北师大版数学八升九暑假作业专题复习提升-
专题八 三角形中位线的应用技巧
类型一 连接两中点构造中位线
1. 如图，在中，，点，分别是，的中点，，为上的两点，连接，，线段，相交于点.若，，，则的面积为（ ）
第1题图
A. 1 B. C. 2 D.
2. 如图，已知在中， ，点是延长线上的一点，，点是上一点，，连接，点，分别是，的中点，则的值为 .
第2题图
3. 如图，在四边形中，，点是的中点，点是的中点，点是的中点， ， .求的度数.
类型二 连接第三边构造中位线
4. 如图，的中线，相交于点，点，分别是，的中点.请你探索与的位置关系和数量关系，并说明理由.
5. 如图，和是等边三角形，，，三点在一条直线上，点，，分别为，，的中点.求证：.
6. 如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 连接交于点，若，，求的长.
类型三 取中点构造中位线
7. 如图，在四边形中，，，，点，分别是对角线，的中点，则的长为（ ）
第7题图
A. 1 B. 1.5 C. 2.5 D. 3.5
8. 如图，在四边形中，点，分别是边，的中点，且，，则线段的长可能为（ ）
第8题图
A. 7 B. 8.5 C. 9 D. 10
9. 如图，在中，和的平分线与交于点，且点恰好在边上.
（1） 求证：点为的中点；
（2） 若，，求的长；
（3） 点为的中点，连接，交于点，求证：.
类型四 利用角平分线垂直构造三角形的中位线
10. 如图，在中，点是的中点，平分，于点.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
类型五 延长一边构造中位线
11. 如图，，， ，点，，在一条直线上，点为的中点.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
12. 如图，在中，点是的中点，平分，.
（1） 求与的位置关系，并说明理由.
（2） 若，，求的长.
类型六 延长两边构造中位线
13. 如图，是的角平分线，，于点，，的延长线交于点.
（1） 求证：；
（2） 求证：.
14. 已知点为的边的中点，，，于点，连接.
（1） 如图1，若为的平分线，求的长；
图1
（2） 如图，若为的外角平分线，求的长.
图2
答案
专题八 三角形中位线的应用技巧
类型一 连接两中点构造中位线
1．B
2．
3．解：如图，连接.
点 是 的中点，点 是 的中点，点 是 的中点，
是 的中位线，是 的中位线，
，，，，
， ，
，
.
又，，
.
类型二 连接第三边构造中位线
4．解：，且.理由如下：
如图，连接，
是 的中线，点 是 的中点，是 的中位线，
，，
同理：，，
，且.
5．证明：如图，连接，.
和 是等边三角形，
，， ，
，
即.
在 与 中，
，.
点，，分别为，，的中点，
是 的中位线，是 的中位线，
，，
.
6．（1） 证明： 四边形 是平行四边形，
，，
.
点，分别是，的中点，.
在 和 中，
，
，，，
.
又， 四边形 是平行四边形.
（2） 解：如图，连接 交 于点.
四边形 是平行四边形，
，.
，.
，，.
，，，.
又 点 是 的中点，是 的中位线，
.
类型三 取中点构造中位线
7．B
8．A
9．（1） 证明： 四边形 是平行四边形，
，，
.
平分，，
，，
同理：，， 点 为 的中点.
（2） 解：由（1）可知，，.
四边形 是平行四边形，，， .
平分，平分，
，
，
，
，
，
即 的长为.
（3） 证明：如图，取 的中点，连接，则.
点 为 的中点，
是 的中位线，
，且.
四边形 是平行四边形，
，，
，
.
由（1）可知，，.
又，，
，.
，，.
类型四 利用角平分线垂直构造三角形的中位线
10．（1） 证明：如图，延长 交 于点.
平分，于点，
， .
在 和 中，
.
点 是 的中点，，
是 的中位线..
（2） 解：，.
是 的中位线，，故 的长为1.
类型五 延长一边构造中位线
11．（1） 证明：如图，延长 交 于点.
，， ，
和 都是等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形.
，，.
点 是 的中点，是 的中位线，
.
（2） 解：，，
，，
.
是 的中位线，.
12．（1） 解：.理由如下：
如图，延长 交 于点.
平分，.
， .
在 和 中，
.
.
点 是 的中点，是 的中位线，
，即.
（2） 由（1）可知，
，，.
，，.
类型六 延长两边构造中位线
13．（1） 证明：平分，.
， ，
， ，
，.
，.
（2） 如图，作 交 的延长线于点.
，，
，.
，.
，.
，，
.
，.
14．（1） 解：如图1，延长 交 于点.
图1
为 的平分线，，
，，，
，
，，.
又 点 为 的边 的中点，
是 的中位线，
.
（2） 如图2，延长 交 的延长线于点.
图2
为 的外角平分线，，
同法可证，，
.
又 点 为 的边 的中点，
是 的中位线，
.
