北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升-
专题五 手拉手模型
手拉手模型是指两个顶角相等的等腰三角形的顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形.在解决手拉手模型的问题时，需要灵活运用全等三角形的性质和判定方法，以及轴对称的性质和判定方法来进行证明.同时，还需要掌握基本的手拉手模型形式及其变形情况，以便更好地解决相关问题.
类型一 运用“手拉手”模型
1. 如图，已知，，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件： ，使.（只写出一种即可）
第1题图
2. 如图，在中， ，，点在边上，连接与相交于点，连接,.记的面积为，的面积为，则的面积为 .
第2题图
3. 如图，，，点,,在一条直线上，， ， ，则 .
第3题图
4. 【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若，，，则.
【材料理解】
（1） 在图1中说明小明的发现.
【深入探究】
（2） 如图2，和是等边三角形，连接,交于点，连接，试说明：
① ；
如图,
② .
5. 如图，已知 ，是等边三角形，平分.
（1） 如图1，当 时， .
（2） 如图2，当 时， .
（3） 如图3，当时，求的度数，请借助图3填空.
解：因为 ， ，所以 .
因为平分，所以 （用 表示）.
因为为等边三角形，所以 ，
所以 （用 表示）.
（4） 当时，直接写出的度数.（用 来表示，无需说明理由）
6.
（1） 问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形.
如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，试说明;
（2） 类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且 ，点，，在同一条直线上,请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由;
（3） 问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，， ，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，求的长.
7. 【初步感知】如图1，和都是等边三角形，连接,.小组同学发现：
（1） 与全等，依据是 （填写全等三角形判定定理）.
（2） 线段，依据是 .
【拓展探究】
如图2，和都是等腰三角形，，， ，,相交于点，连接.
（3） 线段与之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请说明理由.
（4） 求的度数.（用含 的式子表示）
类型二 构造“手拉手”模型
8. 如图，是的角平分线，， ，交其延长线于点.求证：.
答案
专题五 手拉手模型
类型一 运用“手拉手”模型
1．（答案不唯一）
2．
3．65
（1） 解：，
，
.
在 和 中，
.
（2） ① 如图,
（2） ① 和 是等边三角形，
，， ,
.
在 和 中，
，.
② ，.
记 与 的交点为.
，，
， .
5．（1）
（2）
（3） ； ；
（4）
6．（1） 解：，，.
在 和 中，
，.
（2） 与 的数量关系是，位置关系是.理由如下:
，,即.
在 和 中，
，，.
是等腰三角形且 ，
， ,
，.
（3） 由（1）的方法得，.
是等腰直角三角形， .
，，.
，，
.
（1）
（2） 全等三角形的对应边相等
（3） 解：存在（2）中的结论.理由如下:
，，,.
在 和 中，
，.
（4） 由（3）知,.设题图2中 与 交于点，则,
,,
.
类型二 构造“手拉手”模型
8．证明:如图，延长，相交于点.
， .
,.
在 和 中，
,
.
平分，
.
在 和 中，
，
，
,
.
