北师大版数学八升九暑假作业专题复习提升专题八 三角形中位线的应用技巧(含答案)

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专题八 三角形中位线的应用技巧
类型一 连接两中点构造中位线
1. 如图,在中,,点,分别是,的中点,,为上的两点,连接,,线段,相交于点.若,,,则的面积为( )
第1题图
A. 1 B. C. 2 D.
2. 如图,已知在中, ,点是延长线上的一点,,点是上一点,,连接,点,分别是,的中点,则的值为 .
第2题图
3. 如图,在四边形中,,点是的中点,点是的中点,点是的中点, , .求的度数.
类型二 连接第三边构造中位线
4. 如图,的中线,相交于点,点,分别是,的中点.请你探索与的位置关系和数量关系,并说明理由.
5. 如图,和是等边三角形,,,三点在一条直线上,点,,分别为,,的中点.求证:.
6. 如图,在平行四边形中,点,分别是,的中点,点,在对角线上,且.
(1) 求证:四边形是平行四边形;
(2) 连接交于点,若,,求的长.
类型三 取中点构造中位线
7. 如图,在四边形中,,,,点,分别是对角线,的中点,则的长为( )
第7题图
A. 1 B. 1.5 C. 2.5 D. 3.5
8. 如图,在四边形中,点,分别是边,的中点,且,,则线段的长可能为( )
第8题图
A. 7 B. 8.5 C. 9 D. 10
9. 如图,在中,和的平分线与交于点,且点恰好在边上.
(1) 求证:点为的中点;
(2) 若,,求的长;
(3) 点为的中点,连接,交于点,求证:.
类型四 利用角平分线垂直构造三角形的中位线
10. 如图,在中,点是的中点,平分,于点.
(1) 求证:;
(2) 若,,求的长.
类型五 延长一边构造中位线
11. 如图,,, ,点,,在一条直线上,点为的中点.
(1) 求证:;
(2) 若,,求的长.
12. 如图,在中,点是的中点,平分,.
(1) 求与的位置关系,并说明理由.
(2) 若,,求的长.
类型六 延长两边构造中位线
13. 如图,是的角平分线,,于点,,的延长线交于点.
(1) 求证:;
(2) 求证:.
14. 已知点为的边的中点,,,于点,连接.
(1) 如图1,若为的平分线,求的长;
图1
(2) 如图,若为的外角平分线,求的长.
图2
答案
专题八 三角形中位线的应用技巧
类型一 连接两中点构造中位线
1.B
2.
3.解:如图,连接.
点 是 的中点,点 是 的中点,点 是 的中点,
是 的中位线,是 的中位线,
,,,,
, ,

.
又,,
.
类型二 连接第三边构造中位线
4.解:,且.理由如下:
如图,连接,
是 的中线,点 是 的中点,是 的中位线,
,,
同理:,,
,且.
5.证明:如图,连接,.
和 是等边三角形,
,, ,

即.
在 与 中,
,.
点,,分别为,,的中点,
是 的中位线,是 的中位线,
,,
.
6.(1) 证明: 四边形 是平行四边形,
,,
.
点,分别是,的中点,.
在 和 中,

,,,
.
又, 四边形 是平行四边形.
(2) 解:如图,连接 交 于点.
四边形 是平行四边形,
,.
,.
,,.
,,,.
又 点 是 的中点,是 的中位线,
.
类型三 取中点构造中位线
7.B
8.A
9.(1) 证明: 四边形 是平行四边形,
,,
.
平分,,
,,
同理:,, 点 为 的中点.
(2) 解:由(1)可知,,.
四边形 是平行四边形,,, .
平分,平分,





即 的长为.
(3) 证明:如图,取 的中点,连接,则.
点 为 的中点,
是 的中位线,
,且.
四边形 是平行四边形,
,,

.
由(1)可知,,.
又,,
,.
,,.
类型四 利用角平分线垂直构造三角形的中位线
10.(1) 证明:如图,延长 交 于点.
平分,于点,
, .
在 和 中,
.
点 是 的中点,,
是 的中位线..
(2) 解:,.
是 的中位线,,故 的长为1.
类型五 延长一边构造中位线
11.(1) 证明:如图,延长 交 于点.
,, ,
和 都是等腰直角三角形,
也是等腰直角三角形.
,,.
点 是 的中点,是 的中位线,
.
(2) 解:,,
,,
.
是 的中位线,.
12.(1) 解:.理由如下:
如图,延长 交 于点.
平分,.
, .
在 和 中,
.
.
点 是 的中点,是 的中位线,
,即.
(2) 由(1)可知,
,,.
,,.
类型六 延长两边构造中位线
13.(1) 证明:平分,.
, ,
, ,
,.
,.
(2) 如图,作 交 的延长线于点.
,,
,.
,.
,.
,,
.
,.
14.(1) 解:如图1,延长 交 于点.
图1
为 的平分线,,
,,,

,,.
又 点 为 的边 的中点,
是 的中位线,
.
(2) 如图2,延长 交 的延长线于点.
图2
为 的外角平分线,,
同法可证,,
.
又 点 为 的边 的中点,
是 的中位线,
.

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