山东省淄博市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设是等差数列，，，则( )
A. B.18 C.23 D.28
2．若函数满足，则( )
A. B. C. D.
3．设是等比数列，且，，则公比( )
A. B.2 C. D.8
4．在的展开式中，含的项的系数为( )
A. B. C. D.560
5．某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到A社区，则不同的选法有( )
A.12种 B.24种 C.30种 D.60种
6．直线与曲线相切，则实数k的值为( )
A.1 B. C. D.
7．若，，，则( )
A. B. C. D.
8．不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知随机变量,则下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C. D.
10．若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则( )
A.有两个极大值点 B.有一个极小值点
C. D.
11．南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其前6项分别为4，8，10，10，8，4，设其通项公式则下列结论中正确的是( )
A.数列的公差为2 B.
C.数列的前7项和最大 D.
三、填空题
12．已知，则_______.
13．已知随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P p 0.6 q
若，则_______.
14．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化现假设人们经分析估计利率下调的概率为，利率不变的概率为根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为，则该支股票将上涨的概率为_______.
四、解答题
15．已知.
（1）求并写出的表达式；
（2）证明：.
16．近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为.
（1）随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表：
成年男性 成年女性 合计
养宠物 38 60 98
不养宠物 62 40 102
合计 100 100 200
依据小概率值的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关
（2）记年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，6，中国宠物经济产业年规模为y(单位：亿元)，由这年中国宠物经济产业年规模数据求得y，关于x的回归方程为，且求相关系数r，并判断该回归方程是否有价值.
参考公式及数据：，其中
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
回归方程，其中，，相关系数若，则认为y与x有较强的相关性其中.
17．在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量X为小张摸出白球的个数.
（1）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和
（2）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求X的分布列.
18．已知数列的前n项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式
（2）数列的通项，求的前n项和
（3）在任意相邻两项与其中之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列记为数列的前n项和，求的值.
19．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：函数有且只有一个零点.
参考答案
1．答案：B
解析：由等差数列的通项公式可得：.
故选：B.
2．答案：A
解析：函数可导，则，
所以
故选：A.
3．答案：A
解析：由题意，得，
则公比
4．答案：B
解析：的展开式的通项公式为，，令，可得，所以的系数为，
故选B.
5．答案：C
解析：先给A社区选1人，有种方法，再给B社区选2人，有种，
根据分步乘法计数原理可得共有种选法.
6．答案：C
解析：设直线与曲线的切点为，
由，所以，解得，
所以.
故选C.
7．答案：D
解析：由，，
所以.
故选：D.
8．答案：D
解析：设，则，
当时，；当时，，
所以在上是增函数，在上是减函数.
原不等式可化为，即，结合，可得，
所以原不等式的解集为，即.
9．答案：AC
解析：因为随机变量,所以，，
选项A，,则，A正确；
选项B，,则，B错误；
选项C，因为2和4关于对称，由正态分布的对称性可知，，C正确；
选项D，由正态分布的对称性可知，，D错误.
故选AC.
10．答案：AB
解析：由题意可知：当时，；当时，；
可知在单调递增，在单调递减，
可知：，，且的极大值点为，2，极小值点为，
故AB正确；CD错误.
11．答案：BD
解析：A选项，二阶等差数列的前6项为：4，8，10，10，8，4，所以数列的项为：4，2，0，，，成等差数列，公差为，故A错误；
B选项，由A得，累加法得，所以，故B正确
C选项，由B选项可得，所以，，所以数列的前6项和最大，故C错误
D选项，由B选项可得，所以，故D正确，
故选BD.
12．答案：2
解析：中，
令，得，
即.
令可得，
.
13．答案：0.36
解析：由，得，解得，
依题意.
故答案为：0.36
14．答案：
解析：记A为事件“利率下调”，那么即为“利率不变”，
记B为事件“股票价格上涨”，
依题设知，，，，
于是
.
故答案为.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，令解得，所以
（2）构造，.
当时，，于是在单调递增；
当时，，于是在单调递减，
所以，于是，所以.
16．答案：（1）是否养宠物与性别有关联；
（2）；该同归方程有价值
解析：（1）因为，
依据小概率值的独立性检验，可以认为是否养宠物与性别有关联.
（2）由x的取值依次为1，2，3，4，5，6，得，，
因为回归方程为，
所以，
所以，
所以.
因为，所以y与x有较强的相关性，该同归方程有价值.
17．答案：（1）；；
（2）分布列见解析
解析：（1）由已知得,
所以,
.
（2）由已知得，X服从超几何分布,
且,,
，
，
，
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
18．答案：（1）；
（2）；；
（3）
解析：（1）已知数列的前n项和为，且满足，
则，则当时，，
又满足上式，即数列的通项公式为；
（2）由（1）可知，
所以，
所以，
则
，
所以；
（3）在任意相邻两项与其中之间插入个3，
使它们和原数列的项构成一个新的数列，
则为数列的第项，
则，
则.
19．答案：（1）单调性见解析；
（2）（i）；（ii）函数有且只有一个零点.
解析：（1）因为，
（i）当时，在单调递减
（ii）当时，
当，.
当，.
当，.
所以在单调递减，在单调递增，在单调递减
（iii）当时，在单调递增，单调递减.
（2）（i）由（1）知.
（ii）由（1）知极大值为，
因为，
又因为.
所以函数有且只有一个零点.
