2024年北师大版数学八升九暑假自我复习检测达标卷一
（时间：90分钟 满分：100分）
班级： 姓名： 成绩：
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是，最高气温是，则今天气温的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 2023年10月8日晚，伴随圣火缓缓熄灭，杭州第19届亚运会圆满闭幕，亚运是体育盛会，也是文化旅游的盛会，下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列从左到右的变形，是分解因式的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 化简的结果是（ ）
A. B. 1 C. D.
5. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线.”他这样做的依据是（ ）
第5题图
A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
6. 如图，在平行四边形中，平分， ，则等于（ ）
第6题图
A. B. C. D.
7. 将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，绕点顺时针旋转 到的位置.如果 ，那么等于（ ）
A. B. C. D.
9. 若是分式方程的根，则的值为（ ）
A. 6 B. C. 4 D.
10. 如图所示，在平行四边形中，过对角线的交点，若，，，则四边形的周长是（ ）
A. 14 B. 11 C. 17 D. 10
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式： .
12. 计算： .
13. 如图，在等腰中，为底边上的高，点为的中点.若，则 .
第13题图
14. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，.若的周长为13，，则的周长为 .
第14题图
15. 如图，将一个平行四边形（如图1）作如下操作：第一次，连接对边的中点（如图2），此时共有9个平行四边形；第二次，将图2中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图3），此时共有17个平行四边形；第三次，将图3中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图4），此时共有25个平行四边形；…；此后每一次都将左上角的平行四边形进行如上操作，第次操作后，共有5 641个平行四边形，那么的值是 .
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16. （6分）解不等式组并将它的解集在数轴上表示出来.
17. （6分）如图，在中，，，，，的面积为35，求的面积.
18. （8分）在平面直角坐标系中，为原点，点，，.
（1） 如图1，三角形的面积为 .
图1
（2） 如图2，将点向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点.
图2
① 求三角形的面积；
② 点是一动点，若三角形的面积等于三角形的面积，请直接写出点的坐标.
19. （8分）如图，等边的边长是4，，分别为，的中点，延长至点，使，连接和.
（1） 求证：；
（2） 求的长.
20. （8分）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程.
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
.
回答下列问题：
（1） 该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填代号）；
A.提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
（2） 请你模仿以上方法，分解因式：.
21. （9分）根据以下素材，探索完成任务.
如何设计最佳装运方案？
素材1 小聪在周末帮助父母打包装运一批形状和大小均相同的直三棱柱木料，其底面为等腰三角形.（其中，）
素材2 为搬运和装卸方便，将多根木料打包成一捆.有两种打包方案：①四根一捆（如图1）；②五根一捆（如图2）.
素材3 小聪家里有一辆小型运货车，箱体为长方体，车箱宽，车箱高，车箱的长度与木料长度一样.将打包好的所有木料水平摆放装到运货车.
任务1 过点 作，垂足为.
① 求线段 的长；
② 求 边上的高.
任务2 评价标准：
优秀：
良好：
合格：
根据条件设计装运方案（不考虑打包带的厚度）每车共装 层；每层四根一捆装 捆，五根一捆装 捆；每车装运木料的总根数 .
22. （10分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
（1） 如图1，在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点，求证：中点四边形是平行四边形；
图1
（2） 如图2，点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想；
图2
（3） 若改变（2）中的条件，使 ，其他条件不变，直接写出中点四边形的形状.（不必证明）
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．D 2．B 3．A 4．B 5．A 6．D 7．A 8．C 9．A 10．C
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．
12．
13．4
14．23
15．705
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．解：解不等式，得；
解不等式，得.
将不等式的解集表示在数轴上，如图，
不等式组的解集为.
17．解：，的面积为35，，
.
，，， ，
.
18．（1） 6
（2） ① 如图，由题意，得，连接.
.
② 由题意，得，解得，
或.
19．（1） 证明：在 中，
，分别为，的中点，
为 的中位线，
.
，.
（2） 解：，，
.
，，
.
，，
四边形 是平行四边形，
.
20．（1） C
（2） 设，
原式
.
21．任务1 ① 解：，，，
.
② 由勾股定理，得.
任务2 15； 1或6； 6或2； 510
【解析】（层），
设每层装 根木料，
由题意，得，
解得，
即小货车一层最多装34根木料，
设四根一捆的有 捆，五根一捆的有 捆，
由题意，得，
试根得 或
每层可装四根一捆的1捆，五根一捆的6捆或四根一捆的6捆，五根一捆的2捆.
每车装运木料的总根数.
故答案为15；1或6；6或2；510.
22．（1） 证明：如图1，连接.
图1
点，分别为边，的中点，
，.
点，分别为边，的中点，
，，
，，
中点四边形 是平行四边形.
（2） 解：中点四边形 是菱形.证明如下：
如图2，连接，.
图2
，
,
即.
在 和 中，
，.
点，，分别为边，，的中点，
，.
中点四边形 是平行四边形，
中点四边形 是菱形.
（3） 解：中点四边形 是正方形.
提示：如图2，设 与 交于点，与 交于点，与 交于点.
，.
， .
，，
.
中点四边形 是菱形， 中点四边形 是正方形.
