2023-2024学年河北省邯郸市肥乡区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将不等式的两边同时除以，得( )
A. B. C. D.
2.将多项式因式分解的结果为( )
A. B.
C. D.
3.如图，与关于某点成中心对称，则其对称中心是( )
A. 点
B. 点
C. 点
D. 点
4.两个同样大小的直角三角板按如图所示摆放，其中两条一样长的直角边交于点，另一直角边，分别落在的边和上，且，连接，则在说明为的平分线的过程中，理由正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.下列式子的化简结果为的是( )
A. B. C. D.
6.若点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.若成立，有下列说法：
从左到右的变形是因式分解； 从左到右的变形是整式乘法； ．
其中正确的说法是( )
A. B. C. D.
8.如图，的各顶点都在正方形网格的格点上，其中点的坐标为，将绕点逆时针旋转后，得到，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
9.如果方程无解，那么的值是( )
A. B. C. D.
10.如图，和是两个完全相同的三角形，，，将沿直线向右平移到的位置，点对应点，且点，不重合，连接，，有下列结论：
结论：以点，，，为顶点的四边形总是平行四边形；
结论：当最短时，．
下列判断正确的是( )
A. 只有结论正确 B. 只有结论正确
C. 结论、结论都正确 D. 结论、结论都不正确
11.小明参加千米跑步比赛，开始他先以米分的平均速度跑了分钟，当他发现小亮在他前方米后，二人便同时开始以米分和米分的速度跑完剩余的路程，若最后小明获胜，则根据题意可列不等式为( )
A. B.
C. D.
12.如图，在中，，和均为等腰直角三角形，且面积之和为，则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是______．
14.若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
15.把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若，，则______．
16.如图，直线，经过点，，点为线段的中点，直线与轴交于点．
点的坐标为______；
当直线经过点时，若，则的取值范围为______；
当时，若，的取值范围为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
因式分解：
；
．
18.本小题分
解不等式组：并将解集在数轴上表示．
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
老师布置了教材中的习题作为今天的作业：
用两种方法计算．
下面是小李同学作业中的部分运算过程：
解：原式第一步
第二
第三步
第四步
以上化简步骤中，第______步是通分；
第______步开始出现错误，错误的原因是______；
用第二种方法化简分式．
20.本小题分
如图，在中，，于点．
使用尺规作的垂直平分线，交于点；
若，，求的长度．
21.本小题分
【发现】一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，且，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是的倍数．
【解决问题】
用含的代数式表示：
原来的两位数为______，新的两位数为______；
使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确．
22.本小题分
如图，在 中，对角线，相交于点，，分别为射线，上的两个动点点，始终在 的外面，连接，，，．
若，，求证：四边形为平行四边形；
若，
四边形为平行四边形吗？请说明理由；
当时，，直接写出四边形的面积．
23.本小题分
某商场有一定数量的，两个款式的恤，其中款恤一共花费元，款博一共花费元，每件款恤的进价比每件款恤的进价高元，且款恤的数量刚好是款恤数量的倍．
求第一次购进的，两款恤的进价；
第一批货卖完后，商场决定再购进一定数量的款恤，总进货量不超过件，商场的销售情况如下：先按标价元卖了件，剩余的按标价打八折进行促销，若总利润不低于元，求第二次可购进款恤多少件．
24.本小题分
在和中，，，，且点是的中点，将绕点旋转，与交于点．
如图，当点为的中点时，求的长度；
如图，若点刚好在的平分线上，求的长度；
如图，当在的上方，且时，求的长．
参考答案
1.
2.
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7.
8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.
16.
17.解：原式；
原式．
18.解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
，
当时，原式．
19.一；
三，把减法算成了乘法；
原式
．
20.解：如图，直线为所作；
，于点，
，
在中，，，
，
点为的垂直平分线与的交点，
．
21.；．
根据题意得，
．
是整数，
能被整除，即【发现】中的结论正确．
22.证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
，即，
四边形为平行四边形；
解：若，，四边形为平行四边形，理由如下：
，，．
，
，
即，
，
四边形为平行四边形；
当时，，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
≌，
，
．
23.解：设第一次购进的款恤的进价为元，则款恤的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：第一次购进的款恤的进价为元，款恤的进价为元；
设第二次可购进款恤件，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
或或，
答：第二次可购进款恤件或件或件．
24.解：点是的中点，是的中点，
为的一条中位线．
．
如图，当点刚好在的平分线上时，连接，过点作于点．
设，则，
．
又，
≌，
．
在中，，
，
在中，，
，
解得，
当点刚好在的平分线上时，的长为．
如图，当在的上方，且时，连接，则垂直平分，
．
是的中点，，
．
设，则，，
在中，，
则，
解得，
，
．
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