北师大版数学八升九暑假作业专题复习提升-
专题一 等腰三角形
类型一 等腰三角形的性质
1. 随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知， ，则凳腿与地面所成的角为（ ）
第1题图
A. B. C. D.
2. 若等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（ ）
A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 21
3. 在中，，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放，它们一组较短的直角边分别在，上，另一组较长的对应边的顶点重合于点，交边于点，则下列结论错误的是（ ）
第3题图
A. 平分 B. C. 垂直平分 D.
4. 如果等腰三角形一个底角为 ，那么这个等腰三角形的顶角度数为 .
5. 若等腰三角形的一个内角是 ，则它的底角是 .
6. 如图，已知点，分别在和上，，.
（1） 求证：平分；
（2） 若 ， ，求的度数.
7. 【综合与实践】在中，，点是线段上一点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接.
（1） 如图1，若 ，则 ；
图1
（2） 如图2，设 ， ，当点在线段上移动时，请写出 ， 之间的数量关系，并说明理由.
图2
类型二 等腰三角形的判定
8. 下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A. ，， B.
C. ， D.
9. 如图，在中，， ，平分，则图中等腰三角形有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 在中， ，当 时，是等腰三角形.
11. 如图，直线， ， .求证：是等腰三角形.
12. 如图，在中， ，，，，点，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为.
（1） ；（用含的代数式表示）
（2） 当点在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形；
（3） 当点在边上运动时，出发几秒后，是以为腰的等腰三角形？
类型三 特殊的等腰三角形——等边三角形
13. 如图，中， ，，，则的周长为（ ）
第13题图
A. 9 B. 8 C. 6 D. 12
14. 下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A. 有两个内角是 的三角形 B. 三个外角都相等的三角形
C. 有两个角相等的等腰三角形 D. 有一个角是 的等腰三角形
15. [2023·深圳三模]如图，是等边三角形，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，.再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点.连接交于点，则的度数为（ ）
第15题图
A. B. C. D.
16. [2023春·龙岗区期末]由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆（点为衣架的固定点），如图2，若衣架收拢时， ，则此时，两点之间的距离是（ ）
第16题图
A. B. C. D.
17. 如图，是等边的角平分线，，则 .
18. 如图，等边三角形的边长是6，求的面积.
19. 如图，是等边三角形，点，，分别是，，上一点，且 .
（1） 如图1，若 ，求；
图1
（2） 如图2，连接，若，求证：.
图2
答案
类型一 等腰三角形的性质
1．C
2．B
3．D
4．
5． 或
6．（1） 证明：，.
，，，
平分.
（2） 解：由（1）可知.
， ，
.
，
.
7．（1）
【解析】，
，即.
在 与 中，
，.
，
.
又 ， .
（2） .理由：，
，即.
在 与 中，
，.
， .
， .
类型二 等腰三角形的判定
8．B
9．C
10． ， 或
11．证明：， .
， ， ，
，，
是等腰三角形.
12．（1）
（2）
（3） ①当 是以 为底边的等腰三角形时，，如图1所示，
图1
则，
，
， ，
，，，
，
；
②当 是以 为底边的等腰三角形时，，如图2所示，
图2
则，.
综上所述，出发11或 时，是等腰三角形.
类型三 特殊的等腰三角形——等边三角形
13．A
14．C
15．D
16．C
17．5
18．解：如图，过点 作，垂足为点.
， .
，，
.
即 的面积是.
19．（1） 解：是等边三角形， .
，
， ，
，
.
（2） 证明：，.
， ， ， ，.
