2023-2024学年北京市通州区高二下学期期末质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.设，为两个随机事件，若，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
7.有两台车床加工同一型号零件，第台加工的次品率为，第台加工的次品率为，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第台，第台车床加工的零件占比分别为，，现任取一件零件，则它是次品的概率为( )
A. B. C. D.
8.某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共道工序，现要从，，，，，这名员工中选出人，安排在道工序上工作每道工序安排一人，如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9.设函数为定义在上的奇函数，若曲线在点处的切线的斜率为，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数；若方程恰有三个根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是 ．
12.不等式的解集是 ．
13.某区高二年级名学生的期中检测的数学成绩服从正态分布，则成绩位于的人数大约是 ．参考数据：，
14.已知命题：函数为上的增函数．能说明为假命题的一组，的值为 ， ．
15.已知函数，关于以下四个结论：
函数的值域为；
当时，方程有两个不等实根；
当，时，设方程的两个根为，，则为定值；
当，时，设方程的两个根为，，则．
则所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（12分）已知函数．
若函数为奇函数，求实数的值；
当，时，求函数在区间上的最小值．
17.（12分）某班级的所有学生中，课前是否预习本节课所学内容的人数情况如下表所示．
男生 女生
预习了所学内容
没预习所学内容
现从该班所有学生中随机抽取一人：
求抽到预习了所学内容的概率；
若抽到的同学是男生，求他预习了所学内容的概率；
试判断“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了所学内容”是否相互独立，并说明理由．
18.（12分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校随机抽取了名学生，调查这名学生的假期日均阅读时间单位：分钟，得到了如图所示的频率分布直方图．
若该校共有名同学，试估计该校假期日均阅读时间在内的人数；
开学后，学校从日均阅读时间不低于分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取了名学生作为代表进行国旗下演讲．若演讲安排在第二，三，四周每周两人，不重复进行．求第二周演讲的名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于的概率；
用频率估计概率，从该校学生中随机抽取人，设这人中日均阅读时间不低于分钟人数为，求的分布列与数学期望．
19.（13分）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品两个市场的销售互不影响，为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去个销售周期内的销售情况，得下表：
销售量销售周期个数市场 吨 吨 吨
甲
乙
从过去个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为吨的概率；
以市场销售量的频率代替销售量的概率．设单位：吨表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列；
在的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出吨获利元，未售出的产品降价处理，每吨亏损元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．
20.（13分）已知函数．
若曲线在点处的切线的斜率为，求曲线在点处的切线方程；
定义：若，均有，则称函数为函数的控制函数．
，试问是否为函数的“控制函数”？并说明理由；
，若为函数的“控制函数”，求实数的取值范围．
21.（13分）已知函数．
当时，求的最小值；
求的单调区间；
写出的零点个数直接写出结果．
答案解析
1.
【解析】依题意，，而，
所以．
故选：
2.
【解析】对于，函数在上单调递减，不是；
对于，函数在上单调递减，不是；
对于，函数在上单调递增，是；
对于，函数在上单调递减，不是．
故选：
3.
【解析】因为，，
即，，
所以．
故选：
4.
【解析】由条件概率可得，
所以，
故选：
5.
【解析】由，，，得，当且仅当时取等号，
反之，，，，取，则，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：
6.
【解析】解：因为 的通项公式为 ，
令 得 ，所以 的系数为 ．
故选：．
7.
【解析】记现任取一件零件它是次品为事件，
则．
故选：
8.
【解析】从名员工中任选人，安排在道工序上工作的安排方法数为种，
其中员工在第四道工序工作的安排方法数为种，
所以不同的安排方法共有种．
故选：
9.
【解析】由函数为定义在上的奇函数，得，则，
两边求导得，即，而，则，
所以．
故选：
10.
【解析】当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，求导得，
由，得，由，得，即函数在上递增，在上递减，
当时，取得极大值，且当时，恒成立，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象知，当时，直线与函数的图象有个公共点，即方程恰有三个根，
所以实数的取值范围是．
故选：
11.
【解析】对于函数，则，解得，
所以的定义域为．
故答案为：
12.
【解析】因为，
所以或．
故答案为：
13.
【解析】令高二年级名学生的期中检测的数学成绩为，则，其中，
则，
所以成绩位于的人数大约是．
故答案为：
14.
