2.4用因式分解法求解一元二次方程 同步作业练习
一、选择题
1．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
2．关于x的方程的一个根是4，那么m的值是（ ）
A．-3或4 B．或7 C．3或4 D．3或7
3．关于x，y的二次三项式（m为常数），下列结论正确的有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，则
④满足的正整数解共有25个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A．40 B．16 C．16或20 D．20
5．已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A．或-3 B．-3 C． D．
6．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形外接圆的半径长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．2.5
7．已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为（ ）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
9．已知3是关于x的方程x2－（m＋1）x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
10．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．方程的解为 .
12．已知关于的一元二次方程的两根为、，则方程的两根为 .
13．已知三角形两边的长是6和8，第三边的长是方程的一个根，则该三角形的面积是 ．
14．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程的根，则这个三角形的周长为 ．
15．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则 ．
三、解答题
16．阅读下面的例题，
范例：解方程 ，
解：（1）当 时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）.
（2）当x＜0时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）.
∴原方程的根是，，请参照例题解方程
定义：若一个一元二次方程的“某一个根”是另一个一元二次方程的一个根，则称这两个方程为“友好方程”．已知关于的一元二次方程与是“友好方程”，求的值．
已知：m、n是方程的两个实数根，且m＜n，抛物线的图象经过点，，求这个抛物线的解析式．
19．先化简，再求值：（ ）÷ ，其中x的值是方程x2+2x﹣3＝0的解.
四、综合题
20．已知关于x的一元二次方程：x2-（m-3）x-m＝0.
（1）证明：无论m为何值，原方程有两个不相等的实数根；
（2）当方程有一根为1时，求m的值及方程的另一根.
21．若关于x的方程mx2-2x+3＝0有两个实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）方程有两个相等的实数根时，求出方程的根.
22．如图，在矩形中，，分别以所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与重合），反比例函数 的图象经过点且与边交于点，作直线．
（1）当点运动到中点时，求的值；
（2）求的值；
（3）连接，当的面积为时，求值．
23．阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．
（1）问题：方程的解是：， ， ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，矩形草坪的长，宽，点在上（），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点，把长绳段拉直并固定在点，再拉直，长绳的另一端恰好落在点，求的长．
1．答案:D
解析：解：
，
解得∶.
故答案为：D.
分析：将（x-2）看成一个整体，将方程右边移到方程左边，利用提取公因式法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，可将方程降次为两个一元一次方程，求解即可.
2．答案:B
解析：解：∵关于x的方程的一个根是4，
∴，
即，
即
解得，
故答案为：B.
分析：根据方程根的概念，将x=4代入方程中可得关于m的方程，求解可得m的值.
3．答案:A
解析：解：将代入可得，，即
解得或，即或，①错误；
由可得，
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，②正确；
两式相加可得：
即
令，则，解得，
即或，③错误；
由可得
正整数解为：
，总共有个，④错误
正确的个数为1.
故答案为：A.
分析：将m=1代入方程中可得x(x+y-4)=0，则x=0或x+y=4，据此判断①；由x2+mxy-4x=3x可得(x+my)x=7x，根据等式恒成立可得x+my=7，据此判断②；将③中的两式相加可得(x+y)2-4(x+y)=12，令t=x+y，则t2-4t-12=0，求出t的值，即x+y的值，据此判断③；将④中的不等式变形可得(x-2)2+(y-2)2≤8，求出正整数解，进而判断.
4．答案:D
解析：解：方程，
分解因式得：，
所以或，
解得：，，
当边长为4时，，不能构成三角形，舍去；
当边长为5时，，此时菱形的周长为，
则该菱形的周长为20.
故答案为：D.
分析：利用因式分解法可得方程的解然后根据菱形的性质以及三角形的三边关系确定出菱形的边长，进而可得周长.
5．答案:C
解析：解：根据题意得△＝＞0，
解得m＞ ，
根据根与系数的关系的，，
∵，
∴，
∴，
整理得，解得，，
∵m＞ ，
∴m的值为.
