线）的周长为48，
∴4（AB+m﹣6）＝48，
则AB＝18﹣m．
在Rt△ABO中，
62+m2＝（18﹣m）2，
解得m＝8，
即AO＝8，
∴．
【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出正方形ABCD的面积及巧用整体思想是解题的关键．
24．（12分）（2023春 蒙城县校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长；
（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；
（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
【分析】（1）利用勾股定理得出AC＝8cm，进而表示出AP的长，由勾股定理求出PB，进而得出答案；
（2）过点P作PD⊥AB于点D，由HL证明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD＝BC＝6cm，因此BD＝10﹣6＝4cm，设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm
∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．
∵∠C＝90°，
∴由勾股定理得PB＝2cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+2（16+2）cm；
（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴PD＝PC．
在Rt△BPD与Rt△BPC中，，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），
∴BD＝BC＝6 cm，
∴AD＝10﹣6＝4 cm．
设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm
在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴当t＝3秒时，BP平分∠ABC；
（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP＝7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC
∴PA＝PB＝5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．
第2章：特殊三角形 单元测试卷
（试卷满分：120分，考试用时：120分钟）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．（2024春 金台区期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024春 永春县期末）等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
3．（2023春 龙岗区校级期中）下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．两条直线平行，内错角相等
B．若两个实数相等，则它们的绝对值相等
C．全等三角形的对应角相等
D．若两个实数相等，则它们的平方也相等
4．（2024 安徽一模）如图，△ABC的三个顶点在一组平行线上，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，若∠1＝α，则∠2＝（ ）
A．30°α B．45°α C．90°﹣α D．60°﹣α
5．（2024春 三门峡期末）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中∠ABC＝90°，阴影部分的面积是49，AB＝5，则大正方形ACDE的边长是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
6．（2024春 中山市期末）一个直角三角形中，两条边的长都是2，则第三条边的长是（ ）
A．2 B． C． D．或
7．（2023秋 中山市期末）如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．∠CAB＝∠DBA B．AB＝BD C．BC＝AD D．∠ABC＝∠BAD
8．（2024 全州县校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝16°，则∠A的度数为（ ）
A．28° B．30° C．32° D．32.5°
9．（2024春 金凤区校级期末）在正方形网格中，网格线的交点成为格点．如图，A、B分别在格点处，若C也是图中的格点，且使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形．则符合条件的点C有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
10．（2023秋 城口县期末）四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（ ）
A．58° B．64° C．61° D．74°
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2023春 济阳区期末）等腰三角形有一个底角的度数是80°，则另两个角的度数分别是 ．
12．（2024春 云梦县校级月考）如图，三角形ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，点D在AC上，DC＝4cm．将线段DC沿着CB方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则三角形EBF的周长为 m．
13．（2024春 崂山区期末）如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝52°，则∠C的度数为 °．
14．（2023 奉化区校级模拟）若等腰三角形ABC的周长为16cm，底边BC上高线AD长为4cm，则三角形ABC的面积是 cm2．
15．（2023秋 重庆期中）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△ABD是等腰三角形，AB＝BD＝4，CB⊥BD，交AD于E，BE＝1，则AC＝ ．
16．（2023秋 道县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上）
三．解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（8分）（2023秋 宿城区校级期中）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．
18．（8分）（2024春 金凤区校级期末）如图，在正方形网格上有一个△ABC，三个顶点都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称图形△A′B′C′（不写作法）．
（2）结合所画图形，在直线MN上画出点P，使PA+PB最小．
（3）如果每一个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
19．（8分）（2023春 齐齐哈尔期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AB，交AB于点F，交BC于点E，CD＝DE．
（1）∠B＝27°，求∠EAC的度数；
（2）若CE＝6cm，AD＝4cm，求AB的长．
20．（8分）（2023秋 方城县期末）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由．
21．（9分）（2024春 达川区期末）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D，且AD＝DE，∠ADE＝36°．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AD＝2，，求EC的长．
22．（9分）（2023秋 渝北区校级期中）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠1：∠2＝1：2，求∠ADC的度数．
（2）如图2，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC＝120°，∠BGC＝108°，求∠A的度数．
23．（10分）（2024春 万年县校级月考）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
（1）如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板．
①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图1验证：a2+b2＝c2；
②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？
（2）如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积．
24．（12分）（2023春 蒙城县校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长；
（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；
（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