【解析】函数在上单调递增，在单调递增，
则由函数为上的增函数，得，
即命题为真命题时，，因此为假命题时，，
能说明为假命题的一组，的值可以为，．
故答案为：；
15.
【解析】对于，函数，由于，故，
因此函数的值域为正确；
对于，当时，方程，解得或，
而，方程有两个不等实根，正确；
对于，当时，，不妨令，，则，
则，由于在上单调递增，
故随的增大而增大，错误；
对于，当时，，不妨令，，
则，正确，
所以所有正确结论的序号为．
故答案为：
16.函数的定义域为，
由于为奇函数，则对于定义域内任意，都有成立，
即，即恒成立，而当时，
所以．
当，时，，
由，得，当且仅当，即时取等号，
所以，当时函数取得最小值为．
【解析】利用奇函数的定义求出的值．
利用基本不等式求出最小值即得．
17.设抽到预习本节课所学内容的同学为事件，抽到的同学是男生为事件，
由数表知，该班共有名同学，预习了本节课所学内容的学生有人，
则．
依题意，，因此，
所以抽到的同学是男生，他预习了所学内容的概率为．
由数表知，，，，，
所以“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了本节课所学内容”不相互独立．
【解析】根据给定的数表，利用古典概率公式计算即得．
根据给定条件，利用条件概率公式计算即得．
利用相互独立事件的定义判断即得．
18.由频率分布直方图知，各组频率依次为：，，，，，
则人的样本中假期日均阅读时间的频率为，
估计该校学生假期日均阅读时间在内的频率为．
所以估计该校假期日均阅读时间在内的人数为人
阅读时间在，的频率依次为：，，，
则在，抽取的人数依次为人，人，人，
设第二周演讲的名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于为事件，
所以．
从该校学生中随机抽取人，则此人假期日均阅读时间不低于分钟的概率为，
随机变量的可能取值为，得，
则，，
，，
所以的分布列为
数学期望为．
【解析】利用频率分布直方图求出的频率，再估计人数即得．
求出在，抽取的人数，再结合组合计数求出古典概率．
求出的可能值及各个值对应的概率，利用二项分布列出分布列并求出期望．
19.设甲市场销售量为吨的事件为，则．
设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为，
则由题意得，，；
，，，
设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为，，，，，
，
，
，
，
，
所以的分布列如下表：
由知，，，
当时，销售利润，当时，，当时，，
因此的分布列为：
则元；
当时，，，，
销售利润，当时，，
当时，，当时，，
因此的分布列为：
则元；
因为，所以应选．
【解析】利用古典概率求得结果．
求出的可能及各个值对应的概率，列出分布列．
分别求出与时销售利润的期望，再比较大小即得结果．
20.，所以，
解得或，可得切点坐标为，或，
所以曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程为；
，是“控制函数”，理由如下，
由得，
可得，，
因为时，恒成立，
即恒成立，
所以函数为函数的“控制函数”；
，若为函数的“控制函数”，
则，恒成立，
即，恒成立，
令，，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在有极小值，，，
所以．
【解析】根据斜率求出切点坐标，再由直线的点斜式方程可得答案；
由得，根据的范围可得答案；转化为，恒成立，令求出在的最值可得答案．
21.函数的定义域为，
当时，，求导得，
而，则当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为．
函数的定义域为，求导得，
当时，，则当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得，，
当，即时，由，得，由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
当，即时，由，得或，由，得，
因此函数在，上单调递增，在单调递减；
当，即时，恒成立，函数上上单调递增；
当，即时，由，得或，由，得，
因此函数在，上单调递增，在单调递减，
所以当时，函数的递减区间为，递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为，；
当时，函数的递增区间为，无递减区间；
当时，函数的递减区间为，递增区间为，．
由知，当时，函数在上递减，在上递增，
，因此函数无零点；
当时，函数在上递减，在，上递增，
当时，取得极小值，当时，取得极大值，
而从大于的方向趋近于时，趋近于负无穷大，因此有唯一零点；
当时，函数在上递增，，因此有唯一零点；
当时，函数在，上递增，在递减，
当时，取得极在值，当时，取得极小值，
而趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，因此有唯一零点；
所以当时，函数无零点；当时，函数有唯一零点．
【解析】把代入，求出函数的导数，探讨单调性求出最小值．
求出函数的导数，按导数的零点分布情况分类讨论求出单调区间．
结合的结论，借助单调性确定最值、极值情况，并结合零点存在性性定理确定零点个数．
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