安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高一下学期期中素质测试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知直线a,b和平面,,,,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．如图所示,梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图,,,则平面图形ABCD的面积为( )
A.2 B. C.3 D.
3．长方体的一个顶点上三条棱长为3,4,5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的表面积是( )
A. B. C. D.
4．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知,,,若,则( )
A. B. C. D.
5．在中,若,且,那么一定是( )
A. 等腰直角三角形 B.直角三角形
C. 等腰三角形 D.等边三角形
6．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体是上,下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池,垂直于底面,,底面扇环所对的圆心角为,弧AD的长度是弧BC长度的3倍,,则下列说法正确的是( )
A.曲池的表面积为 B.曲池的体积为
C.曲池的表面积为 D.曲池的体积为
7．已知的外接圆圆心为O,且,,则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8．已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,且的面积为,则的周长为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．复数与的积是纯虚数,则需满足下列哪些条件( )
A. B. C. D.
10．在中,,,,D是边上靠近的三等分点,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11．已知圆O半径为2,弦,点C为圆O上任意一点,则下列说法正确的是( )
A. B.的最大值为6
C. D.满足的点C只有一个
三、填空题
12．已知向量,满足,,,则______.
13．设复数,满足,,则______.
14．已知A,B,C,D是表面积为的球体表面上四点,若,,,且三棱锥的体积为,则线段CD长度的最大值为______.
四、解答题
15．如图,
在直三棱柱中,,,M,N,P分别为,AC,BC的中点.
（1）求证:平面;
（2）求三棱锥的体积.
16．已知复数,,并且.
（1）若为虚数,求m的取值范围;
（2）求的取值范围.
17．已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,且.
（1）求A;
（2）若,将射线BA和CA分别绕点B,C顺时针旋转,,旋转后相交于点D（如图所示）,且,求AD.
18．如图,在中,已知,,,M是中点,N是AC上靠近A的三等分点,AM,BN相交于点P.
（1）,求的值;
（2）求的余弦值.
19．已知:
①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数z的模,是以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线（射线OZ）为终边的角,叫做复数的辐角,叫做复数的三角形式.
②方程（n为正整数）有n个不同的复数根;
（1）求证:
（2）设,求;
（3）试求出所有满足方程的复数x的值所组成的集合.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,则存在,使得且
若且,则,又且,所以,充分性成立;设,,,,则有,但a,b不平行,即必要性不成立.故选:A.
2．答案：C
解析：
3．答案：C
解析：设球的半径为R,由题意,球的直径即为长方体的体对角线,
则,,.
4．答案：B
解析：以C为坐标原点,CD,CA所在直线分别为x,y轴建立如图所示的坐标系,
由题意得,则,,,,,,,
所以,
解得,所以,
故选:B.
5．答案：D
解析：,则,
因为A,,所以,则,
又因为,,则,
则,即,
即,又因为A,,则,
所以,即.
即一定是等边三角形,故D正确.
故选：D.
6．答案：C
解析：
7．答案：C
解析：
8．答案：A
解析：
9．答案：AD
解析：因为是纯虚数,
所以且,即且,
故选:AD
10．答案：ABC
解析：
11．答案：AB
解析：A选项,圆O半径为2,弦,故为等边三角形,
取AB的中点D,连接OD,则,
由数量积公式及投影向量可得,A正确;
B选项,过点O作OE平行于AB,交圆与点E,
过点E作,交延长线于点G,连接EB,
则四边形OABE为菱形,
由投影向量可知,当点C与点E重合时,取得最大值,
此时,
故的最大值为,B正确;
C选项,,
因为四边形OABE为菱形,所以,且,
因为为定值,
故当与平行且方向相同时,取得最大值,最大值为,
当与平行且方向相反时,取得最小值,最小值为,
故,C错误;
D选项,因为点C为圆O上任意一点,故当C,A重合时,,
又当时,满足,
故满足的点C有2个,D错误.
故选:AB
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：由球的表面积为,可得球的半径,,,,
,,,
则外接圆的半径为.
设D到平面ABC的距离为h,则,
解得,则点与平面ABC在球心的异侧.
设球心O到平面ABC的距离为d,则,
设D在球的截面圆所在的平面为,故球心到平面的距离为2,
则截面圆的半径为.
设D在平面ABC上的投影为E,当CE最长时CD最长,
则,故CD长度的最大值为.
故答案为:.
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）直三棱柱中,M为的中点,
所以,且,
因为P,N分别BC,AC的中点,
,,
,,
四边形为平行四边形,,
又平面,平面,
故平面
（2）因为直三棱柱,则平面平面,
因为平面,则点M到底面ABC的距离即为点到底面ABC的距离,
又因为底面ABC,则点到底面ABC的距离即为长,
又因为分别为AC,BC的中点,且,
则
16．答案：（1）
（2）
（2）见解析
解析：（1）,且,
（2）
消去可得
.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）根据正弦定理,由
,
因为,所以,
所以由
,
因为,所以,
因此.
（2）由（1）可知,由题意可知,,
而,所以,
,
在中,由正弦定理可知:
在中,由正弦定理可知:
在中,由余弦定理可知:
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,
则,且
则解得,故.
（2）易知
则;;
所以
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:
（2）依题意,,
所以.
（3）设,则,
因此,,,,解得,,
由终边相同的角的意义,取,则对应的依次为0,,,,,,
因此对应的依次为,
所以所求的集合是
