北师大版数学八升九暑假作业专题复习提升-
专题四 图形的旋转及有关计算
类型一 找旋转中心、旋转角、对应点
1. 如图，中，是中线，将旋转后与重合.问：
（1） 旋转中心是哪个点？旋转了多少度？
（2） 如果,，求中线长的取值范围.
2. 如图，点为正方形内一点，，将绕点逆时针旋转得到.
（1） 旋转中心是点 .旋转角为 度；
（2） 求的长度.
类型二 利用旋转的性质证明
3. 如图，在中， ，将绕点顺时针旋转 得到，连接.
求证：.
4. 如图，在中， ，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上.
求证：.
5. 已知在中， ，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，连接，,与相交于点,的延长线与相交于点.
（1） 求证：；
（2） 探究当与满足什么关系时，.
6. 如图，和都是等边三角形.
（1） 求证：；
（2） 连接，试判断的形状，并说明理由；
类型三 利用旋转的性质求解
7. 如图，在等腰三角形中， ，是内一点，，，，将绕点逆时针旋转后与重合.求：
（1） 线段的长；
（2） 的度数.
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，.
（1） 平移，使得点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ；
（2） 将绕原点旋转 得到，在图中画出；
（3） ,为轴上的两个动点，点在点的左侧，连接，若，点为轴上的一点，连接，，则的最小值为 .
类型四 旋转中的规律问题
9. 在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称， ，如此作下去，则的顶点的坐标是 .
第9题图
10. 如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续翻转，点依次落在点，，， ，的位置，则点的坐标为 .
第10题图
11. 如图所示，在平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称.
（1） 直接写出，，，的坐标分别为 ， ， ；
（2） 连接，求的长.
12. 【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则称射线是射线在内的一条“友好线”.如图1， ， ，则，所以射线是射线在内的一条“友好线”.
【解决问题】
图1 图2 图3 备用图
（1） 在图1中，若作的平分线，则射线是射线在内的一条“友好线”吗？
（2） 如图2，的度数为，射线是射线在内的一条“友好线”，平分，求的度数；（用含的代数式表示）
（3） 如图3，射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒 的速度逆时针旋转；同时，射线从与射线的反向延长线重合的位置出发，绕点以每秒 的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止.问：当运动时间为多少秒时，射线，，中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？
答案
专题四 图形的旋转及有关计算
类型一 找旋转中心、旋转角、对应点
1．（1） 解：旋转后与 重合，
旋转中心是点，旋转了180度.
（2） 将 旋转后能与 重合，
,.
在 中，由三角形的三边关系，得.
，，即，
，
即中线 长的取值范围是.
2．（1） ； 90
（2） 由（1）知，旋转角是 ，
.
又，是等腰直角三角形，
.
类型二 利用旋转的性质证明
3．证明：由旋转的性质可得， ， ，
，
.
在 和 中，
，.
4．证明：绕点 逆时针旋转得到，
，
， ，
，
，
.
5．（1） 证明：由题意知,，，
,，
，
.
，.
（2） 解：当 时，.
证明如下：，而，
，.
又，且由（1）知，即，
.
6．（1） 证明：和 都是等边三角形，
，， ，
，
.
在 和 中，
，
.
（2） 解：是等边三角形，理由如下：
如图，连接，
由（1）得 ， .
，
，即.
在 和 中，
，.
又 ，是等边三角形.
类型三 利用旋转的性质求解
7．（1） 解：绕点 旋转与 重合，
， .
在 中，由勾股定理得.
（2） ，， .
绕点 旋转与 重合，.
在 中，，，，
，.
.
.
8．（1）
（2） 如图，即为所求.
（3）
类型四 旋转中的规律问题
9．
【解析】 是边长为2的等边三角形，，与 关于点 成中心对称，,，即 与 关于点 成中心对称，,，即.以此类推，点 的横坐标是，当 为奇数时，点 的纵坐标是，当 为偶数时，点 的纵坐标是，，的顶点 的坐标是.
10．
11．（1） ； ；
（2） 过点 作 轴于点，如图所示.
是边长为2的等边三角形，，
，
在 中，，
在 中，.
12．（1） 解：是 的平分线，.
，，
射线 是射线 在 内的一条“友好线”.
（2） 射线 是射线 在 内的一条“友好线”，的度数为，
.
平分，，
.
（3） 设运动时间为 秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”.
①当射线 是射线 在 内的一条“友好线”时，则，
所以，解得（符合题意），
即运动时间为 秒时，射线 是射线 的“友好线”；
②当射线 是射线 在 内的一条“友好线”时，则，
所以，解得（符合题意），
即运动时间为 秒时，射线 是射线 的“友好线”；
③当射线 是射线 在 内的一条“友好线”时，则，
所以，解得（符合题意），
即运动时间为 秒时，射线 是射线 的“友好线”；
④当射线 是射线 在 内的一条“友好线”时，则，
所以，解得（符合题意），
即运动时间为30秒时，射线 是射线 的“友好线”.
综上所述，当运动时间为 或 或 或30秒时，符合题意要求.
