相似三角形单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（ ）
第1题图 第2题图 第3题图
A．3cm B．2 cm C．2.5cm D．3.5cm
2．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
4．如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ）
第4题图 第6题图
A． B．1 C． D．
5．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中随处可见．例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长10米，主持人从舞台一侧进人，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，与位似的位置有（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个及个以上
7．在中，，，，为边一点且，若过点作直线截，使截得的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
8．已知，若，则＝（ ）
A．12 B．15 C．16 D．1
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，且DF边交AC边于点G，则CG的长为（ ）
第9题图 第10题图
A． B． C． D．
10．如图，点G是的重心，过点G作分别交AB，AC于点M，N，过点N作交BC于点D，则四边形BDNM与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题填空题（每题4分，共24分）
11．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，若AB＝3，则DE的长为 ．
第11题图 第13题图
12．已知，则的值为 ．
13．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，交于点，若，，则的长为 .
14．已知，如图，矩形中，、分别是边、上的点，，，，若与以、、为顶点的三角形相似，则的长为 .
第14题图 第15题图 第16题图
15．如图，分别是的边上的点，，且分别为边上靠近点的三等分点，则下列结论正确的是 ．
①；②；③；④
16．如图，在正方形 中，点E是边 的中点，连接 、 ，分别交 、 于点P、Q，过点P作 交 的延长线于F，下列结论：
① ，② ，③ ，④若四边形 的面积为4，则该正方形 的面积为36，⑤ ．
其中正确的结论有 ．
三、解答题（17-19每题6分，20-21每题8分，22题12分，共46分）
17．如图，在矩形中，，，是边上的一点（不与、重合），，垂足为．
（1）求证： ；
（2）若，求的长．
18．如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
19．如图，在平行四边形中，点是的中点，连结并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）点是线段上一点，满足交于点，若，求的值．
20．如图，在 ABCD中，点E在AB上，AEAB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
（1）求的值．
（2）若AB：AC：2，
①求证：∠AEF＝∠ACB．
②求证：DF2＝DG DA．
21．如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
22．在中，，，.点在线段上运动，过点作的垂线交线段（如图1）或线段的延长线（如图2）于点．
（1）当点在线段上时，求证：；
（2）当点与点重合时，求的长；
（3）若点从点以每秒2个单位长的速度向点运动，求点与点的距离不大于1的时长；
（4）当为等腰三角形时，直接写出的长．
图1 图2 备用图
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】B
10．【答案】C
11．【答案】4.5
12．【答案】
13．【答案】2
14．【答案】2或6或
15．【答案】①
16．【答案】①②③⑤
17．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴或（负数不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴的长为．
18．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
19．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是的中点，
，
，
，
∴，
；
（2）解：四边形是平行四边形，，设
，，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
可得方程，
解得，
∴．
20．【答案】（1）解：在 ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
又∵∠DFC＝∠AFE，
∴△AFE∽△CFD，
∴；
（2）解：①证明：∵，
可设AC＝2a，则，
由（1）知：，
∴，
∴，，
∴，
又∵∠BAC＝∠FAE，
∴△FAE∽△BAC，
∴∠AEF＝∠ACB；
②证明：∵FG∥AB，
∴∠GFD＝∠AED＝∠ACB，
又∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠GFD，
又∵∠GDF＝∠FDA，
∴△GDF∽△FDA，
∴，
∴DF2＝DG DA．
21．【答案】（1）证明：∵是正方形的对角线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
22．【答案】（1）证明：，
，
在与中，
，，
．
（2）解：在中，，
由（1）知，
，即，解得：．
（3）解：①当点在线段上时，若，则，
∵，
∴，
，解得：，
∴运动的时长为（秒）；
②当点在线段的延长线上时，若，则，
∵，
∴，
，
点运动的时长为（秒）；
综上，求点与点的距离不大于1的时长为（秒）．
（4）解：．