故答案为：C.
分析：根据方程有两个不相等的实数根得根的判别式b2-4ac＞0，据此列出不等式求解得出m的取值范围；根据一元二次方程根与系数的关系“”可得，，进而将方程的左边利用完全平方公式变形后整体代入即可得出关于字母m的方程，求解并检验即可得出答案.
6．答案:D
解析：解：，
，
解得，；
所以直角三角形的两条直角边为：3、4，
由勾股定理得：斜边长；
所以直角三角形的外接圆半径长为2.5，
故答案为：D．
分析：先解方程得x=3，x=4，即得两直角边长，再利用勾股定理求出斜边长，由于直角三角形的外接圆半径长为斜边长的一半，即得结论.
7．答案:D
解析：解：∵关于x的一元二次方程 的两根分别为 ， ，
∴ ，
∴原方程为
∴方程 可化为 ．
∴方程 可化为 ．
故答案为：D．
分析：根据题意先求出原方程为 ，再求解即可。
8．答案:D
解析：解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，
解得：m=1或m=2，
又m-1≠0，即m≠1，
∴m=2，
故答案为：D．
分析：把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值，根据一元二次方程成立的条件（二次项系数不为0）得到m-1≠0，因此求出m的值.
9．答案:D
解析：解：把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2-7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故答案为：D．
分析：将x=3代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值；再将m的值代入方程，可求出方程的解；然后利用三角形三边关系定理，可知这个等腰三角形的腰长可以为3，也可以为4；然后求出△ABC的周长.
10．答案:A
解析：解：
由直角三角形的三边关系可得：
又有根与系数的关系可得：
∴
整理得：
解得：m= 3或5.
又∵，
∴ 解得
∴.
故答案为：A.
分析：易得∠AOB=90°，由勾股定理及完全平方公式得AO2+BO2=（AO+BO）2-2AO·BO=25，利用一元二次方程根与系数的关系可表示出AO+BO和AO·BO，然后整体代入，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，根据其解集，可得到m的值.
11．答案:，
解析：解：
或
得，
故答案为： ，.
分析：将右边的式子移至左边，然后因式分解可得x(x-2)=0，据此求解.
12．答案:
解析：解：∵关于的一元二次方程的两根为、，
∴，
整理得，
∴
解得：，
∴方程为，
即，
解得：，
故答案为：.
分析：根据方程根的概念方程可化为a（x+1）（x-2）=0，解得a=-1，c=2，再将a、c的值代入后面的方程，利用因式分解法求解即可.
13．答案:24或
解析：解：设三角形的第三边的长为，
∵，
∴，
∴，，
∵三角形两边的长是6和8，
∴，
∴，
∴第三边的长为6或10．
∴三角形有两种：
①当三边为6、6、8时，如图，
在中，，，
∴为等腰三角形，
过点作于点，
∴，
，
∴；
②当三边为6、8、10时，如图，
在中，，，，
∵，
∴为直角三角形，
∴．
综上所述，该三角形的面积为24或．
故答案为：24或．
分析：先求出一元二次方程的根，再分两种情况：①当三边为6、6、8时，②当三边为6、8、10时，再分别求解即可。
14．答案:7
解析：解：，
因式分解得，
∴或，
解得：，，
①三角形的三边为2，3，2，可以组成三角形，即三角形的周长是2+3+2=7；
②三角形的三边为2，3，6，
∵2+3=5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形．
故答案为：7．
分析：先求出方程的根，再分两种情况：①三角形的三边为2，3，2，②三角形的三边为2，3，6，再利用三角形三边的关系及三角形的周长公式计算即可。
15．答案:3
解析：解：∵把放入魔术盒，得到实数，
∴，
解得：．
故答案为：3.
分析：由题意可得m2+2×(-3m)-3=-12，求解可得m的值.
16．答案:解：，
（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）.
