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第八章 平面解析几何
第三节 圆的方程
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
课堂考点突破
——精析考题 提升能力2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程-专项训练
1.设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.圆心为（2，1）且和x轴相切的圆的方程是（ ）
A.（x－2）2＋（y－1）2＝1 B.（x＋2）2＋（y＋1）2＝1
C.（x－2）2＋（y－1）2＝5 D.（x＋2）2＋（y＋1）2＝5
3.若点（a＋1，a－1）在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部，则a的取值范围是（ ）
A.a＞1 B.0＜a＜1
C.－1＜a＜ D.a＜1
4.点A为圆（x－1）2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，｜PA｜＝1，则点P的轨迹方程是（ ）
A.（x－1）2＋y2＝4 B.（x－1）2＋y2＝2
C.y2＝2x D.y2＝－2x
5.（多选）已知△ABC的三个顶点为A（－1，2），B（2，1），C（3，4），则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是（ ）
A.圆M的圆心坐标为（1，3） B.圆M的半径为
C.圆M关于直线x＋y＝0对称 D.点（2，3）在圆M内
6.（多选）已知圆C关于y轴对称，经过点（1，0）且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C可能的方程为（ ）
A.x2＋＝ B.x2＋＝
C.（x－）2＋y2＝ D.（x＋）2＋y2＝
7.已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为 ，半径为 .
8.若圆C经过坐标原点和点（4，0）且与直线y＝1相切，则圆C的方程是 .
9.已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝｜PB｜2＋｜PA｜2，其中A（0，1），B（0，－1），则d的最大值为 .
10.已知动圆C经过点A（2，－3）和B（－2，－5）.
（1）当圆C面积最小时，求圆C的方程；
（2）若圆C的圆心在直线3x＋y＋5＝0上，求圆C的方程.
11.若直线ax－by－6＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0的周长，则＋的最小值为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
12.（多选）设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（ ）
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点（3，0）
C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π
13.已知圆心为C的圆经过点A和B，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上.
（1）求圆心为C的圆的标准方程；
（2）设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求｜PQ｜的最小值.
14.（多选）在平面直角坐标系中，点A（－1，0），B（1，0），C（0，7），动点P满足｜PA｜＝｜PB｜，则（ ）
A.点P的轨迹方程为（x－3）2＋y2＝8 B.△PAB面积最大时，｜PA｜＝2
C.∠PAB最大时，｜PA｜＝2 D.点P到直线AC的距离的最小值为
15.在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R）与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
（2）求证：过A，B，C三点的圆过定点.
参考答案与解析
1.A 方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆，则有D2＋E2－4F＝a2＋4－8＞0，解得a＞2或a＜－2，则“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不必要条件，所以“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆”的充分不必要条件.故选A.
2.A 圆心为（2，1）且和x轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是（x－2）2＋（y－1）2＝1，故选A.
3.D 由题可知，半径r＝，所以a∈R，把点（a＋1，a－1）代入方程，则（a＋1）2＋（a－1）2－2a（a－1）－4＜0，解得a＜1，所以a的取值范围是a＜1，故选D.
4.B ∵｜PA｜＝1，∴点P和圆心的距离恒为，又圆心坐标为（1，0），设P（x，y），∴由两点间的距离公式，得（x－1）2＋y2＝2.
5.ABD 设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则解得所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即（x－1）2＋（y－3）2＝5.故圆M的圆心坐标为（1，3），圆M的半径为，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心（1，3），所以圆M不关于直线x＋y＝0对称.因为（2－1）2＋（3－3）2＝1＜5，故点（2，3）在圆M内.
6.AB 由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心（0，a）， 半径为r，则rsin＝1，rcos＝｜a｜，解得r＝，即r2＝，｜a｜＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋＝.
7.（－2，－4） 5 解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝2时，方程不表示圆，舍去.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，圆心坐标为（－2，－4），半径为5.
8.（x－2）2＋＝ 解析：由已知可设圆心为（2，b），由22＋b2＝（1－b）2＝r2，得b＝－，r2＝.故圆C的方程为（x－2）2＋＝.
9.74 解析：设P（x0，y0），则d＝｜PB｜2＋｜PA｜2＝＋（y0＋1）2＋＋（y0－1）2＝2（＋）＋2，＋表示圆上任一点到原点距离的平方，∴（＋）max＝（5＋1）2＝36，∴dmax＝74.
10.解：（1）要使圆C的面积最小，则AB为圆C的直径，圆心C（0，－4），半径r＝｜AB｜＝，
所以所求圆C的方程为x2＋（y＋4）2＝5.
（2）设所求圆C的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
根据已知条件得解得所以所求圆C的方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10.
11.D 圆x2＋y2－4x＋4y＝0，即（x－2）2＋（y＋2）2＝8，圆心为（2，－2），依题意，点（2，－2）在直线ax－by－6＝0上，则有2a－（－2）b－6＝0，整理得a＋b＝3，而a＞0，b＞0，于是得＋＝（a＋b）（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以＋的最小值为4.
12.ABD 圆心坐标为（k，k），在直线y＝x上，A正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
13.解：（1）设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），
∵圆经过点A和B，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上，
∴解得∴圆的标准方程为（x－3）2＋（y＋2）2＝25.
（2）∵圆心C到直线x－y＋5＝0的距离d＝＝5＞5，
∴直线与圆C相离，∴｜PQ｜的最小值为d－r＝5－5.
14.ABD 设P（x，y），由｜PA｜＝｜PB｜得，｜PA｜2＝2｜PB｜2，所以[x－（－1）]2＋（y－0）2＝2[（x－1）2＋（y－0）2]，化简得（x－3）2＋y2＝8，A项正确；由对A的分析知y∈[－2，2]，所以△PAB的面积S＝｜AB｜·｜y｜∈（0，2]，当△ABP面积最大时，P点坐标为（3，2）或（3，－2），此时｜PA｜＝＝2，B项正确；记圆（x－3）2＋y2＝8的圆心为D，则D（3，0），当∠PAB最大时，PA为圆D的切线，连接PD，则｜PA｜2＝｜AD｜2－｜PD｜2＝42－（2）2＝8，｜PA｜＝2，C项错误；直线AC的方程为7x－y＋7＝0，所以圆心D（3，0）到直线AC的距离为＝，所以点P到直线AC的距离的最小值为－2＝，D项正确.故选A、B、D.
15.解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R），令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A（x1，0），B（x2，0），可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8.x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C（0，2m）.
（1）若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0（舍去）或m＝－.
此时C（0，－1），AB的中点M即圆心，半径r＝｜CM｜＝，
故所求圆的方程为＋y2＝.
（2）证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C（0，2m）代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－（1＋2m）y＋2m＝0.
整理得x2＋y2－y－m（x＋2y－2）＝0.
令可得或
故过A，B，C三点的圆过定点（0，1）和.
