北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升-
专题四 三垂直模型
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为 ，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型（简称三垂直模型），当模型中有一组对应边相等时，则模型中必定存在全等三角形.解决一线三等角模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题.
类型一 一线三垂直全等模型
1. 如图，已知，且 ，于点，于点,，,连接，,则图中阴影部分的面积为（ ）
第1题图
A. 5 B. 6 C. 9 D. 10
2. 如图，一个等腰直角三角形物件斜靠在墙角处, .若,，则点离地面的距离是 .
第2题图
3. 如图，已知是等腰直角三角形， ，，且于，于.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
4. 在中， ，，直线经过点，且于，于.
（1） 当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：
① ；
② .
（2） 当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：.
（3） 当直线绕点旋转到图3的位置时，试问,,具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.
5. 如图，点在线段上，于，于, ，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿 运动）.当点到达终点时，，同时停止运动.过，分别作的垂线，垂足为，.设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，求的值.
6.
【问题发现】
（1） 如图1，在与中， ，，,,三点在同一直线上，，，则 ;
【问题提出】
（2） 如图2，在中， ，，过点作，且，求的面积;
【问题解决】
（3） 如图3，在四边形中， ，的面积为12且的长为6，求的面积.
类型二 一线三等角模型
7. 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角.若为直角，则又称一线三垂直模型）.解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题.
（1） 已知：如图1，在中， ，，直线经过点， 直线， 直线，垂足分别为，.求证：.
（2） 如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有 ，其中 为任意锐角或钝角,那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.
（3） 如图3，将（1）中的条件改为：，，，三点都在直线上，且有 ，其中 为任意锐角,那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请写出,,之间的数量关系并说明理由.
答案
专题四 三垂直模型
类型一 一线三垂直全等模型
1．A
2．30
3．（1） 证明： ，于，于，
， .
，
.
在 和 中，
.
（2） 解：，，，
，，
.
4．（1） ① 证明： ，
.
而 于，于，
， ，
.
在 和 中，
.
② 由①知,
，，
.
（2） 证明:在 和 中，
,
，，
.
（3） 解：.
证明：易证得,
，,
.
5．解：当点 在 上，点 在 上且从未返回时,
以，，为顶点的三角形与 全等，
，
，
;
当点 在 上，点 第一次从点 返回时,
以，，为顶点的三角形与 全等，
，
，
;
当点 在 上，点 第一次从点 返回时,
以，，为顶点的三角形与 全等，
，
，
.
综上所述：的值为1或 或.
（1） 7
【解析】 ，
.
在 和 中，
，
，，
.
故答案为：7.
（2） 解：过 作 交 延长线于，如图.
,,
，
.
在 和 中，
,
，
.
（3） 过 作 于，过 作 交 延长线于，如图.
的面积为12且 的长为6，
，
.
，，
是等腰直角三角形，
，
.
，
，,
.
在 和 中，
,
，
.
类型二 一线三等角模型
7．（1） 证明： 直线， 直线,垂足分别为,,
.
，
.
，
.
在 和 中，
,
，,
.
（2） 解：成立.
证明： ,
,
.
在 和 中，
，
，，
.
（3） 解：不成立，成立.理由如下:
，，，
.
，
.
在 和 中，
，
，，
，
.