（2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）.
故原方程的根是，.
解析：由题意可分两种情况：
（1）当x1时，根据绝对值的非负性去绝对值可得x2-x=0，解方程并结合x的取值范围即可求解；
（2）当x1时，根据绝对值的非负性去绝对值可得x2+x-2=0，解方程并结合x的取值范围即可求解.
17．答案:解：∵，
∴，；
将代入中，得；
将代入中，得；
∴的值为1或-2．
解析：先求出 ，，代入方程求出m的值即可。
18．答案:解：∵，
∴，
∴或，
∵m、n是方程的两个实数根，且m＜n，
∴，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，5），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为．
解析：先求出 或， 再利用待定系数法求函数解析式即可。
19．答案:解：原式＝ ＝ = ，
由x2+2x 3＝0，得到x＝1（舍去）或 3，
则当x＝ 3时，原式＝ 12.
解析：根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简；利用因式分解法解一元二次方程，求出x的值，再代入使原分式有意义的x的值求值即可.
20．答案:（1）证明：△ ，
，
，
，
，
，即△ ，
方程有两个不相等的两个实数根；
（2）解： 是方程 的一个根，
，
解得： ，
则方程为： ，
解得： ， ，
方程的另一根为-2.
解析：（1）根据方程可得△=b2-4ac=(m-1)2+8，然后结合偶次幂的非负性进行证明；
（2）将x=1代入方程中可得关于m的方程，求出m的值，然后代入方程中利用因式分解法就可求出方程的另一根.
21．答案:（1）解：∵关于x的方程mx2-2x+3＝0有两个实数根，
∴且，
解得且.
故m的取值范围是且
（2）解：根据题意得：且，
解得：，
把代入原方程得：，
解得
故方程的根为.
解析：（1）由题意计算b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”并结合题意可得关于m的不等式，解之可求解；
（2）根据一元二次方程的根的判别式可得关于m的不等式和方程，解之可求得m的值，再把m的值代入原方程可得关于x的方程，解之可求解.
22．答案:（1）解：∵OA=3，OC=4，四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=3，点B的坐标为(3，4).
∵点D为边BC的中点，
∴
∴点 的坐标为
又∵点D在反比例函数 的图象上，
∴
（2）解：∵点D，E在反比例函数 的图象上，
∴点D的坐标为 ，点E的坐标为 ，
又∵点B的坐标为（3，4），
∴
∴
（3）解：由（2）可知： ，
∴
整理，得： ，
解得： ，
∴当 的面积为 时，k的值为4或8．
解析：（1）先求出点D的坐标，再代入反比例函数的解析式，求出k的值，即可得出答案；
（2）设点D的坐标为 ，点E的坐标为 ， 从而得出BD、DE的长，代入进行化简，即可得出答案；
（3）先求出AE的长，再利用三角形的面积公式得出，从而得出关于k的方程，解方程求出k的值，即可得出答案.
23．答案:（1）-3；
（2）解：
方程的两边平方，得
，
所以，
所以，
所以，
∴，
当时，，
所以不是原方程的解．
当时，，
所以是原方程的解．
所以方程的解是．
（3）解：因为四边形是矩形，
所以，，
设，则，
因为
所以，，
所以，
所以
整理，得，
两边平方并整理，得，
解得或（不合题意，舍去此时）
经检验，是方程的解．
答：的长为15m．
解析：解：（1）因为，
所以，
所以，
所以，
∴或或，
故答案为：-3，．
分析：（1）对原方程因式分解可得2x(x+3)(3x-2)=0，据此可将三次方程化为一元一次方程，求解即可；
（2）方程的两边平方得2x+3=x2，因式分解可得(x-3)(x+1)=0，求出x的值，然后验证即可；
（3）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，AB=CD=8m，设AP=xm，则PD=(21-x)m，根据BP+CP=27结合勾股定理可得，整理可得x2-21x+90=0，然后利用因式分解法求解即可.
