2024年北师大版数学七升八暑假作业温故知新三
（基础复习练+预习提前练）
基础知识复习
5.平方差公式
考点1 认识平方差公式
1.下列能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，，则的值为 .
3. 计算：.
4. 计算：.
5. 计算：.
6. 计算：.
7. 计算：.
8. 计算：.
考点2 利用图形验证平方差公式
9. 如图，阴影部分是边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图的割拼方法中，其中能够验证平方差公式的有 （填序号）.
考点3 利用平方差公式进行简便计算
10. 计算：
（1） ；
（2） .
11. 利用乘法公式计算：
（1） ；
（2） .
考点4 平方差公式的运用
12. 【探究】 如图1，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2的长方形.比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母,表示）；
【应用】 请应用这个公式完成下列各题：
① 已知，,则的值为 ；
② 计算：；
【拓展】 计算的结果为 .
6.完全平方公式
考点1 认识完全平方公式
1. 计算： .
2. 计算： .
3. 如果关于的多项式是一个完全平方式，那么 .
4. 若是一个完全平方式，那么的值是 .
5. 已知，则 .
6. 已知，，则的值是 .
7. 计算：.
8. 计算：.
9. 计算：
（1） ；
（2） .
10. 计算：.
考点2 用图形验证完全平方公式
11. 请认真观察图形，解答下列问题：
（1） 根据图1，试用两种不同的方法表示两个阴影图形的面积的和.
方法1: ;
方法2: ;
（2） 从中你能发现什么结论？
请用等式表示出来： ;
（3） 利用（2）中结论解决下面的问题：如图2，两个正方形的边长分别为，，如果，，求阴影部分的面积.
考点3 利用完全平方公式进行简便计算
12. 用简便方法计算：.
13. 用简便方法计算：
（1） ；
（2） .
考点4 与完全平方公式有关的综合运算
14.【阅读理解】
将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多数学问题.
例：若，，求 的值.
解：，，
，.
.
.
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1） 若，，则 ；
【类比应用】
（2） 若，，求的值；
【思维拓展】
（3） 如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积.
新课预习
3.勾股定理的应用
知识梳理
1. 如果直角三角形两直角边长分别为，，斜边长为，那么有 .
2. 如果三角形的三边长，，满足 , 那么这个三角形是直角三角形.
跟踪练习
知识点1 勾股定理在生活中的应用
1. 如图，某地方政府决定在相距的，两站之间的公路旁的点处，修建一个土特产加工基地，且，两村到点的距离相等，已知于点，于点，，，那么基地应建在离站多少千米的地方？
2. 在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（,,在一条直线上），并新修一条路，测得，，.
（1） 问是否为从村庄到河边最近的路？（即问：与是否垂直？请通过计算加以说明）
（2） 求原来的路线的长.
知识点2 立体图形中两点之间的最短距离
3. 下面的图2是图1的侧面展开图.一只小昆虫沿着圆柱的侧面，从点沿最短的距离爬到点，则点在图2中的位置是 .（填序号）
4. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，点和点是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，求蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为多少分米.
5. 如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为，，，盒子高为，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点，求蚂蚁要爬行的最短路程是多少厘米.
答案1
5.平方差公式
考点1 认识平方差公式
1．A
2．
3．解：原式.
4．解：.
5．解：.
6．解：.
7．解：.
8．解：.
考点2 利用图形验证平方差公式
9．①②③④
考点3 利用平方差公式进行简便计算
10．（1） 解：.
（2） .
11．（1） 解：原式.
（2） 原式.
考点4 平方差公式的运用
12．【探究】
【应用】 ① 12
② 解：.
【拓展】
6.完全平方公式
考点1 认识完全平方公式
1．
2．
3．16
4．
5．2
6．10
7．解：原式.
8．解：原式.
9．（1） 解：
.
（2） .
10．解：原式.
考点2 用图形验证完全平方公式
11．（1） ；
（2）
（3） 解：阴影部分的面积为：
.
考点3 利用完全平方公式进行简便计算
12．解:
.
13．（1） 解：原式.
（2） 原式.
考点4 与完全平方公式有关的综合运算
（1） 40
（2） 解：，，
，，
，.
（3） 设，，
，，，.
，，，，
，.
答案2
3.勾股定理的应用
知识梳理
1．
2．
跟踪练习
知识点1 勾股定理在生活中的应用
1．解：设，则.
因为，所以,解得.
答：基地应建在离站的地方.
2．（1） 解：是，理由：在中，
，，
，,
是从村庄到河边最近的路.
（2） 设，在中，由已知得千米，，
由勾股定理得，，解这个方程，得.
答：原来的路线的长为.
知识点2 立体图形中两点之间的最短距离
3．③
4．解：如图所示,三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线长.
可设蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程为，
由勾股定理得，
解得，
即蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程为.
5．解：如图为三棱柱的侧面展开图，，， ，
,,
即蚂蚁要爬行的最短路程为.
